Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@ugtomx En estas notas se definirán el rango de una matriz y se probarán algunos resultados acerca de matrices invertibles Rango columna y rango fila de una matriz Empezaremos esta sección definiendo los espacios fila y columna de una matriz Definición Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K El espacio columna de M es el espacio generado por los n vectores formados por las columnas de M estos vectores pertenecen al espacio vectorial R m El espacio fila de M es el espacio generado por los m vectores formados por las filas de M estos vectores pertenecen al espacio vectorial R n Definición Sea M una matriz de m filas y n columnas con elementos en un campo K El rango columna de M, denotado por ρ C (M), es la dimensión del espacio columna de M Similarmente, el rango fila de M, denotado por ρ F (M), es la dimensión del espacio fila de M Teorema El número de columnas linealmente independiente de una matriz es igual al número de filas linealmente independientes de la misma matriz En otras palabras, el ρ C (M) = ρ F (M) Definición El rango de una matriz, M, denotado por ρ(m), es el valor de su rango fila o de su rango columna, es decir ρ(m) = ρ C (M) = ρ F (M) El siguiente resultado, el mas importante de estas notas, muestra que el rango de una transformación lineal es igual al rango de cualquiera de sus matrices representativas En otras palabras el rango de una transformación lineal es invariante respecto a la selección de las posibles bases que se emplean para representar la transformación lineal Teorema Sea M M m n sobre el campo K Sean V y V tales que dimv = n y dimv = m y sea T una transformación lineal de V a V Si M es la matriz representativa de T respecto a bases arbitrarias B de V y B de V entonces el R T es isomórfico al espacio columna de M, por lo tanto ρ(t) = ρ(m) Teorema El rango fila de una matriz, ρ c (M), y por lo tanto el rango de la matriz, ρ(m), es igual al número de filas diferentes de cero de una, y de todas, las formas escalonadas de la matriz Prueba: Sea M M m n y sean M,M 2,,M m las m filas de la matriz, estas filas pueden suponerse que pertenecen a un espacio vectorial R n Sin pérdida de generalidad, suponga que M tiene su primer componente diferente de cero, y suponga que se realiza el primer paso de escalonamiento, entonces, la
Figura : Representación Gráfica del Isomorfismo Entre el Rango de T y el Espacio Columna de M matriz se reduce a M = M M 2 = M 2 λ 2 M M 3 = M 3 λ 3 M M i = M i λ i M M m = M m λ m M = m m 2 m n, donde el símbolo ξ significa un número desconocido que en general es diferente de cero Es importante señalar que las filas de la matriz M son combinaciones lineales de las filas de la matriz original M Nuevamente suponga, sin pérdida de generalidad, que M 2 tiene su segundo componente diferente de cero, y suponga que se realiza el segundo paso de escalonamiento, entonces M 2 = m m 2 m n ξ ξ ξ donde el símbolo ξ significa un número desconocido que en general es diferente de cero Nuevamente, es importante señalar que las filas de la matriz M 2 son combinaciones lineales de las filas de la matriz original M Este proceso de escalonamiento debe terminar después de un número finito de pasos, menor o igual a m Existen dos posibilidades: La fila M j de la matriz se transformó en una fila de ceros, después de k pasos de escalonamiento En este caso, se tiene que, = M kj = M k,j λ k,j M,k 2
sin embargo, M,k y M k,j, pueden escribirse como una combinaciones lineales de M j,m k,,m 2 y M, además el coeficiente de M j es diferente de cero Por lo tanto, M j es linealmente dependiente del conjunto {M,M 2,,M k } y por lo tanto no puede formar parte de la base del espacio fila de la matriz 2 La fila M j de la matriz no se transformó en una fila de ceros, después de k pasos de escalonamiento En este caso, se tiene que M j no puede escribirse como una combinación lineal de {M,M 2,,M j } y debe añadirse a este conjunto para formar una base de su espacio fila Por lo tanto, la dimensión del espacio fila es el número de filas diferentes de cero de cualesquiera de sus formas escalonadas 2 Matriz Inversa En esta parte de las notas analizaremos las propiedades de las matrices inversas Teorema Sea M M m m tal que ρ(m) = m Entonces existe una única matriz, denotada M, tal que MM = I m = M M donde I m es la matriz identidad de orden m; es decir con