de aplicación económica Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden: la ecuación de Bernouilli Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 1 / 63
de aplicación económica Introducción Modo 1 Modo 2 de aplicación económica Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 2 / 63
de aplicación económica Introducción Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de Bernouilli, las denotaremos α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, (1) donde r R junto con que r 0, 1 y α 0 (x) 0 para todo x, i.e. la ecuación 5y 3xy = 2y 0.5. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 3 / 63
de aplicación económica Nótese que, si r = 0, tenemos la ecuación diferencial lineal α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x), i.e. la ecuación 5xy + (x + 3)y = 2xy 0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 4 / 63
de aplicación económica Si r = 1, tenemos la ecuación diferencial lineal α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y, simplificando α 0 (x)y + (α 1 (x) f(x)) y = 0. i.e. la ecuación 2xy + 3x 2 y = 2xy 1, simplificando 2xy + ( 3x 2 2x ) y = 0. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 5 / 63
de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63
de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63
de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63
de aplicación económica Cómo distinguir los elementos de las ecuaciones? α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r, Término de primer orden Término de orden cero Término de potencia con r 0, 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 6 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Solución de la ecuación α 0 (x)y + α 1 (x)y = f(x)y r. (2) Modo 1: Hacemos el cambio z = y (1 r). r 1 Sabemos que y = z 1 r, y = 1 1 1 r z 1 r 1 z = z r 1 1 r z. Sustituyendo en (2) resulta r α 0 (x) z 1 r r 1 1 r z + α 1 (x)z 1 r = f(x)z 1 r. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 7 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Simplificando α 0 (x) 1 r z + α 1 (x)z = f(x). Volviendo a simplificar, obtenemos z + α 1(x)(1 r) z = α 0 (x) f(x)(1 r). α 0 (x) Resultando una ecuación diferencial lineal de primer orden que se resuelve por el método estudiado. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 8 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Modo 2: Hacemos y derivamos y(x) = u(x)v(x) (3) y = u v + uv. Sustituimos en la ecuación (2) resultando α 0 (x)u v + α 0 (x)uv + α 1 (x)uv = f(x) (uv) r Reordenando ( α0 (x)u + α 1 (x)u ) v + α 0 (x)uv = f(x) (uv) r. (4) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 9 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Para determinar la función u exigimos que de donde Resolviendo, tenemos que α 0 (x)u + α 1 (x)u = 0, u u = α 1(x) α 0 (x). α 1(x) u(x) = e α 0 (x) dx. (5) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 10 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 Sustituyendo (5) en (4) y reordenando obtenemos v v r = f(x)ur α 0 (x)u. Que es una ecuación de variables separables y su solución es v 1 r f(x)u r 1 r = α 0 (x)u dx, reordenando v(x) = ( ) 1 f(x)u r (1 r) α 0 (x)u dx 1 r. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 11 / 63
de aplicación económica Modo 1 Modo 2 La solución general será α 1(x) y(x) = e α 0 (x) dx ( ) 1 f(x)u r (1 r) α 0 (x)u dx 1 r con α 1(x) u(x) = e α 0 (x) dx. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 12 / 63
de aplicación económica Hallar la solución general de 3(1 + x 2 ) dy dx = 2xy(y3 1). Simplificamos y reordenamos los términos y + 2x 3(1 + x 2 ) y = 2x 3(1 + x 2 ) y4. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 13 / 63
de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 3. El cambio implica dz dx = z = 3y 4 y, por tanto, 1 3 z = y 4 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 4 resultando la expresión y 4 y 2x 2x + 3(1 + x 2 ) y 3 = 3(1 + x 2 ), en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 14 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z 2x 1 + x 2 z = 2x 1 + x 2. La ecuación homogénea asociada es z La solución de la homogénea es 2x 1 + x 2 z = 0. z h = C(1 + x 2 ). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 15 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular Derivamos y obtenemos z (x) = C (x) (1 + x 2 ). z = 2xC (x) + (1 + x 2 )C (x). Sustituimos z y z en la ecuación completa 2xC (x) + (1 + x 2 )C (x) 2x 1 + x 2 C (x) (1 + x2 ) = 2x 1 + x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 16 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 2x (1 + x 2 ) 2, C (x) = (1 + x 2 ) 1. Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1. z = z h + z p = C(1 + x 2 ) + 1. (6) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 17 / 63
