Tema 4. Espacio Proyectivo.

Tema 4. Espacio Proyectivo. Definición y modelos. *) El origen de la geometría proyectiva está relacionado con el estudio de la perspectiva, para conseguir cuadros o planos realistas del mundo 3-dimensional; cada punto representa una linea visual. Definición.- El espacio proyectivo n-dimensional es el conjunto de las rectas vectoriales de R n+1, esto es, RP n = {0 P / P R n+1 {0}}. En particular, se tiene la recta proyectiva RP 1 = {0 P / P R 2 {0}} yelplano proyectivo RP 2, cuyos elementos o puntos proyectivos son las rectas 0 P R 3 que pasan por el origen 0 y otro punto P R 3. Además, se puede decir que los planos vectoriales Π 0 de R 3 son las rectas proyectivas de RP 2,yaqueΠ 0 R 2. *) Hay distintos modelos para estudiarlo. Por un lado, f : R n+1 {0} RP n es una aplicación sobreyectiva, con P 0 P f(p )=f(q) 0 P =0 Q Q 0 P λ R {0} / Q = λp. Esto define una relación de equivalencia en R n+1 {0}, por P Q λ R {0} / Q = λp y un conjunto cociente con clases de equivalencia R n+1 {0} = {[P ] / P R n+1 {0}}, [P ]={Q R n+1 {0} / Q P } =(0 P ) {0}. 1

Asi, identificando [P ] con 0 P, se tiene el modelo cociente R n+1 {0} RP n, donde cada punto proyectivo, 0 P RP n, es una recta vectorial de R n+1, que se representa por cualquiera de sus puntos, ya que [Q]=[λP ]=[P ] 0 P, Q (0 P ) {0} R n+1 {0}. Por este camino, se obtiene RP n Sn, con [P ]=[±P/ P ], y en particular RP 1 S1 S1, pero RP 2 S2 no se puede identificar con la esfera S2 R 3. *) Por otro lado, si r y r 0 =0 P 0 [P 0 ] son rectas paralelas en R 2, entonces f : r R 2 {0} RP 1 [P 0 ] P 0 P [P ] es una aplicación biyectiva, ya que cada recta vectorial de R 2, distinta de r 0, corta a r en un único punto. Por tanto, se puede identificar r con f(r) =RP 1 [P 0 ] y se obtiene el modelo afín ampliado RP 1 = f(r) [P 0 ] r [P 0 ], donde cada punto P de la recta afín r se identifica con el punto proyectivo f(p )=0 P [P ]. Como [P ] P =(0 P ) r, P r, se interpreta [P 0 ] RP 1 como el punto del infinito donde se cortan las rectas paralelas r 0 =0 P 0 y r. Pero lo más importante son los siguientes resultados. 2

Consecuencia.- La recta proyectiva menos un punto proyectivo cualquiera es una recta afín. Teorema.- El plano proyectivo menos una recta proyectiva cualquiera es un plano afín. Demostración.- Si [Π 0 ] RP 2 es una recta proyectiva y Π 1 R 3 es un plano paralelo al plano vectorial Π 0 R 3,Π 1 Π 0, entonces f :Π 1 R 3 {0} RP 2 [Π 0 ] P 0 P [P ] es una aplicación biyectiva, ya que cada recta vectorial de R 3, no contenida en Π 0, corta a Π 1 en un único punto, que será su preimagen mediante f. Por tanto, se puede identificar Π 1 con f(π 1 ) y se concluye que RP 2 [Π 0 ]=f(π 1 ) Π 1 [P ] 0 P P. *) En este modelo afín ampliado del plano proyectivo, RP 2 Π 1 [Π 0 ], cada punto proyectivo es una recta vectorial de R 3, que se representa por su punto de corte con el plano afín Π 1, salvo que sea paralela a este plano, por estar contenida en Π 0. Analogamente, las rectas proyectivas [Π] RP 2, con Π plano vectorial de R 3, son la recta del infinito r =[Π 0 ] 3