m filas y m columnas Prueba: Por el isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales, sabemos que hay una transformación lineal T : V V tal que dimv = dimv = m podemos, por simplicidad, suponer que V = V tal que M es la matriz representativa de T respecto a una base B V del espacio vectorial V Puesto que ρ(m) = m, entonces ρ(t) = m y T es sobreyectiva, además, puesto que ν(t) + ρ(t) = dimv se tiene que ν(t) = m m = Por lo tanto T es biyectiva y existe una transformación inversa T que satisface la propiedad TT = I V = T T () Sea M la matriz representativa de T respecto a la base B V y recordando: La matriz identidad I m es la matriz representativa de I V respecto a cualquier base, y 2 Si M y N son las matrices representativas de S y T respecto a una base, MN es la matriz representativa de ST respecto a la misma base, Aplicando estos dos resultados a la ecuación dada por (), se tiene que MM = I m = M M Para la unicidad suponga, nuevamente, que hay dos matrices inversas M y M 2, entonces Entonces MM = I m = M M y MM 2 = I m = M 2 M MM = I m = MM2 o M ) = M m = M 2 ) (M M)M = M = (M M)M2 I m M = M = I m M2 o M = M2 Puesto que V = V solo es necesario emplear una base 3
Definición Sea M M m m Entonces M se dice que es no-singular o invertible si ρ(m) = m Si ρ(m) < m, M se dice singular o no-invertible Corolario Si la matriz M M m m es invertible, existe una única matriz M M m m tal que MM = I m = M M Teorema Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño Entonces AB es no-singular, si y sólo si A y B son no singulares En este caso (AB) = B A Teorema Si A es no singular, entonces A es no singular y (A ) = A Además, λa es no singular para todo λ y (λa) = λ A Prueba: Si A es no singular, existe A tal que AA = I = A A Entonces (A ) = A y A es no singular Similarmente considere (λa)( λ A ) = λ λ AA = I = I y ( ) λ A (λa) = λ λa A = I = I Por lo tanto, λa es no singular y (λa = = λ A Teorema Si A es no singular, entonces A T es no singular y (A T ) = (A ) T Prueba Si A es no singular, existe A tal que AA = I = A A además Por lo tanto (A ) T A T = (AA ) T = I T = I = (A A) T = A T (A ) T (A T ) = (A ) T 3 Problemas Resueltos Problema Encuentre la matriz inversa de 2 3 M = 2 3 Solución Para este fin, escriba la matriz de bloques dada por 2 3 [M I 3 ] = 2 3 El proceso consiste en realizar operaciones entre las filas de la matriz [M I 3 ] de tal manera que la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde M se convierta en la matriz I 3 Cuando esto ocurra, la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde a I 3 se convierte en M El proceso se realiza en etapas
En la primera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con la primera fila y la tercera fila por la resta de la primera fila a la tercera fila La matriz resultante es 2 3 [M I 3 ] I = Además, se multiplica la segunda fila por, de manera que al final de esta primera etapa, la matriz de bloques tiene la forma [M I 3 ] Ia = 2 3 2 En un segunda etapa, se tiene que substituir la tercera fila por la resta de veces la segunda fila a la tercera fila, de modo que 2 3 [M I 3 ] II = Además, se divide la tercera fila entre, de modo que 2 3 [M I 3 ] IIa = 3 En una tercera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con veces la tercera fila y la primera fila por la resta de 3 veces la tercera fila a la primera fila La matriz resultante es [M I 3 ] III = 9 2 3 En una etapa final, se sustituye la primera fila por la suma de la primera con 2 veces la segunda fila La matriz resultante es [M I 3 ] IV = Por lo tanto, la matriz inversa, M, está dada por M = Este resultado puede verificarse mediante multiplicación directa entre M y M
Problemas Propuestos Problema Determine el rango de las siguientes matrices 2 2 3 M = 3 2 M 2 = 3 2 2 3 2 Problema 2 Considere el inciso, del problema 2, del apunte, Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal que presenta una transformación lineal dada por T : P 3 (x) R T(a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) = (a a,a 2,a 3,) (2) Encuentre la matriz representativa de la transformación lineal con respecto a las bases B P 3 = {p (x) =,p 2 (x) = x,p 3 (x) = x 2,p (x) = x 3 } y B R = {(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)} y muestre que el rango de la matriz representativa es igual al rango de la transformación lineal Problema 3 Encuentre la matriz inversa de 2 2 M = 3 2 6