Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática GEOMETRIA EUCLIDEA II Código: MAB303 Nivel: II Ciclo lectivo: I Modalidad: Ciclo Naturaleza: Teórico-práctico Tipo de curso: Regular Área: Álgebra y Geometría Requisito: MAB301 Geometría Euclídea I Número de créditos: 04 Horas presenciales: 05 Horas docente: 05 Horas teoría: 03 Horas prácticas: 02 Horas estudio independiente: 06 Número de horas totales semanales: 11 Unidad Académica que imparte el curso: Escuela de Matemática Descripción En este curso se desarrollarán conceptos fundamentales de Geometría Superior en el plano y en el espacio. Los contenidos del curso incluyen los tópicos geométricos del programa de secundaria, desarrollados desde una perspectiva formal, propia de un nivel universitario. Se propone la Geometría como alternativa que facilite la visualización, formulación de conjeturas y el establecimiento de relaciones entre conceptos matemáticos. Éste es el segundo curso de Geometría Superior que, sobre el sustento de los conocimientos construidos en el primer curso y apoyado en elementos de axiomatización, lógica-matemática, teoría de conjuntos y teoría de funciones entre otros, avanza primero en el estudio de la Geometría Euclídea Plana, para incursionar luego en el ámbito tridimensional. Objetivos Que el estudiante: Desarrolle la habilidad para visualizar conceptos y propiedades geométricas del plano y el espacio mediante interpretaciones gráficas. 78
Plan de estudios Demuestre resultados geométricos en el plano y en el espacio mediante diferentes métodos aplicando los conceptos estudiados. Resuelva problemas asociados con variedad de situaciones, que se describen mediante conceptos y propiedades geométricas en el plano y en el espacio. Desarrolle habilidades intelectuales de identificación, comparación e interpretación para su desarrollo profesional y personal. Comunique sus ideas, en forma oral y escrita, haciendo uso de un lenguaje formal simbólico-matemático. Adquiera conciencia de la importancia de la Geometría Euclídea como un área de desarrollo del pensamiento lógico la cual es útil en aplicaciones de la vida real. Contenidos Polígonos, regiones poligonales y función área Definiciones: Poligonal, polígono o poligonal cerrada; perímetro de un polígono, polígonos convexo, cóncavos y regular. Teoremas referentes a sus propiedades fundamentales. Definiciones: interior y exterior de un polígono convexo, figura cerrada plana; región plana, cuadrada, rectangular, poligonal y regiones triangulares congruentes. Función área: axiomas de la función área y teoremas de áreas para triángulos y cuadriláteros. Aplicaciones de la teoría de áreas: Teoremas de Thales, de Pitágoras y Teorema de Herón. Elementos básicos de circunferencia y círculo Definiciones: circunferencia, circunferencias concéntricas, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior de la circunferencia, recta tangente, punto de contacto o punto de tangencia, recta secante, segmento tangente, segmento secante, circunferencias congruentes, distancia del centro de una circunferencia a una cuerda, cuerdas equidistantes del centro, circulo. Teoremas relacionados. Definiciones: tangente común (exterior e interior) a dos circunferencias, circunferencias secantes, circunferencias tangentes (interior y exterior), puntos concíclicos, circunferencia concéntrica mayor y menor, circunferencia exterior, circunferencia interior, semi-circunferencia, semi-circulo, rayo secante y rayo tangente. Teoremas relacionados. 79
Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática Ángulos, arcos en la circunferencia y medida angular. Definiciones: ángulo central, arco menor, arco mayor, arcos conjugados, medida angular de un arco, arcos congruentes en una misma circunferencia, arcos subtendidos o determinados por una cuerda de una circunferencia. Ángulo inscrito, seminscrito y circunscrito, ángulos interiores y exteriores de una circunferencia, ángulos interiores opuestos, arcos intersecados o subtendidos por un ángulo en una circunferencia, teoremas relacionados. Definiciones: triángulo y cuadrilátero inscrito en una circunferencia, teoremas relacionados. Semejanza en la circunferencia y el círculo. Definiciones: potencia de un punto relativa a una circunferencia, punto equipotencial a dos circunferencias, eje radical de dos circunferencias. Teoremas relacionados con la semejanza en la circunferencia y el círculo. Medida lineal del arco, longitud de la circunferencia, número Definiciones: poligonal inscrita en un arco y su longitud. Conjunto de las longitudes de todas las poligonales inscritas en un arco. Teoremas relacionados. Definiciones: longitud o medida lineal de un arco, longitud de la circunferencia. Teoremas relacionados. Definición de la medida en radianes del ángulo central. Teoremas relacionados. Circunferencia inscrita y circunscrita a un polígono Definiciones: polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia, circunferencia inscrita y circunscrita a un polígono. Teoremas