y las rectas afines r =Π Π 1 Π 1, para Π Π 0, extendidas con su punto del infinito [r 0 ] r, donde r 0 =Π Π 0 Π 0 es la única recta vectorial de Π que no corta a r, esto es, con r y r 0 paralelas. [Π] r [r 0 ] Π 1 [Π 0 ] RP 2, *) Como r y r 0 tienen la misma dirección, cualquier recta r Π 1 paralela a r =Π Π 1 tiene el mismo punto del infinito [r 0 ] r, con r 0 =Π Π 0 =Π Π 0 =Π Π, para el plano vectorial Π =0 r. Asi, [Π] r [r 0 ]y[π ] r [r 0 ] son rectas paralelas extendidas, que se cortan en su punto del infinito. Comentarios sobre los modelos del plano proyectivo R 3 {0} RP 2 Π 1 [Π 0 ]. *) Se puede considerar el plano proyectivo RP 2 como el plano afín R 2 Π 1, ampliado con los puntos del infinito, donde se cortan las rectas paralelas. Pero estos puntos y rectas no son especiales en RP 2, que es homogéneo por definición. *) Dos planos vectoriales distintos de R 3 se cortan en una recta vectorial, por tanto, dos rectas proyectivas distintas siempre se cortan en un punto proyectivo, [Π] [Π ]=[Π Π ] RP 2 R3 {0}. *) Cualquier recta [Π 0]deRP 2 se convierte en recta del infinito, tomando un plano Π 1 paralelo al plano vectorial Π 0. Esto es, Π 1 [Π 0 ] RP 2 Π 1 [Π 0] y dependiendo de la recta del infinito que quitemos, veremos un corte Π 1 oπ 1 de RP 2. 4

En consecuencia, cada situación proyectiva tendrá distintas versiones afines equivalentes. Por ejemplo, las rectas proyectivas anteriores se ven paralelas en Π 1 y secantes en Π 1,yaquesu intersección está en r =[Π 0 ] y no en r =[Π 0]. *) Dos rectas vectoriales distintas de R 3 están contenidas en un único plano vectorial. Por tanto, dos puntos distintos P, Q RP 2 determinan una única recta proyectiva P Q, que pasa por ellos. Notación.- Escribimos P en lugar de [P ] 0 P. *)Usando las identificaciones anteriores se puede demostrar un resultado proyectivo probando una de sus versiones afines, y además se tendrá demostrado para el resto de versiones. Ejemplo.- Un cuadrivértice completo en RP 2 (o en R 2 ) está formado por cuatro puntos P,Q,R,S, vértices, no alineados tres a tres. Determinan seis rectas distintas, lados, que tienen un vértice en común o se cortan en un punto diagonal, A, B o C. Cortando un cuadrivértice completo con planos afines se tienen distintas posibilidades: 5

Pero, en el plano afín RP 2 A C, todas las versiones se reducen a un paralelogramo, ya que las rectas que se cortan en AoC, ahora se ven paralelas: Entonces, como las diagonales de un paralelogramo siempre se cortan, se deduce que B no está en la recta A C, es decir, los puntos diagonales de un cuadrivértice completo nunca están alineados, Teorema de Fano. *) Finalmente, si se quiere trabajar con coordenadas se tiene: Definición.- Para cada (a, b, c) R 3 {0}, se dice que [a, b, c] son las coordenadas homogéneas del punto proyectivo 0 (a, b, c) RP 2. *) Como la recta vectorial 0 (a, b, c) =0 λ(a, b, c), para λ R {0}, se deduce que [a, b, c]=[λa, λb, λc]. *) Si Π 0 = {(x, y, z) R 3 /z=0} yπ 1 = {(x, y, z) R 3 /z=1} son planos paralelos, como en el modelo afín ampliado, entonces (a, b, c) / Π 0, se tiene un único (a/c, b/c, 1) Π 1 con [a, b, c]=[a/c, b/c, 1], esto es, para cada punto de RP 2 [Π 0 ] hay un único representante en Π 1. Pero, si (a, b, c) Π 0, entonces [a, b, 0] = [λa, λb, 0], para λ R {0}, no tiene representante (finito) en Π 1. Asi, la geometría afín es un caso particular de la geometría proyectiva, con identificaciones del tipo R 2 RP 2 [Π 0 ] (x, y) [x, y, 1] (a/c, b/c) [a, b, c], donde los puntos se van al infinito cuando c tiende a 0. 6

