LAS PROPOSICIONES Objetivo Brindar al estudiante un concepto claro en la formulación, interpretación y aplicabilidad de las proposiciones. La interpretación de las proposiciones compuestas permite al estudiante abstraer dentro de su contexto, el resultado de veracidad o falsedad de una proposición. Metodología Lectura de los contenidos del temario, investigación de referencias bibliográficas y realización de actividades de aprendizaje (talleres referentes al temario visto) Contenido Generalidades de las proposiciones Operadores lógicos Fórmulas bien formuladas
GENERALIDADES DE LAS PROPOSICIONES Uno de los conceptos más interesantes y primordiales en la teoría de la lógica matemática es el de proposición. En esta sección comenzaremos organizando las necesidades preliminares y básicas para abordar este tema, creando así, en principio el conjunto de los símbolos con los que se va a trabajar a lo largo de estas notas de clase. Tomemos de manera concreta, el conjunto de todas las letras, L={P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,P1,P2,P3,...,Q1,Q2,Q3,...}, con las cuales se van a simbolizar las proposiciones. Conjunto que después ampliamos con los símbolos de los conectores lógicos y los paréntesis (que contiene también a las letras proposicionales), así V={V,^,->,<->,,(,)} U L. A partir de todos estos símbolos formaremos cadenas de caracteres o fórmulas que representarán a las proposiciones. Para empezar notamos que la forma lógica de algo depende de su estructura o forma de organización, lo cual da pie para hablar de relación entre sus partes. Por ende, a cada una de estas partes se llama término de la relación. Los términos de la relación, también llamados elementos, pueden ser cualidades, valores, entre otros. Así, podemos afirmar que una proposición es, por ejemplo, una combinación de palabras que involucran términos y relaciones con un significado, teniendo en cuenta que los términos satisfacen o no la relación. Otra característica muy importante en las proposiciones, es que su enunciado permite asignarles un criterio bien sea de verdadero o falso. Ejemplo 1: SON PROPOSICIONES Los flamingos son azules Alirio tomó una taza de té Juan abrió la ventana NO SON PROPOSICIONES De qué color son los flamingos? Desea una taza de té? Abre la ventana
Cuando los enunciados son formulados de manera interrogativa o imperativa, no ofrecen una valoración clara para asignarles un valor de verdad, por ello no son usados como proposiciones en la lógica matemática (columna de la derecha). Por el contrario, cuando el enunciado permite asignarle un valor de verdad o falsedad es posible utilizarlos en la lógica matemática (columna de la izquierda) Como podemos apreciar en los ejemplos anteriores, una proposición es una frase que dentro de su contexto representa una circunstancia de la realidad y permiten asignarles un valor de verdadero o falso. simples y compuestas Es importante precisar que las proposiciones están determinadas por dos características: simples y compuestas Las proposiciones simples (conocidas también como atómicas o moleculares) no tienen conectivos lógicos Ejemplo 2: Hoy es viernes El computador está encendido Los programas del menú de inicio de windows se inician automáticamente cada vez que se inicia windows Las proposiciones compuestas tienen conectivos lógicos. Ejemplo 3: Hoy es Viernes y mañana es sábado Estoy programando y bajando un archivo de internet Si el computador no funciona, o esta dañado o está desconfigurado
Estas proposiciones pueden representarse con una letra la cual interpreta el significado de su contexto: Ejemplo 4: Sea la proposición Las computadoras trabajan más rápido que los hombres Podemos interpretar en lógica matemática el anterior enunciado con la proposición: P Como podemos observar, es bastante fácil y obvio la interpretación de las proposiciones, pero no deja de ser el insumo principal para aplicar sus conceptos en la lógica matemática. En el tema a seguir, veremos la iteración y conexión existente en una proposición a partir de los operadores lógicos y ver más a fondo su interpretación.
