Cálculo en varias variables

Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

Motivación Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Conceptos matemáticos Funciones x(w, t) = t w sen w t w 2 Continuidad, ĺımite,... Derivada, aproximación lineal,... Integral, volumen,... Mundo real

Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición de función R n A: Dominio R B: Imagen f : A B z = f (x, y) Definición Una función f asigna exactamente un elemento z de B a cada elemento (x, y) de A. Ejemplos f (x, y) = x y 2 f (x, y) = x 2 e y f (x, y, z) = x y 2 cosz f (x, y, z) = 3 z x 2 e y

Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Dominio de una función Definición El dominio es el (máximo) conjunto A R n tal que la función f : A B está definida. Ejemplo: f (x, y) = 4 (x 2 + 4 y 2 ) x 2 > 4 = 4 (x 2 + 4 y 2 ) < 0 y 2 > 1 = 4 (x 2 + 4 y 2 ) < 0 A = [ 2, 2] [ 1, 1]?

Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Gráfica de una función Definición La gráfica de una función f : A R n B es el conjunto de puntos (x 1, x 2,... x n, y) R n+1 con y = f (x 1, x 2,... x n ). Ejemplo con n = 2: f (x, y) = 4 (x 2 +4 y 2 )

Curvas de nivel Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Una curva de nivel de la función z = f (x, y) es la curva en el plano R 2 definida (impĺıcitamente) por la ecuación f (x, y) = k para alguna constante k.

Límites y continuidad Operaciones con funciones Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Al componer funciones, el dominio de definición puede reducirse: f (x, y) = g(x, y) + h(x, y), D f = D g D h f (x, y) = g(x, y) h(x, y), D f = D g D h f (x, y) = g(x, y) h(x, y), D f = D g D h g(x, y) f (x, y) = h(x, y), D f = (D g D h ) {x h(x, y) = 0}

Límites y continuidad Límite de una función Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Para que lim f (x, y) = L tenemos que: (x,y) (a,b) dado cualquier ɛ, conseguir f (x, y) L < ɛ buscando un δ(ɛ) y haciendo (x, y) (a, b) < δ Dominio (x, y) en R 2 Gráfica (x, y, z) en R 3

Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Recuerdo de ĺımites en una variable Simplificaciones algebraicas, racionalización, etc. x 2 1 lim x 1 x 1 Límites laterales: el ĺımite, si existe, es único. x lim x 0 x Teorema de compresión: 0 acotado = 0. lim x 0 x sen 1 x Aproximación diferencial: L Hôpital, Taylor. lim x 0 1 cos x e x 1 sen x

Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Cálculo de ĺımites en varias variables Simplificaciones algebraicas, racionalización, etc. x 2 y 2 1 lim (x,y) (1,1) x y 1 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 1 Teorema de compresión: 0 acotado = 0. lim (x,y) (0,0) x y 2 x 2 + y 2 Aproximación diferencial: L Hôpital, Taylor. 1 cos(x 2 y) lim ( ) (x,y) (2,4) 2 x y

Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Límites por trayectorias Se fija una trayectoria y = g(x) por la que (x, y) (a, b). Tiene que cumplir g(b) = a. Se puede calcular el ĺımite en una sola variable: lim (x,y) (a,b) y=g(x) f (x, y) = lim x a f (x, g(x)) Si por dos trayectorias se obtienen distintos valores del ĺımite, entonces el ĺımite no existe. Algunas trayectorias sencillas: x = a, y = b, y = a + m (x b),... Ejemplos f (x, y) = x y x 2 + y 2 f (x, y) = x y 2 x 2 + y 4

Continuidad Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Una función f (x, y) es continua en un punto (a, b) R 2 si f (x, y) = f (a, b). lim (x,y) (a,b) Ejemplo: Estudiar la continuidad de la siguiente función y, si es posible, extender su definición por continuidad. f (x, y) = x y 2 x 2 + y 2

Resumen Límites y continuidad 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