Ejercicio. 1. Determinar los puntos de la recta P Q RP 2, para P =[1/2, 0, 1/2] y Q =[1, 2, 3]. 2. Obtener P Q en Π 1 [Π 0 ]. 3. Calcular la recta r RP 2, tal que r P Q [Π 0 ] y pasa por [3, 2, 1]. 4. Dibujar las rectas afines asociadas a r y P Q en Π 1 z =1yΠ 5 y =5. Teoremas clásicos. Teorema de Desargues.- Sean ABC, A B C dos triángulos en RP 2, con vértices distintos y tales que los pares de lados homólogos se cortan en tres puntos alineados, esto es, A B A B, A C A C y B C B C están sobre una recta r. Entonces las rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes (en un punto P ). *) Dibujo de una versión afín en R 2 RP 2 r, para r r, (se ve r). En este caso, P / r; pero también se puede hacer con P r. Demostración.- Este teorema proyectivo es cierto por ser equivalente al siguiente resultado en el plano afín RP 2 r, (demostrado en el Tema 1). Versión afín del Teorema de Desargues.- Si ABC, A B C son dos triángulos en R 2, con vértices distintos y lados homólogos paralelos, entonces las rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes o paralelas. *) Hay dos posibilidades, ya que P puede estar en r o no. 7

*) Dibujos de la versión afín en RP 2 r, (no se ve r), con P / r y P r respectivamente. Definición.- Un hexágono en RP 2 está formado por 6 puntos distintos P 1,..., P 6, vértices, que determinan 6 rectas distintas P 1 P 2,..., P 6 P 1, lados. Tiene tres pares de vértices opuestos (P 1,P 4 ),..., (P 3,P 6 ) y tres pares de lados opuestos (P 1 P 2,P 4 P 5 ),..., (P 3 P 4,P 6 P 1 ). Teorema de Pappus.- Si los vértices de un hexágono en RP 2 están alternativamente sobre dos rectas r, r, entonces los 3 pares de lados opuestos se cortan en 3 puntos alineados (sobre r ). Demostración.- Es equivalente a su versión en el plano afín RP 2 r. Versión afín del Teorema de Pappus.- Si los vértices de un hexágono en R 2 están alternativamente sobre dos rectas r, r ; y dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces el tercer par también es paralelo. 8

Demostración.- Consideramos P 1 P 2 //P 4 P 5 y P 2 P 3 //P 5 P 6 con P 1,P 3,P 5 r y P 2,P 4,P 6 r. 1. Si r y r se cortan en P, entonces existen homotecias h, h de centro P, con h(p 1 )=P 5, h(p 2 )=P 4, h (P 2 )=P 6 y h (P 3 )=P 5, esto es, consevan r, r y aplican rectas en rectas paralelas. Como son conmutativas, se tiene que f = h h 1 = h 1 h es otra homotecia de centro P con f(p 1 )=P 3 y f(p 6 )=P 4. Por tanto, P 1 P 6 //P 3 P 4. 2. Si r y r son paralelas, entonces se usan traslaciones. Dualidad. En RP 2 se puede intercambiar el papel de puntos (alineados) y rectas (concurrentes): Ejemplo de resultados duales. 1. Dos puntos distintos de RP 2 determinan una única recta, que pasa por ellos, (esto es, siempre están alineados). 2. Dos rectas distintas de RP 2 siempre se cortan en un único punto. (En R 2 pueden ser concurrentes o paralelas). 9

Definición.- El plano proyectivo dual RP 2 es el conjunto de las rectas proyectivas de RP 2, esto es RP 2 = {Q R/Q R RP 2 }. *) Como cada plano vectorial Q R R 3 es ortogonal a una única recta vectorial P R 3, y viceversa, se puede denotar P = Q R P Q, R. Entonces yladualización (P )=P, es una aplicación biyectiva. RP 2 = {P /P RP 2 } : RP 2 RP 2, Además, lleva puntos alineados en rectas concurrentes, ya que S P S P P S y los puntos S de la recta proyectiva P se aplican en rectas S que concurren en P. Es decir, es el haz de rectas que pasan por P. (P ) = {S /S P } = {S /P S } *) Identificando RP 2 con RP 2, mediante la biyección P P, se tiene que 1 también lleva rectas concurrentes en (haces de rectas que pasan por) puntos alineados. RP 2 RP 2 RP 2 RP 2 Consecuencia.- La aplicación : RP 2 concurrentes. RP 2 intercambia puntos alineados y rectas 10

