Optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker

Optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker Hasta ahora, hemos estudiado como maximizar o minimizar una función sujeta a restricciones en forma de ecuaciones de igualdad. En esta sección, nos ocuparemos de problemas de programación no lineal, con restricciones en forma de desigualdad. Los programas con restricciones de desigualdad, tienen una historia mucho más reciente que los programas analizados anteriormente. Las características y métodos de resolución de estos, se empiezan a dar a conocer en los años cincuenta de este siglo, mientras que los programas con restricciones de igualdad o sin restricciones conforman la optimización clásica, y han sido utilizados desde el siglo XVIII. Los métodos teóricos de resolución de los programas no lineales, con restricciones de desigualdad, son conocidos a partir de los trabajos de los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker, publicados en 1951. Este tipo de programas representan con más fidelidad, las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica, ya que normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos - más de una vez habremos leído que la economía es la ciencia de la escasez - pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad, si ello no resulta necesario. Así, este nuevo tipo de programas, nos posibilita obtener soluciones óptimas que no saturen 1 necesariamente todas las restricciones, pudiendo quedar recursos que no sea necesario utilizar hasta su agotamiento. Consideremos el problema sencillo de programación no lineal: max (, ) (, ) 1 Un punto factible (, ) satura o activa la restricción (, ) cuando se verifique que (, ) =. En caso contrario (, ) < diremos que (, ) no satura la restricción. Página1

Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Lo primero que haremos es escribir unn procedimiento, que nos n permitaa obtener todos los puntos (, ) que pudieran resolver el problema. Este procedimiento establece las denominadas condiciones necesarias de Kuhn-Tucker, que son condiciones necesarias para que un punto - que cumple la hipótesis de cualificación de lass restricciones 2 - sea óptimo. Regla para resolver (,, ) sujeta a (, ) 1. Asociar un multiplicador constante de Lagrange, a la restricción (, ) y definir la función lagrangiana: (, ) = (, ) +( ((, ) ) 2. Igualar a cero las derivadas parciales de (, ): (, ) = (, ) + (, ) = 0 (, ) = (, ) + (, ) = 0 3. Introducir la condiciónn de holgura complementaria: 0, = 0 (, ) < 4. Exigir que (, ) satisfaga la restricción: (, ) Hallar todos los puntos (, ) que, junto con los valores asociados a de, satisfacen las condiciones (2), (3), y (4). Adviértase, que los pasos 1 y 2 son exactamente los que se usaron en el método lagrangiano de la sección anterior. Comoo la condición 4 se tiene que satisfacer obviamente, la única novedadd es la condición 3. Condición 3 Esta condición dice que debe ser no positivo y, además que = si (,) <. Así si <0, se debe tener (,) =. Una formulación alternativa de esta condición es que: 2 Ver Nota p.s. Página2

0, (, ) =0 Nótese que es posible que sean =0 y (, ) = a la vez en (3). Decimos que 0 y (, ) son desigualdades complementarias en el sentido de que a lo más se puede "dar holgura" a una, esto es, a lo más una es estricta. Equivalentemente, al menos una debe ser una igualdad. Las ecuaciones (2) y (3) se conocen como las condiciones de Kuhn-Tucker. Nótese que ellas son, esencialmente, condiciones necesarias para la solución del problema (1). Nota Hipótesis de Cualificación de las restricciones Las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias solamente si se satisface una disposición específica llamada hipótesis de cualificación de la restricción (h.c.r.), que impone una cierta condición sobre las funciones de restricción, con el propósito de descartar ciertas irregularidades en la frontera del conjunto factible, que invalidarían la condiciones de Kuhn-Tucker como necesarias, dándose la posibilidad de la existencia de puntos que siendo óptimos del problema, no verifiquen dichas condiciones. Esta disposición h.c.r. es en general difícil de comprobar, por ello en la práctica, se exige el cumplimiento de la condición de regularidad, que es una condición suficiente para que se verifique la h.c.r. Condición de Regularidad de un Punto Un punto (, ) es regular si no satura ninguna de las restricciones, o bien, en el caso de saturar alguna de ellas, los gradientes de las restricciones saturadas en dicho punto son vectores linealmente independientes. Supondremos que se verifica la denominada h.c.r, de modo que las condiciones de Kuhn-Tucker serán condiciones necesarias, que deberá cumplir cualquier posible óptimo del conjunto factible. Página3