Límites y continuidad Recuerdo de derivadas en una variable La derivada es: Una medida del crecimiento. f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a x a h 0 h Una aproximación...... geométrica: recta tangente. y f (a) = f (a) (x a)... anaĺıtica: aproximación lineal. f (x) f (a) + f (a) (x a)

La derivada parcial representa el crecimiento de la función con respecto a una sola de las variables, considerando las demás como constantes. Derivada parcial respecto de x de f (x, y) en (a, b) f f (x, b) f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) (a, b) = lim = lim x x a x a h 0 h Derivada parcial respecto de y de f (x, y) en (a, b) f f (a, y) f (a, b) f (a, b + h) f (a, b) (a, b) = lim = lim y y b y b h 0 h

La derivada parcial representa el crecimiento de la función con respecto a una sola de las variables, considerando las demás como constantes. Derivada parcial respecto de x de f (x, y) en (a, b) f f (x, b) f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) (a, b) = lim = lim x x a x a h 0 h Comparar: f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a x a h 0 h

g(x) = f (x, b) f x (a, b) = g (a) h(y) = f (a, y) f y (a, b) = h (b) Ejemplo: f (x, y) = 4 x 2 4 y 2 f x = 2 x f y = 8 y

Derivada direccional La derivada es una medida del crecimiento de la función. : direcciones de (1, 0), (0, 1). Derivadas direccionales: dirección de u = (u 1, u 2 ). Definición La derivada direccional en la dirección del vector unitario u = (u 1, u 2 ) de la función f (x, y) en el punto (a, b) es: D u f (a, b) = lim h 0 f (a + h u 1, b + h u 2 ) f (a, b) h

de orden superior Las derivadas parciales de f (x, y) son, a su vez, funciones de (x, y) y tienen derivadas parciales. ( ) f x = 2 f x x 2 ( ) f y x = 2 f x y Teorema (de Schwarz) ( ) f x y ( ) f y y = 2 f y x = 2 f y 2 Si todas las derivadas parciales segundas son continuas, entonces: 2 f x y = 2 f y x

Plano tangente Al hacer constante una de las variables, la derivada parcial proporciona un vector tangente. La combinación lineal de estos vectores también será tangente. Definición Si f (x, y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el plano tangente en (a, b) es: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y

Aproximación lineal El plano tangente: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y puede usarse para calcular valores aproximados de la función. Definición La aproximación lineal L(x, y) de la función f (x, y) en el punto (a, b) es la aplicación (afín): L(x, y) = f (a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y Ejemplo: f (x, y) = 2 x + e x2 y Calcular la aproximación lineal en (0, 0). Aproximar el valor f (0.1, 0.1).

Vector gradiente Definición El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales: ( ) f f f (a, b) = (a, b), (a, b) x y a = (a, b) x = (x, y) Plano tangente Comparar: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y z f ( a) = f ( a) ( x a) y f (a) = f (a) (x a)

Vector gradiente Definición El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales: ( ) f f f (a, b) = (a, b), (a, b) x y a = (a, b) x = (x, y) Aproximación lineal Comparar: f (x, y) f (a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y f (x, y) f ( a) + f ( a) ( x a) f (x) f (a) + f (a) (x a)

La existencia de derivadas parciales no garantiza: Continuidad. Plano tangente único. Derivadas direccionales. Ejemplo: f (x, y) = x y x 2 +y 2 Definición La función f (x, y) es diferenciable si: f (x, y) (f (a, b) + f (a, b) (x a, y b)) lim = 0 (x,y) (a,b) (x a, y b)

Teorema Si todas las derivadas parciales de f (x, y) en (a, b) existen y son continuas, entonces f es diferenciable en (a, b). Si f es diferenciable, entonces f es continua. Si f es diferenciable, entonces el plano tangente aproxima linealmente a la superficie z = f (x, y). Si f es diferenciable, entonces existe la derivada direccional en cualquier dirección u = (u 1, u 2 ): D u f (a, b) = f x (a, b) u 1 + f y (a, b) u 2 = f u