Ejemplo de figuras duales. 1. Un triángulo en RP 2 está formado por tres puntos no alineados, que determinan tres rectas no concurrentes. 2. Un triángulo dual en RP 2 está formado por tres rectas no concurrentes, que determinan tres puntos no alineados. *) El dual de un triángulo es otro triángulo, y se dice que es una figura autodual. Ejemplo de definiciones duales. 1. Dos triángulos en RP 2 están en perspectiva central si las tres rectas que unen los vértices homólogos son concurrentes (en un punto P, centro). 2. Dos triángulos en RP 2 están en perspectiva axial si los pares de lados homólogos se cortan en tres puntos alineados (sobre una recta P, eje). (P A A = Q Q = A A P ) Ejemplo de teoremas duales. 1. Teorema de Desargues.- Si dos triángulos en RP 2 están en perspectiva axial, entonces están en perspectiva central. 2. Teorema dual de Desargues.- Si dos triángulos T y T en RP 2 están en perspectiva central, entonces están en perspectiva axial. Demostración.- Aplicando dualización, T y T están en perspectiva central T y T están en perspectiva axial. Entonces, por el Teorema de Desargues, T y T están en perspectiva central T y T están en perspectiva axial. 11

*) Al dualizar no siempre se obtiene la misma figura y el teorema recíproco. En particular, para un cuadrivértice completo, formado por 4 puntos que determinan 6 rectas, se obtiene un cuadrilátero completo, con 4 rectas que se cortan en 6 puntos. No es una figura autodual como el triángulo o el hexágono, que tiene 6 puntos ordenados y las 6 rectas que unen los vértices consecutivos. Teorema dual de Fano.- Las 3 rectas diagonales de un cuadrilátero completo nunca son concurrentes. Teorema dual de Pappus.- Si los lados de un hexágono en RP 2 pasan alternativamente por dos puntos distintos, entonces los tres pares de vértices opuestos determinan tres rectas concurrentes. *) Hay una versión dual en RP 2 y distintas versiones afines en R 2 RP 2 r, dependiendo de la recta proyectiva que se quite. En el resultado anterior, tomando r = A B se tiene: Versión afín del Teorema dual de Pappus.- Si los lados alternos de un hexágono en R 2 son dos ternas de rectas paralelas, entonces las diagonales son concurrentes o paralelas. 12

*) Dibujo con C r = A B : Cuaternas armónicas. Se probó que el punto medio de un segmento AB R 2 RP 2 r, se puede construir usando cualquier recta r paralela a A B: Entonces, pasando al plano proyectivo, aparece C = A B r = A B r r, y se puede construir analogamente un punto D, que no depende de la recta que pasa por C: 13

Definición.- Una cuaterna armónica en RP 2 está dada por cuatro puntos alineados A,B,C,D, tales que D es el punto medio del segmento AB en el plano afín RP 2 r, para cualquier recta r que pasa por C. En tal caso, se dice que D es el conjugado armónico de C respecto de A y B. Ejercicio.- Comprobar que el conjugado armónico de C =[λ, µ, 0], respecto de A =[1, 0, 0] y B =[0, 1, 0], es D =[λ, µ, 0]. Definición.- La razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C = λa+µb y D = αa+βb está dada por (A,B,C,D)=(µ/λ)/(β/α). *) Se puede comprobar que no depende de los vectores que representen a los puntos proyectivos, ni de los factores de proporcionalidad. Ejercicio.- Probar que cuatro puntos alineados A,B,C,D forman una cuaterna armónica si y solo si (A,B,C,D)= 1. En este sentido, si ABC es un triángulo en R 2, con triángulo medio A B C y baricentro G, entonces A, G, A,A es una cuaterna armónica. Aplicaciones en el plano proyectivo RP 2 R3 {0}. Definición.- Una proyectividad de RP 2 es una aplicación f : RP 2 RP 2 dada por f([p ]) = [ f(p )], P R 3 {0}, con f : R 3 R 3 isomorfismo vectorial, f(p )=AP, A Gl(3, R). *) Está bien definida, ya que f aplica la recta vectorial 0 P = {λp / λ R} [P ], con P 0, en la recta 0 f(p ), con f(p ) 0, por ser lineal y Ker f = {0}. *) Se deduce que f y µ f inducen la misma proyectividad f, µ R {0}. Además, f es biyectiva, con f 1 asociada a f 1, y conserva puntos alineados, esto es, lleva rectas proyectivas en rectas, ya que f conserva planos vectoriales. 14