Ejemplo Resolver el problema: max (, ) =x +y + y 1 sujeta a (, ) =x +y 1 Solución La función lagrangiana es: (, ) =x +y +y 1+(x +y 1) (i) Las condiciones de primer orden son: (, ) = 2 + 2 = 0 (, ) =2+1+2=0 (ii) (iii) La condición de holgura complementaria es: 0, = 0 x +y <1 (iv) Queremos hallar todos los pares (, ) que verifican estas condiciones para un valor adecuado de. Consideramos primero la condición (ii), que es 2(1 +) =0. Hay dos posibilidades: = 1 o =0. Si = 1 entonces (iii) da 1 =0, que es una contradicción. Por tanto, =0. Supongamos que x +y =1 y así =±1 ya que según acabamos de ver =0. Tomemos primero =. Entonces (iii) implica que = 3/2 y así se verifica (iv). Por tanto, (0,1) con = 3/2, es un candidato a óptimo porque se satisfacen todas las condiciones (ii) a (iv). Página4

Tomemos ahora =. La condición (iii) da = 1/2 y se verifica también (iv). Por tanto, (0,1) con = 1/2 es otro candidato a óptimo. Finalmente consideremos el caso en que =0 y x +y <1. Esto es: 1 < < 1. Entonces (iv) implica que =0 y (iii) da = 1/2. Por tanto, (0, -1/2) con =0 es un candidato a óptimo. La conclusión es entonces que hay tres candidatos a óptimo. Ahora bien: (0,1) = 1 (0, 1) = 1 (0, 1/2) = 5/4 (v) Si sustituimos dichos puntos en la función objetivo, deducimos que en el punto =0 e =1 se encuentra un máximo local del problema, mientras que en el punto (0, 1/2) hay un mínimo local. Método de Resolución del Problema General Un problema de programación no lineal general es el siguiente: (,, ) max (,, ).. (,, ) Ahora ya es muy fácil dar una regla para resolver el problema general (1) de programación no lineal. Damos la regla en el siguiente recuadro Página5

Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Regla para resolver el problema general de programación no lineal max () donde = (,, ). () ( = 1,, ) 1. Escribir la función lagrangiana: () =() + () donde,, son multiplicadores de Lagrange asociadas con las restricciones. 2. Igualar a cero todas lass derivadas parciales de primer orden de () ): () = () () + = 0 ( = 1,, ) 3. Imponer las condiciones de holgura complementaria: 0, =0 () < 4. Exigir que x satisfaga las l restricciones: () ( = 1,, ) Hallar todos los x, y los valores asociados de,, que satisfagan todas esas condiciones. Estos son los candidatos a óptimo, y, si el problema tiene solución, al menos uno de ellos lo resuelve. El conjunto de vectores = (,, ) que verifican todas las restricciones se s llama conjunto admisible, o más frecuentemente, el conjunto factible. Nótese que minimizar (,, ) es equivalente a maximizar (,, ). También una desigualdad como (,, ) see puede escribir como (,, ), y una igualdadd (,, )= ess equivalente a las dos desigualdades (,, ) y Página6

Matemáticas Avanzadas para la Economía Curso 2013/2014 Manuel Sánchez Sánchez (UNED) (,, ). De esta maneraa la mayoria de loss problemas de optimización restringida se pueden expresarr en la forma (1). Como en la sección anterior, las condiciones de Kuhn-Tucker son esencialmente necesarias para la solución del problema (1), pero no son suficientes. Ell siguiente teorema nos ofrece condiciones suficientes: Condiciones Suficientes dee Kuhn-Tucker Las condiciones suficientes conllevan distintas implicaciones que q las condiciones necesarias, ya que si un punto satisface una condición suficiente paraa máximos, entonces ese punto debe maximizar la función objetivo. En estee sentido, las condiciones suficientes nos proporcionan un tipo de prueba más definitivo, aunque al ser sólo suficiente, una solución genuinamente óptima puede no satisfacer la condición suficiente. En la práctica aparecen con frecuenciaa programas de optimización en los que el conjunto factible S es convexo y la función objetivo es cóncava o convexa en S. Estos programas se denominan convexos y simplifican considerablemente la resolución del problema de optimización. Concretamente en un programa convexo, el óptimo local es también global y además las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son también suficientes. Condiciones Suficientes de Óptimo Global Consideremos el problema ( 1), y supongamos que el punto es un punto regular, que satisface las condiciones de Khun-Tucke er (2), (3) y (4), siendo las funciones de restricción g i diferenciables en S, entonces: Si el conjunto factible S es convexo y la función f es diferenciable y (convexa) en S, el punto es máximo (mínimo) global. Si f es estrictamente cóncava o estrictamente convexa, entonces, el punto máximo o mínimo global estricto.. cóncava es un Página7

