Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que está definida una operación + : V V V, tal que (V, +) es un grupo conmutativo; y está definida una ley de composición externa : K V V, tal que para todo α, β K y para todo u, v V vale que α (u + v) = α u + α v (α + β) u = α u + β v (α.β) u = α (β v) 1 u = u, donde 1 es el neutro del producto en K; entonces se dice que (V, +, ) es un K- espacio vectorial, o bien que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Los elementos de K se dicen escalares, los elementos de V se llaman vectores, + se dice suma de vectores y producto por escalares. Abuso de notación: aunque se indican de la misma manera, estas operaciones no deben confundirse con las operaciones + y. definidas en K. Las operaciones + y. de K se dicen la suma de escalares y el producto de escalares. El neutro de la suma en K se denotará 0 y el neutro de la suma en V se denotará 0, este se llama vector nulo. Por simplicidad en lugar de (V, +, ), escribiremos V. Ejemplos: determine en cada uno de los siguientes caso las operaciones + y que proporcionan al conjunto dado la estructura de espacio vectorial indicada. Son R-espacios vectoriales: 1. R n para todo n natural, incluso n = 1. 2. C n para todo n natural, incluso n = 1. 3. R n m para todo n y m naturales. 4. C n m para todo n y m naturales. 5. R[x] 6. R[x] n = {p R[x] tal que p = 0 o gr(p) n} 7. C[x] 8. C[x] n = {p C[x] tal que p = 0 o gr(p) n} Son C-espacios vectoriales: 1. C n para todo n natural, incluso n = 1. 2. C n m para todo n y m naturales. 3. C[x] 4. C[x] n = {p C[x] tal que p = 0 o gr(p) n} Sea V un K- espacio vectorial, u V y α K. Vale que: 1
1. 0 v = 0 2. α 0 = 0 3. α v = 0 α = 0 o v = 0 4. ( 1) v = v Sea V un K- espacio vectorial. Un subconjunto no vacío S de elementos de V se dice un K - subespacio vectorial de V si S con la misma suma de vectores y producto por escalares es un espacio vectorial. Es fácil probar que S es un K-subespacio vectorial de V (1) 0 S y (2) para todo v S, para todo w S y para todo α K se satisface que v + α w S. Ejemplos: S = {(x, y) R 2 : x+y = 0} es un R subespacio de R 2 con la suma habitual de vectores y el producto habitual por escalares. S = {A C 2 3 : A 11 = A 22 = 0} es un C subespacio de C 2 3 con la suma habitual de matrices y el producto habitual por escalares. Sea A.X = 0 con A R n m la forma matricial de un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con m incógnitas. El conjunto de soluciones del sistema S = {v R m : A.v = 0} es R subespacio de R m con la suma habitual de vectores y el producto habitual por escalares. Sea V un K- espacio vectorial y v 1, v 2,..., v k vectores de V. Se dice que un vector w es una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v k si existen escalares α 1, α 2,..., α k tales que w = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α k v k. Si w es combinación lineal de v 1, v 2,..., v k y cada v i es combinación lineal de u 1, u 2,..., u h, entonces w es combinación lineal de u 1, u 2,..., u h. Un sistema de generadores de V es un subconjunto S de vectores de V, es decir S V, tal que todo vector de V se escribe como combinación lineal de vectores de S. Si v 1, v 2,..., v k es un sistema de generadores de V y a uno cualquiera de estos vectores, digamos v k, se escribe como combinación lineal de los demás (es decir v k = k 1 i=1 α i v i para ciertos α i K) entonces v 1, v 2,..., v k 1 también es un sistema de generadores de V. Los vectores v 1, v 2,..., v k se dicen linealmente independientes, o bien que son