Definición de probabilidad Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Experimentos aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. s Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener. Teoría de probabilidades La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Suceso elemental Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar una moneda se obtenga 4. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso aleatorio Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. B = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b)} 4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}. A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} Tipos de sucesos Suceso elemental Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso compuesto Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible Suceso imposible,, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por. Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {, {C}, {X}, {C,X}}. Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2 n. Una moneda E= {C, X}. Número de sucesos = 2 2 =4 Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Número de sucesos = 2 4 =16 Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Número de sucesos = 2 6 = 64 Unión de sucesos La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. A B se lee como "A o B". Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {2, 3, 4, 6} Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa
Asociativa Idempotente Simplificación Distributiva Elemento neutro Absorción Intersección de sucesos La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A B se lee como "A y B". Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {3} Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa Asociativa Idempotente Simplificación Distributiva Elemento neutro Absorción Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A B se lee como "A menos B". Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {2, 4} Propiedad Sucesos contrarios El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A. Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular. A = {2, 4, 6} = {1, 3, 5} Propiedades Leyes de Morgan Propiedades de la probabilidad
Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B) = p(a) + p(b) Propiedades de la probabilidad 1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: 2 Probabilidad del suceso imposible es cero. 3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección. 4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste. 5 Si A 1, A 2,..., A k son incompatibles dos a dos entonces: 6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1, x 2,..., x n } entonces: Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P(par) = P(1) + P(2) + P(3) Regla de Laplace Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: s Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. Casos favorables: 1. En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: 40. Casos favorables de ases: 4. Casos favorables de copas: 10. Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1 Un número par. Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables: {2, 4, 6}. 2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}. 2 Un múltiplo de tres. Casos favorables: {3, 6}. 3 Mayor que 4. Casos favorables: {5, 6}. Combinatoria y probabilidad La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos. s 1 Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces. Casos posibles: Tenemos dos elementos, cara y cruz, y los tomamos de cuatro en cuatro, importando el orden. Casos favorables: Tenemos 4 monedas y las tomamos de 2 en 2, sin importar el orden. 2 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas? Casos posibles: Casos favorables: Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 9!. 3Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 4 ases. 4 ases y un rey. 3 cincos y 2 sotas. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
3 de un palo cualquiera y 2 de otro. Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo. Al menos un as. Probabilidad de la unión de sucesos Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A B = p(a B) = p(a) + p(b) Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado. Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A B p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) p(a B C) = p(a) + p(b) + p(c) p(a B) p(a C) p(b C) + p(a B C) Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado. Probabilidad condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B. Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par. Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(b/a) = p(b) Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si p(b/a) p(b) Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(a B) = p(a) p(b) Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. Cuál es la probabilidad de extraer dos ases? Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(a B) = p(a) p(b/a) Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. Cuál es la probabilidad de extraer dos ases? Probabilidad de la diferencia de sucesos Tablas de contingencia Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: 1 Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 2Si del afortunado se sabe que es casado, cuál será la probabilidad de que sea una mujer? Diagramas de árbol Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. s Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño. 1 Seleccionar tres niñas. Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: Tres caras.
Experimentos compuestos Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos. Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2,..., A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(b) = p(a 1 ) p(b/a 1 ) + p(a 2 ) p(b/a 2 ) +... + p(a n ) p(b/a n ) Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Teorema de Bayes Si A 1, A 2,..., A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: Las probabilidades p(a 1 ) se denominan probabilidades a priori. Las probabilidades p(a i /B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(b/a i ) se denominan verosimilitudes. s El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma. Resúmen Probabilidad Teoría de probabilidades La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Tipos de sucesos Suceso elemental Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Suceso aleatorio Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Suceso imposible Suceso imposible,, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por.
Unión de sucesos La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Intersección de sucesos La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Sucesos contrarios El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Axiomas de la probabilidad 1.0 p(a) 1 2.p(E) = 1 3.p(A B) = p(a) + p(b) Propiedades de la probabilidad 1 2 3 4 5 Si A 1, A 2,..., A k son incompatibles dos a dos entonces: 6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1, x 2,..., x n } entonces: Ley de Laplace Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A B = p(a B) = p(a) + p(b) Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A B p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Probabilidad condicionada Probabilidad de la intersección de sucesos independientes p(a B) = p(a) p(b) Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(a B) = p(a) p(b/a) Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2,..., A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E) y B es otro suceso, resulta que:: p(b) = p(a 1 ) p(b/a 1 ) + p(a 2 ) p(b/a 2 ) +... + p(a n ) p(b/a n ) Teorema de Bayes Si A 1, A 2,..., A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E) y B es otro suceso, resulta que::
Problemas de probabilidad 1Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1Dos caras. 2Dos cruces. 3Dos caras y una cruz. 2Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. 3Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: 1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. 2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento. 4Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1La probabilidad de que salga el 7. 2La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. 5Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 1Salga 6 en todos. 2Los puntos obtenidos sumen 7. 6Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1Un número par. 2Un múltiplo de tres. 3Mayor que cuatro. 7Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: 1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. 1La primera bola no se devuelve 8Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:
1Sea roja. 2Sea verde. 3Sea amarilla. 4No sea roja. 5No sea amarilla. 9Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 1Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 2Sin reemplazamiento. 10Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? 11En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: 1Sea hombre. 2Sea mujer morena. 3Sea hombre o mujer. 12En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 1Si se saca una papeleta. 2Si se extraen dos papeletas. 3Si se extraen tres papeletas. 13Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen. 14Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, cuál es la probabilidad de que la maten? 15Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. 16La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1De que ambos vivan 20 años. 2De que el hombre viva 20 años y su mujer no. 3De que ambos mueran antes de los 20 años. 17Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces. 18Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas 19Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 1 4 ases. 24 ases y un rey. 33 cincos y 2 sotas. 4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 53 de un palo cualquiera y 2 de otro. 6Al menos un as. Problemas de probabilidad condicionada 1De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1 Las dos sean copas. 2Al menos una sea copas. 3Una sea copa y la otra espada. 2Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 3Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés? 2 Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés? 4En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
1 Juegue sólo al fútbol. 2Juegue sólo al baloncesto. 3Practique uno solo de los deportes. 4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto. 5Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. 2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. 3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. 4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. 6En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? 2Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? 3 Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 7En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1 Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qué probabilidad hay de que sea hombre? 8Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: 1 Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 2Si del afortunado se sabe que es casado, cuál será la probabilidad de que sea una mujer? 9Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños. 2Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3Seleccionar por lo menos un niño. 4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
10Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde. 2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. 11Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: 1 Con una persona sin gafas. 2Con una mujer con gafas. 12En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea chica? 13Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara. 14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B. 2Probabilidad de que la bola sea blanca. 15Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida? 16Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? 2Si no realiza el examen, cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador? 17En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. 1 Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? 2Si se sabe que B eligió una novela, cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
18En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide: 1 Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? 2 Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? 3Y si la llave escogida es la correcta, cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? 19El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Esquema de probabilidad