Nota En general no siempre es fácil determinar si el conjunto factible S es convexo, Sin embargo cuando las restricciones g i son convexas en el dominio de optimización, podemos asegurar que el conjunto factible S es convexo. Ejemplo Un individuo consume dos bienes en cantidades e, y deriva utilidad según la función (, ) = +. Los precios de los dos bienes son =10 y =5, respectivamente, y el ingreso del individuo es = 350. Supongamos que consumir una unidad del primer bien toma 0,1 horas, mientras que una del segundo se consume en 0,2 horas. El individuo dispone en total de 8 horas, como máximo, para dedicar a su consumo de los dos bienes. Cuáles son los niveles de consumo óptimos de esta persona? Solución. El problema es: 10 + 5 350 max (, ) = + 0,1 + 0,2 8 La función lagrangiana es: (, ) =+ln+ (10 + 5 350) + (0,1 + 0,2 8) luego las condiciones necesarias para que (, ) resuelva el problema son que existan y tales que: = 1 + 10 +0,1 = 0 (i) = 1 +5 +0,2 = 0 (ii) 0, = 0 10 +5 < 350 (iii) Página8

0, = 0 0,1 +0,2 < 8 (iv) Para cada una de las dos restricciones tenemos bien igualdad (si la restricción esta activa) o desigualdad (si la restricción esta inactiva). Así, hay cuatro casos diferentes: I Ambas restricciones están activas. En este caso: 10 +5 = 350 (v) y 0,1 +0,2 =8 (vi) La solución de (v) y (vi) es (, ) = (20,30). Si insertamos estos valores en (i) y (ii), obtenemos el sistema de dos ecuaciones: 10 +0,1 = 1/20 5 +0,2 = 1/30. La solución de este sistema es (, )=(, ), luego hemos encontrado un candidato a ser solución, puesto que las condiciones de Khun-Tucker se satisfacen. (nótese que es importante verificar que 0 y 0) II La primera restricción esta activa, la segunda no. En este caso, (v) se sigue cumpliendo pero no así (vi), que ahora resulta: 0,1 +0,2 <8. De (iv) sabemos que =0, mientras (i) y (ii) implican que =2. Reemplazando en (v), obtenemos que = 17,5 y, por tanto =2 =35. Pero esto implica que 0,1 +0,2 =8,75 lo cual viola la segunda restricción, luego concluimos que no puede haber una solución bajo este caso. Página9

III La segunda restricción esta activa, la primera no. Aquí, (vi) se cumple pero: 10 +5 < 350. De (iii) tenemos que =0, mientras que (i) y (ii) nos dicen que 0,1 =0,2. Reemplazando en (vi), obtenemos que =20 y, por tanto =40. Pero esto implica que 10 +5 = 500, lo cual viola la primera restricción. Nuevamente, podemos concluir que no puede haber una solución bajo este caso. IV Ambas restricciones están inactivas. En este caso = =0, lo cual hace que (i) y (ii) sean imposibles de satisfacer. Conclusión: Hay solo un candidato a solución: el punto (20,30). Al ser la función f estrictamente cóncava su matriz Hessiana es definida negativa -, y la región factible convexa ya que está formada por restricciones lineales - concluimos que en el punto hallado se encuentra el máximo global estricto. Nota: El método general para hallar todos los candidatos a óptimo en un problema de programación con restricciones de desigualdad se puede formular así: Estudiar primero el caso en que todas las restricciones están activas, A continuación estudiar la totalidad de los casos en que todas menos una están activas, luego aquellos en que todas menos dos están activas, y así sucesivamente. Se termina por el estudio del caso en que ninguna restricción esta activa. Por supuesto que el orden no importa, pero hay que considerar cada caso. En cada paso hallamos todos los vectores x, junto con los valores asociados de los multiplicadores de Lagrange, que satisfacen todas las condiciones relevantes. Por último buscamos entre todas las posibilidades para hallar la mejor. Página10