OPERADORES LÓGICOS En esta parte del curso se intenta guiar al estudiante gradualmente en la adquisición de los conceptos y técnicas de la lógica que le permitan identificar razonamientos válidos e inválidos, construir argumentos deductivos, adquirir el concepto de demostración y la habilidad de demostrar La Conjunción Su expresión castellana es " y ", mientras que su expresión simbólica es " ^ " Definición: La conjunción une dos proposiciones de modo que la proposición compuesta es verdadera si y solo si ambas son verdaderas. Usaremos A,B,C,...como variables proposicionales, es decir, como símbolos que representan una proposición cualquiera, de manera análoga a como se usan x,y,z, en álgebra. Si A y B representan proposiciones cualesquiera, el uso correcto de la conjunción se define por la tabla de verdad La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente: Una conjunción es verdadera cuando todas las proposiciones componentes son verdaderas. Una conjunción es falsa si por lo menos una de las proposiciones componentes es falsa. Ejemplo 1: Hoy es Viernes y Mañana es sábado
La Disyunción Su expresión castellana es " o ", mientras que su expresión simbólica es " V ". Definición: La disyunción une dos proposiciones de modo que la proposición compuesta es verdadera si por lo menos una de las dos proposiciones es verdadera La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente: Una disyunción es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones componentes es verdadera. Una disyunción es falsa si todas las proposiciones componentes son falsas Ejemplo 2: La negación Hoy es Viernes ó Mañana es sábado Su expresión castellana es " no ", mientras que su expresión simbólica es " ". Definición: La definición es un operador que actúa sobre una proposición para cambiar su valor de verdad. La siguiente tabla ilustra su comportamiento
Una proposición y su negación tienen valores de verdad contrarios Ejemplo 3: No es cierto que hoy es Viernes La implicación o condicional Su expresión castellana es " si...entonces ", mientras que su expresión simbólica es " ". El condicional es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. La tabla de verdad del condicional material es la siguiente: En la expresión a A se le denomina antecedente y a B consecuente Un condicional es falso si el antecedente tiene valor verdadero y el consecuente tiene valor falso Ejemplo 4: Si hoy es Viernes, entonces mañana es sábado
El Bicondicional Su expresión castellana es " si y solo sí ", mientras que su expresión simbólica es " ". El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren. La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente: Un bicondicional es verdadero si las proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad Ejemplo 5: Hoy es Viernes si y solo sí mañana es Sábado La clave en las proposiciones es identificar aquellas individuales o atómicas y luego reconocer los conectores lógicos inmersos en el contexto. Veamos una serie de ejemplos: Ejemplo 6: No tengo un auto azul este enunciado está compuesto por una proposición atómica y una negación:
P = "tengo un auto azul" Negación = "No" Teniendo en cuenta los símbolos anteriormente descritos, podemos interpretar el anterior enunciado así: P Ejemplo 7: Jairo estudia en Unicomfacauca y Reinel estudia en Unicauca Este enunciado está compuesto por dos proposiciones atómicas y un conector lógico (la conjunción) P = "jairo estudia en Unicomfacauca" Q = "Reinel estudia en Unicauca" Conector = "y" El anterior enunciado en lógica matemática se puede interpretar así: P ^ Q Como podemos observar, cada oración o proposición puede representarse por una letra. La conjugación de ellas con conectores lógicos permiten hacer razonamientos específicos para concluir la veracidad o falsedad de alguna situación. Veamos un caso: Ejemplo 8: EL PROBLEMA DEL ROBO Se ha cometido un robo y están detenidos tres sospechosos. Uno de ellos (el ladrón) miente sistemáticamente; otro (el cómplice) deforma solo una parte de la verdad, y el último (acusado de manera errónea) nunca miente. El
interrogatorio comienza con preguntas de órden profesional: Vicente: "Soy pintor, Alfredo es pianista. Carlos es decorador" Alfredo: "Soy médico. Carlos es agente de seguros. En cuanto a Vicente, si se le pregunta dirá que es pintor". Carlos: "Alfredo es pianista. Vicente es decorador. Yo soy agente de seguros" Cuál es la profesión del cómplice? Solución Aquí, cada declaración es, o bien verdadera o bien falsa. Sabiendo que hay alguien que siempre miente, debe buscarse alguna declaración que sea sin duda verdadera. Como Vicente dice que es pintor y Alfredo afirma que Vicente diría que es pintor, entonces la última declaración de Alfredo es verdadera. Esto permite concluir que Alfredo no es ladrón. Así que el ladrón está entre Vicente y Carlos. Pero Vicente y Carlos coinciden en una declaración (Alfredo es pianista), por lo tanto o ambos mienten o ambos dicen la verdad. Como esto último no es posible (dado que el ladrón siempre miente), entonces ambos mienten en esa declaración. Esto permite concluir que Alfredo es inocente, por ende, todas sus declaraciones son verdaderas. Vamos a usarlas. Alfredo asegura que Carlos es agente de seguros y, por lo tanto, lo es. Y como Carlos declara lo mismo, entonces a veces miente y a veces no. Luego, él es el cómplice y Vicente, el ladrón. Así tenemos que: Alfredo: inocente. Médico Carlos: cómplice. Agente de seguros Vicente: Ladrón. Otra profesión desconocida
FÓRMULAS BIEN FORMADAS Una cadena a es una fbf (fórmula bien formada) si a es una letra proposicional o es la negación de una fórmula bien formada, esto es, a = b, donde b es una fórmula bien formada, o a es de la forma (b * c), donde b y c son fórmulas bien formadas y * es un conectivo lógico binario. Ejemplo: Las siguientes son casos de fórmulas bien formadas (fbf) (P ^ Q) (P v Q) Q (P v Q) ^ ( (R v Q)) Las siguientes no son casos de fórmulas bien formadas (fbf) vp P ^vq P ^ Q) Nota: El concepto de fbf tiene gran relevancia cuando el estudiante de ingeniería deba aplicar algoritmos para la resolución de un problema. La algoritmia, al ser traducida a un lenguaje de programación tiene que satisfacer la sintaxis soportada por el lenguaje, que técnicamente se conoce como compilador. El compilador es entonces el recurso encargado de validar que las rutinas de códigos estén bien estructuradas para que puedan ser validadas y permitir su operación y ejecución.