Ejercicio.- Probar que la única proyectividad de RP 2 que fija los puntos [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] y[1, 1, 1] es la identidad. Encontrar proyectividades que fijen los tres primeros puntos. Definición.- Un sistema de referencia en RP 2 es un subconjunto R = {P 1,P 2,P 3,U} formado por cuatro puntos no alineados 3 a 3, (esto es, un cuadrivértice). Teorema.- Si R y R son sistemas de referencia en RP 2, entonces existe una única proyectividad que aplica uno en otro. Demostración.- Sean P i R 3 tal que P i =[ P i ], i =1, 2, 3. Como no están alineados, { P 1, P 2, P 3 } forman una base de R 3 y existen α i R {0} tal que U = α 1 P1 + α 2 P2 + α 3 P3. Entonces, para la base {α 1 P 1,α 2 P 2,α 3 P 3 } existe un único isomorfismo f : R 3 R 3 tal que f(e i )=α P i, i =1, 2, 3. Asi f(e1 + e 2 + e 3 )= U y la proyectividad f([ P ]) = [ f( P )] aplica el sistema de referencia usual R u = {[e 1 ], [e 2 ], [e 3 ], [e 1 + e 2 + e 3 ]} en R = {P 1,P 2,P 3,U}. Es única, ya que si g es otra proyectividad con g(r u )=R, entonces f 1 g fija R u y tiene que ser la identidad, esto es, g = f. Analogamente, para R existe una única proyectividad f con f (R u )=R y se deduce que f f 1 es la única proyectividad que aplica R en R. Consecuencia.- Todos los cuadrivértices de RP 2 tienen las mismas propiedades proyectivas, esto es, propiedades invariantes por proyectividades. Ejemplos de propiedades proyectivas. 1. Los puntos diagonales de un cuadrivértice completo nunca están alineados. Por tanto, es suficiente comprobar el Teorema de Fano para el cuadrivértice usual. 2. Las proyectividades conservan cuaternas armónicas, ya que se pueden determinar con cuadrivértices. 3. La razón doble de cuatro puntos alineados. 15

Relación entre afinidades y proyectividades. Si f : RP 2 RP 2 es una proyectividad y RP 2 R 2 r, entonces f(r 2 ) R 2 f(r )=r, ya que f es biyectiva. En particular, si r =[Π 0 ], con Π 0 z =0 L{e 1,e 2 }, entonces f(e 1 ), f(e 2 ) Π 0 y f(e 3 ) / Π 0, para f : R 3 R 3 isomorfismo asociado a una proyectividad f, con f(r )=r. Usando el factor de proporcionalidad, se puede tomar f(e 3 ) Π 1 z = 1, y se tiene x a c α x f y = b d β y, z 0 0 1 z con ad bc 0. Asi f([x, y, 1]) = [ f(x, y, 1)] = [ax + cy + α, bx + dy + β,1] da la afinidad f : R 2 R 2, f ( x y ) ( a c = b d )( x y ) + ( α β ), (x, y) R 2 Π 1. Consecuencia.- Una afinidad es una proyectividad que fija la recta del infinito. *)Los puntos de la recta fija no tienen que ser fijos. En particular, si ( ) ( ) a c λ1 0 = b d 0 λ 2 con λ 1 λ 2 0, entonces f(e 1 )=λ 1 e 1, f(e2 )=λ 2 e 2, da que f([e 1 ]) = [e 1 ]yf([e 2 ]) = [e 2 ] son puntos fijos, pero f([e 1 + e 2 ]) = [λ 1 e 1 + λ 2 e 2 ] es punto fijo si y solo si λ 1 = λ 2 y la afinidad es una homotecia o una traslación. Solo en este caso, Π 0 es un plano de vectores propios para f λ 1 0 α 0 λ 2 β 0 0 1 16

y r =[Π 0 ] es una recta de puntos fijos para la proyectividad f. Además, si λ 1, entonces se puede comprobar que f tiene otro punto fijo, asociado al centro de la homotecia. Definición.- Una homología de RP 2 es una proyectividad, distinta de la identidad, con una recta r de puntos fijos, (eje). Se llama general si tiene otro punto fijo P / r, (centro), y especial si no hay más puntos fijos. *) Por lo anterior, se deduce que si una proyectividad fija tres puntos de una recta r, entonces es una homología de eje r yenrp 2 r, se tiene una homotecia de centro P o una traslación (de centro P ): Las rectas A B y h(a) h(b) son paralelas en RP 2 r, por tanto se cortan en Q r y h(q) =Q. Además, C A B se tiene que P, C y h(c) están alineados o en perspectiva. Definición.- Una perspectividad con centro P entre dos rectas proyectivas r y r es una aplicación f : r r, tal que P, C y f(c) están alineados C r. Ejercicio.- Si f : RP 2 RP 2 es una proyectividad, con un punto fijo Q A B, entonces induce una perspectividad de A B en f(a B) con centro P = A f(a) B f(b). 17