un conjunto de vectores linealmente independientes, si el vector nulo se escribe de una única manera como combinación lineal de ellos, es decir si 0 = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α k v k α 1 = α 2 =... = α k = 0. Un conjunto L V se dice linealmente independiente si los vectores de cualquier subconjunto finito de L son linealmente independientes. Los vectores v 1, v 2,..., v k se dicen linealmente dependientes si no son linealmente independientes. Sea V un K- espacio vectorial y v 1, v 2,..., v k vectores de V. Vale que, 1. Si uno cualquiera de los vectores v i es el vector 0 v 1, v 2,..., v k es linealmente dependiente. 2. Si dos cualesquiera de los vectores v i son iguales entre sí v 1, v 2,..., v k son linealmente dependientes. 3. Los vectores v 1, v 2,..., v k son linealmente dependientes alguno de ellos se escribe como combinación lineal de los demás. 4. Si v 1, v 2,..., v k son linealmente dependientes y {v 1, v 2,..., v k } S V S es un conjunto de vectores linealmente dependientes. 2
5. Si v 1, v 2,..., v k son linealmente independientes y S {v 1, v 2,..., v k } S es un conjunto de vectores linealmente independientes. Una base de V es un conjunto B V tal que B es linealmente independiente y B es sistema de generadores V. Ejemplo: Base canónica de algunos R espacios vectoriales: 1. De R es el vector 1. 2. De R n son los vectores e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),...,e n = (0, 0, 0,..., 1). 3. De C son los vectores 1 e i. Observa que si consideramos C como C-espacio vectorial entonces la base canónica tiene un único elemento que es el vector 1. 4. De R n m son las matrices de orden nxm, que denotamos E ij para 1 i n, 1 j m, tales que todos sus coeficientes con 0 salvo el de la posición ij. Por ejemplo la base canónica de R 2 2 es ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E 11 = E 0 0 12 = E 0 0 21 = E 1 0 22 = 0 1 ( ) a b Observar que una matriz cualquiera A = R c d 2 2 se escribe como la siguiente combinación lineal de los vectores de la base dada, A = a E 11 + b E 12 + c E 21 + d E 22 5. De R[x] son los vectores 1, x, x 2, x 3,..., x n,... Es una base infinita, es decir con una cantidad infinita de elementos. 6. De R[x] n = {p R[x] tal que p = 0 o gr(p) n} son los vectores 1, x, x 2, x 3,..., x n, en este caso es una base finita. Sea V un K- espacio vectorial y B V. Los siguientes enunciados son equivalentes. 1. B es una base de V. 2. Todo vector de V se escribe de una única manera como combinación lineal de vectores de B. 3. B es un conjunto de vectores linealmente independientes maximal (i.e. si B T entonces T no es linealmente independiente). 4. B es un sistema de generadores minimal (i.e. si T B entonces T no es sistema de generadores de V). Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces cualquier subconjunto de V con k > n vectores es linealmente dependiente. Corolario: toda base de V tiene la misma cantidad de elementos, esta cantidad se llama la dimensión del espacio V y se denota dim K (V) = n. Ejemplos: 1. dim R (C) = 2 2. dim C (C) = 1 3. El espacio vectorial nulo N tiene por único elemento al vector nulo, es decir V = {0}. Observar que dim K (N) = 0. 4. dim R (R n ) = n 5. dim R (R n m ) = n.m 3