Resolución Gráfica de Problemas de Optimización Restringida Cuando el programa de optimización está definido sobre el plano, es decir, la función objetivo es de dos variables, el estudio gráfico del problema puede ser en muchos casos un método útil para su resolución, evitando así, las ecuaciones de Kuhn-Tucker. Para resolver gráficamente un problema de optimización, seguiremos los siguientes pasos: Se dibujan las curvas de nivel de la función objetivo. Observando el crecimiento de las curvas de nivel y el conjunto factible, es posible determinar gráficamente dónde se encuentran los óptimos del problema. Si el óptimo es un vértice del conjunto factible punto de intersección de las restricciones -, su cálculo se realiza fácilmente a partir de las restricciones. Si el óptimo se encuentra en el interior del conjunto factible, el problema es equivalente a un problema de optimización sin restricciones. Si el óptimo es punto de tangencia entre una curva de nivel de la función (, ) y una de las curvas (, ) = de las restricciones, el problema es equivalente a un problema de optimización con restricciones de igualdad.. Ejemplo Un proceso productivo transforma dos inputs en cantidades x e y en un output en cantidades Q 1 siguiendo la relación: =3+ La utilidad de este proceso ha sido analizada, obteniéndose en función de los inputs como: (, ) = Si por restricciones del mercado sabemos que nunca se deben obtener más de 4 unidades de. Cuáles será las cantidades de inputs que maximizan la utilidad del proceso? Solución: Al ser el conjunto factible =(, ): 3 + 4, 0, 0 convexo y la función objetivo (, ) = cóncava, ya que su matriz Hessiana es semidefinida negativa, podemos aplicar la condición suficiente de globalidad de modo que si existe un máximo ha de ser global. Página11

Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Por otra parte, al ser el conjunto factible compacto cerrrado y acotado -, y la función objetivoo continua, el teorema de los valores extremos 3, asegura la existencia de óptimos globales. De la representación gráfica observamos que la curva de nivel máxima que se puede alcanzar sujeta a la restricción planteada en el enunciado del problema, se encuentran en el punto A = (0,4). Observemos que es el punto del conjunto factible que pertenece p a la curva de mayor nivel de la función de utilidad. Condiciones de no negativid dad paraa las variables. Es frecuente que las variables que aparecen en los problemass económicos de optimización sean no negativas por su propia naturaleza. A continuaciónn veremos como no es difícil incorporar esas restricciones a la formulación del problema de optimización; por ejemplo, la 3 Ver Apéndice. Página12

restricción 0 se pueden representar por (,, )= 0, y se introduce un multiplicador de Lagrange adicional para ella. Sin embargo, para no tener que manejar demasiados multiplicadores de Lagrange, se suelen formular las condiciones necesarias de solución de los problemas de programación no lineal con restricciones de no negatividad de las variables de una forma ligeramente distinta. Consideremos primero el problema: max (, ) (, ), 0, 0 Introducimos las funciones: (, ) = y (, ) = Las restricciones del problema pasan a ser: (, ), (, ) 0 (, ) 0. A continuación tomamos la función lagrangiana: (, ) =(, ) +((, ) ) + ( ) + ( ) Las condiciones de Khun-Tucker son: = (, ) + (, ) =0 (i) = (, ) + (, ) =0 (ii) 0 (= 0 (, ) <) (iii) 0 (= 0 > 0) (iv) 0 (= 0 >0) (v) De (i) obtenemos: (, ) + (, ) =. De (iv) obtenemos que: 0 y =0 si >0. Asi (i) y (iv) equivalen conjuntamente a: (, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vi) De manera análoga, (ii) y (v) equivalen conjuntamente a: Página13

(, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vii) Por tanto, las nuevas condiciones de Khun-Tucker son (vi), (vii) y (iii). Nótese que, después de sustituir (i) y (iv) por (vi) y (ii) y (v) por (vii), sólo el multiplicador asociado con (, ) permanece. Se puede extender la misma idea al problema de variables: (,, ) max (,, ).. (,, ) 0,., 0 (I) Formuladas brevemente, las condiciones necesarias de solución de (I) son que, para cada =1,,: () + () 0, () + () = 0 > 0 (II) 0, =0 () < ( = 1,, ) (III) Nota: supongamos que es admisible y satisface las condiciones (II), y las de holgura complementaria, (III). Entonces se demuestra que si la función lagrangiana () es cóncava, resuelve el problema de maximización. Ejemplo Resolver el siguiente problema: max (x, y) = 2 3 x 1 2 x + 1 12 y, sujeta a x 5 x + y 1 x 0, y 0 Página14