Gradiente y geometría vectorial Si f es diferenciable, entonces la derivada direccional mide el crecimiento de f en la dirección de u = (u 1, u 2 ): D u f (a, b) = f u = f u cos θ = f cos θ Si cos θ = 1: La tasa de crecimiento adopta el máximo valor posible. La derivada direccional es D u f (a, b) = f. El vector u va en la dirección del vector gradiente. Si cos θ = 0: La tasa de crecimiento es nula. El vector u es tangente a una curva de nivel. El vector u es norma al vector gradiente. Ejemplo: calcular el plano tangente a la superficie definida (impĺıcitamente) por x 3 z z 2 + y 2 = 7 en el punto (1, 3, 2).

Regla de la cadena Recuerdo de la regla de la cadena en una variable: Teorema d z d x = d z d y d y d x Sean z = f (x, y), x(t), y(t) funciones diferenciables. Entonces: Ejemplo: d z d t = z d x x d t + z d y y d t z y x z = e xy, x = 3 s sen t, y = 4 s t 2 Calcular z s y z t.

Derivación impĺıcita Sea una función y = f (x) dada impĺıcitamente por una ecuación F (x, y) = 0. Si llamamos x = t, y = f (t): 0 = d F d t = F d x x d t + F d y y d t = F x + F d y y d x F d y d x = x F y Ejemplos: Sea F (x, y) = x 3 + x y y 3 = 0 que define y = f (x). Calcular dy dx. Sea F (x, y, z) = x y 2 + z 3 + sen(xyz) = 0 que define z = f (x, y). Calcular z x y z y.

Resumen Límites y continuidad Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Recuerdo de extremos en una variable Teorema Si a es un extremo local de f (x), entonces a es un punto crítico. Un punto crítico a cumple una de estas condiciones: f (a) = 0 f (a) no existe Teorema Sea a un punto crítico de f (x). Entonces: El punto a es un mínimo si f (a) > 0. El punto a es un máximo si f (a) < 0.

Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Máximos y mínimos locales Un punto crítico (a, b) cumple una de estas condiciones: f f (a, b) = 0 y (a, b) x y f f (a, b) no existe o (a, b) no existe x y Teorema Si (a, b) es un extremo local de f (x, y), entonces (a, b) es un punto crítico. Ejemplo: f (x, y) = 3 x 2 6 x y y 3

Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Clasificación de extremos Definición La matriz hessiana es la matriz de segundas derivadas parciales: 2 f (a, b) 2 f x 2 x y (a, b) Hf (a, b) = 2 f y x (a, b) 2 f (a, b) y 2 Teorema Sea (a, b) un punto crítico de f (x, y) con f (a, b) = 0: El punto (a, b) es un extremo si H > 0 y además es un máximo si H 11 > 0. es un mínimo si H 11 < 0. El punto (a, b) es un punto de silla si H < 0. Nota: Las condiciones equivalen a que H sea definida positiva, definida negativa o no definida, respectivamente.

Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Optimización con restricciones Ejemplo: Buscar los extremos de f (x, y) = x 2 + y 2 sujetos a la condición g(x, y) = x y 4 = 0. Teorema Si f (x, y) tiene un extremo en (a, b) sujeto a la restricción g(x, y) = 0, entonces existe un número λ tal que se cumple: f x f y g (a, b) = λ (a, b) x g (a, b) = λ (a, b) y g(x, y) = 0

Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Extremos absolutos Teorema (de Weierstrass) Una función continua en una región cerrada y acotada alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos de la región. Estos extremos deben ser puntos críticos (incluyendo los puntos de la frontera). Para encontrar los extremos absolutos de f (x, y) en una región: 1 Hallar los extremos en el interior (sin restricciones). 2 Hallar los extremos en la frontera (con restricciones). 3 Comparar los valores de la función en cada punto crítico. Ejemplo: calcular los máximos y mínimos absolutos de la función f (x, y) = 5 + 4 x 2 x 2 + 3 y y 2 en el triángulo limitado por las rectas y = 2, y = x, y = x.