relacionados. Definiciones: centro y radio de un polígono regular, diagonal de un polígono. Teoremas relacionados. Definiciones: apotema y ángulo central de un polígono regular. Teoremas relacionados. Definición de ángulo externo de un polígono convexo. Teoremas relacionados. Área del círculo y puntos de concurrencia de rectas notables Definiciones: sector circular, arco de un sector circular, radio de un sector circular, segmento circular, anillo circular o corona, teoremas relacionados. Definiciones: incentro, circuncentro, ortocentro, baricentro,triángulo medial y teoremas relacionados. Definición de triángulos homotéticos y teoremas relacionados. Definiciones: triángulos órticos, triángulos ortológicos, centros de ortología y teoremas relacionados. Definición 80
Plan de estudios de circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Feurbach y teoremas relacionados. Definiciones: circunferencias inscritas, circunscritas, exinscritas y teoremas relacionados. Perpendicularidad en el espacio Definiciones: recta perpendicular a un plano, punto equidistante de dos puntos y teoremas relacionados: teorema fundamental de la perpendicularidad, distancia de un punto a un plano, entre otros. Paralelismo en el espacio Definiciones: recta paralela a un plano, planos paralelos y planos secantes. Teoremas relacionados. Definición de distancia entre dos planos paralelos y teoremas Relacionados. Función proyección central Definiciones: ángulo diedros, folios, aristas, interior y exterior de un ángulo diedro y teoremas relacionados. Definiciones: ángulo plano de un ángulo diedro, medida de un ángulo diedro, planos perpendiculares y teoremas relacionados. Definiciones: ángulo triedro (vértices, aristas, ángulos faciales, caras o folios), sección transversal de un poliedro, ángulo poliedro convexo, ángulos poliedros congruentes y teoremas relacionados. Definición de proyección central en el espacio y teoremas relacionados (teorema de Desargues). Elementos de estereometría Definiciones: superficie prismática, aristas, caras o folios, generatriz, directriz, superficie prismática cerrada convexa, sección transversal, secciones transversales paralelas y teoremas relacionados. Definiciones: prisma, aristas, planos basales, polígonos basales, regiones basales o bases, altura, vértices, caras laterales, área lateral del prisma, áreas basales y teoremas relacionados. Definiciones de prisma recto, prisma oblicuo, sección transversal paralela de un prisma, sección transversal recta de un prisma y teoremas relacionados. Definiciones: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal y n-agonal, prisma regular, paralelepípedo, paralelepípedo regular, cubo, diagonales de un paralelepípedo, diagonales de una cara, plano diagonal, dimensiones de un paralelepípedo y teoremas relacionados. Definiciones: pirámide, aristas, plano basal, polígono basal, base, vértice o cúspide, caras laterales y superficie lateral de una 81
Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática pirámide, triángulo lateral, altura, área lateral, área basal, pirámide regular, centro de una pirámide, eje de la pirámide, pirámide regular recta, pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, pirámide n-agonal, sección transversal de una pirámide y teoremas relacionados. Definiciones: pirámide truncada, área basal y lateral de una pirámide truncada y teoremas relacionados. Definiciones: superficie cilíndrica, superficie cilíndrica cerrada, generatriz, sección transversal de una superficie cilíndrica cerrada, superficie cilíndrica circular, cilindro, bases del cilindro, altura, cilindro circular recto, teoremas relacionados. Definiciones: superficie cónica, sección transversal de una superficie cónica, cono, cono circular y cono circular recto. Función volumen Definición de volumen, postulados de la función volumen, principio de Cavallieri y teoremas relacionados con volúmenes de sólidos. Definiciones: esfera, radio de una esfera, punto extremo exterior, cuerda de una esfera, diámetro de una esfera, interior y exterior de una esfera, esferas concéntricas, plano tangente a una esfera, punto de tangencia y teoremas relacionados. Bibliografía Clemens, S.; O Daffer, P. & Cooney, T. (1997). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México. Addison Wesley Iberoamericana. Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. México. UTEHA. Hemmerling, E. (1990). Geometría Elemental. México. Editorial Limusa. Moise, E. (1986). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado. México. Editorial Continental. Moise, E. & Floyd, D. (1986). Geometría Moderna. México. Editorial Iberoamericana. O Daffer, P. & Clemens, S. (1992). Geometry: A investigative Approach. Menio Park, C.A. Addison Wesley Piblishing Co. Rich, B (1991). Geometría. México. Mc Graw Hill. Tsijli, T. (1999). Geometría Euclídea I. Editorial Universidad Estatal a Distancia. 82
Plan de estudios Varilly, J. (1988). Elementos de Geometría Plana. Editorial de la Universidad de Costa Rica. 83