6. dim R (R[x] n ) = n + 1 Ejercicio: Sea V un K- espacio vectorial con dim K (V) = n. Probar que: 1. Si v 1,..., v k son linealmente independiente entonces existe una base B de V tal que {v 1,..., v k } B y por lo tanto k n. 2. Todo subconjunto de n vectores linealmente independiente es una base. 3. Si v 1,..., v k es un sistema de generadores de V entonces existe una base B de V tal que B {v 1,..., v k } y por lo tanto n k. 4. Un subconjunto de vectores con menos de n elementos no puede ser un sistema de generadores de V. 5. Un conjunto de vectores con más de n elementos no puede ser linealmente independiente. Sea V un K- espacio vectorial y v 1, v 2,..., v n los vectores de una base de V dados en un cierto orden. Si w V, sabemos que existen escalares α 1, α 2,..., α n, que además son únicos, tales que w = α 1 v 1 +... + α n v n. Estos escalares se dicen las coordenadas de w en la base B y suele indicarse w = (α 1,..., α n ) B. Cuando la base B es la canónica el subinice B puede omitirse. Ejemplo: Considero la siguiente base B de R 3 dada en el orden indicado: (1, 1, 1) (0, 2, 0) (0, 0, 3) Ahora, si escribo w = (2, 1, 2) B me estoy refiriendo al vector de R 3 cuyas coordenadas en dicha base son 2, 1 y 2, por lo tanto w = 2 (1, 1, 1) + 1 (0, 2, 0) + ( 2) (0, 0, 3) = (2, 2, 2) + (0, 2, 0) + (0, 0, 6) = (2, 4, 4) Observar que (2, 4, 4) son las coordenadas de w en la base canónica, es decir w = 2 (1, 0, 0) + 4 (0, 1, 0) + ( 4) (0, 0, 1) Sea V es un K- espacio vectorial y S V. Indicamos mediante < S > al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir, el conjunto de todos los w V para los cuales existen v 1, v 2,..., v k S y α 1, α 2,..., α k K tales que w = α 1.v 1 +... + α k.v k. < S > es un K-subespacio vectorial de V, más aún es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S, pues es la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S. El subespacio < S > se llama subespacio generado por S. Por ejemplo: en R 3 Si S = {v 1 } entonces S = {α v 1, con α R}. Si v 1 0 entonces < S > coincide con la recta por el origen cuyo vector director es v 1. Si S = {v 1, v 2 } entonces S = {α 1 v 1 + α 2 v 2, con α 1, α 2 R} y si v 1, v 2 son colineales, es decir estan sobre una misma recta que pasa por el origen, entonces < S > coincide con dicha recta. Si no son colineales entonces < S > coincide con el plano por el origen que contiene a v 1 y a v 2. S es un sistema de generadores de V si y sólo si < S >= V. Sea A R n m, llamemos v 1,..., v n a los vectores fila de A, y llamemos w 1,..., w m a los vectores columna de A. Observar que S f =< {v 1,..., v n } > es un subespacio de R m ; en tanto que S c =< {w 1,..., w m } > es un subespacio de R n. El primero se llama espacio fila de A y el segundo se llama espacio columna de A. Vale que 4
dim R (S f ) = dim R (S c ) = rango(a) Así, si se quiere determinar la dimensión del subespacio generado por una cierta cantidad de vectores u 1, u 2,..., u t, se puede formar una matriz A que tenga a estos vectores como filas (o como columnas) y determinar el rango de la matriz A usando alguno de los métodos vistos cuando estudiamos matrices. Sean S 1 y S 2 subconjuntos de V. Indicamos: S 1 S 2 = {w V w S 1 y w S 2 } S 1 + S 2 = {w V w = v 1 + v 2 con v 1 S 1 y v 2 S 2 } Si S 1 y S 2 son subespacios vectoriales de V, entonces S 1 S 2 y S 1 +S 2 también son subespacio vectoriales de V. Además si S 1 S 2 = {0} entonces S 1 + S 2 se dice la suma directa de S 1 y S 2 y en este caso se indica S 1 S 2. Observar que S 1 S 2 puede no ser un subespacio. Además, 1. Si S es subespacio de V entonces dim K (S) dim K (V). 2. Si S es subespacio de V y dim K (S) = dim K (V ) entonces S = V. 3. Si S 1 y S 2 son subespaciones de V entonces dim K (S 1 + S 2 ) = dim K (S 1 ) + dim K (S 2 ) dim K (S 1 S 2 ) dim K (S 1 S 2 ) = dim K (S 1 ) + dim K (S 2 ) 5