Solución La función lagrangiana asociada es: () = 2 3 x 1 2 x + 1 12 y+ ( 5) + ( + 1) Las condiciones necesarias para que (, ) resuelva el problema son que existan números y tales que: = + 0 = 0 >0 (i) = + 0, = 0 >0 (ii) 0, = 0 < 5 (iii) 0, = 0 + <1 (iv) De la condición (ii) se sigue que <0, lo cual implica, por (iv), que + =1. Como 0, lo anterior implica que = +1>0, y así, que = 1/12, por (ii). Supongamos que <0 Esto implicaría, por (iii) que =5. Pero este valor de y = 1/12 implicaría, por (i), que >0, lo cual es imposible. Debe ser cierto, entonces que =0, en cuyo caso (i) nos dice que: + = + >0 De (i) se sigue entonces que + =0 =3/4 Esto a su vez implica que: =1+ =1+ =7/4 =7/4 Concluimos entonces que (, ) = (3/4, 7/4) con =0 y = 1/12, satisface todas las condiciones. Por último, se comprueba fácilmente que la función lagrangiana es cóncava, luego este candidato es la solución del problema de maximización planteado. Página15

Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Apéndice Topología del plano. En el caso de las funciones de varias variables se puede analizar a las distinciones más relevantes de los distintos tipos de dominios, mediante el uso de los siguientes conceptos de topología elemental. Punto Interior Un punto (a,b) se llama un punto interior de un conjunto S dell plano, si existe un círculo con centro (a,b) totalmente contenido en S. Conjunto abierto Un conjunto se llama abierto si todos suss puntos son interiores. Punto frontera El punto (a,b) se llama un punto de frontera de un conjuntoo S, si todoo círculo con centro (a,b) contiene puntos de S y puntos no pertenecientes a S. S Un puntoo frontera de S no pertenece necesariamente a S. Conjunto cerrado Si S contiene a todos sus puntos frontera se dice que S es cerrado. Estos conceptos se representann en la siguiente figura (I). Nótese que un conjunto que contiene algunos de suss puntos frontera pero no a todos, como el último de los representados, no es ni abierto ni cerrado. Un conjunto es cerrado si y solo s si su complemento es abierto. Página16

Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 En muchos de los problemas de optimización, los dominios están e definidos por una o más desigualdades. Los puntos frontera pertenecen al conjunto allí donde aparezcan signos de menor o igual. Por ejemplo, si, y son parámetros (x,y) que verifican las desigualdades: positivos, el conjunto (presupuestario) de los puntos +,, (i) es cerrado. Este conjunto es un triángulo, como se muestra en la siguiente figura f (II). Su frontera son los tres lados del triángulo. Cada uno de los tres lados corresponde a que una de las desigualdades de (i) sea una igualdad. Por otra parte, el conjunto que se obtiene sustituyendo por < y por > es abierto.. En general: Si (, )es una función contínua y es un numero real, los tres conjuntos: (, ) ):(,), (,, ):(,) ), (,):(, ) = son cerrados. Página17

Matemáticas Avanzadas para la Economía Curso 2013/2014 Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Si sustituimos por >, o por <, los conjuntos correspondientes son abiertos. Conjunto acotadoo Un conjunto se llama acotadoo si se puedee encontrar un círculo que q lo contenga. Los conjuntos de las figuras (I) y (II) son acotados. Por el contrario, el conjunto de todos los (,) que verifican 1 e 0 es cerrado pero no acotadoo El conjunto es cerrado porque contiene a todos sus puntos frontera Conjunto Compacto Un conjunto cerrado y acotado se llama compacto. Topologia en R Los conceptos topológicos que acabaos de introducir se generalizan muy fácilmente a R. Recordemos que se define la distancia entre dos vectores = (,, ) y =(,, ) como = ( ) + +( ) Una -bola con centro = (,, ) y radio es el conjunto de todos los puntos = (,, ) tales que <. Si sustituimos la palabra "círculo" y conjunto S que usamos enn las definiciones de topología plana por "-bola", y entorno N 4, siguenn valiendo en R las definiciones d de punto interior, i conjunto abierto, punto frontera, conjunto cerrado y conjunto compacto. 4 Un entorno N de un punto a es un conjunto que contiene una -bola conn centro a. Página18

Teorema de los Valores Extremos: Este es un teorema de existencia puro, ya que nos da condiciones suficientes para asegurar la existencia de puntos óptimos, pero no nos dice como hallarlos. Para encontrarlos Teorema Si f es una función continua sobre un conjunto compacto (cerrado y acotado) S de R, entonces existe al menos un máximo =(,, ) y un mínimo =(,, ) en S; esto es, existen c y d en S tales que () () () para todo x de S Página19