de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 3, y obtenemos como solución y 3 = C(1 + x 2 ) + 1, finalmente y = 1 C(1 + x 2 ) + 1. 3 Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 18 / 63
de aplicación económica Hallar la solución general de 2 dy dx = y x x y 2, con y(1) = 1. Operamos y reordenamos los términos y 1 2x y = x 2 y 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 19 / 63
de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 3. El cambio implica dz dx = z = 3y 2 y, por tanto, 1 3 z = y 2 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 2 resultando la expresión y 2 y + 1 2x y3 = x 2. en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 20 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z 3 2x z = 3x 2. La ecuación homogénea asociada es z 3 2x z = 0. La solución de la homogénea es 3 z h = Cx2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 21 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular 3 z (x) = C (x) x2. Derivamos y obtenemos z = C (x) 3 1 3 2 x 2 + C (x) x2. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) 3 1 3 2 x 2 + C (x) x2 3 3 2x Cx 2 = 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 22 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 3 2 x 1 2, 1 C (x) = 3x2. Por tanto, la solución particular es z p = 3x 2. La solución completa es 3 z = z h + z p = Cx2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 23 / 63
de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 3, y obtenemos como solución 3 y 3 = Cx2 3x 2, finalmente 3 3 y = Cx2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 24 / 63
de aplicación económica Si aplicamos la condición y(1) = 1 obtenemos: 3 3 y(1) = C(1) 2 3(1) 2 = 3 C 3 = 1, dándonos C = 4. Por tanto, la solución es 3 3 y = 4x2 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 25 / 63
de aplicación económica Resolver la ecuación diferencial 1 y 2 dy 3 dx + y 2 = 1, con y(0) = 4. Operamos y reordenamos los términos y + y = y 1 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 26 / 63
de aplicación económica 3 Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 2. El cambio implica dz 3 1 1 dx = z = 2 y 2 y, por tanto, 3 2 z = y 2 y. 1 Para resolver, multiplicamos la ecuación por y2 resultando la expresión 1 3 y 2 y + y 2 = 1. en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 27 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z + 3 2 z = 3 2. La ecuación homogénea asociada es z + 3 2 z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce 3x 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 28 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular Derivamos y obtenemos z (x) = C (x) e 3x 2. z = C (x) e 3x 2 + C (x) ( 3 3x 2 )e 2. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) e 3x 2 + C (x) ( 3 3x 2 )e 2 + 3 2 C (x) e 3x 2 = 3 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 29 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = 3 2 e 3x 2, C (x) = e Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1. 3x 2. z = z h + z p = Ce 3x 2 + 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 30 / 63
de aplicación económica 3 Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 2, y obtenemos como solución despejando 3 y 2 = Ce 3x 2 + 1, y = (Ce 3x 2 2 + 1) 3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 31 / 63
de aplicación económica Si aplicamos la condición y(0) = 4 obtenemos: y(0) = (Ce 0 2 2 + 1) 3 = 4, luego C = 7. Por tanto, la solución es y = (7e 3x 2 2 + 1) 3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 32 / 63
de aplicación económica Hallar la solución general de e x (y y) = y 2. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 33 / 63
de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = y 1. El cambio implica dz dx = z = y 2 y, por tanto, z = y 2 y. Para resolver, multiplicamos la ecuación por y 2 resultando la expresión y 2 y y 1 = e x., en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 34 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z + z = e x. La ecuación homogénea asociada es z + z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 35 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular z (x) = C (x) e x. Derivamos y obtenemos z = C (x) e x C (x) e x. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (x) e x C (x) e x + C (x) e x = e x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 36 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (x) = e 2x, luego C (x) = 1 2 e2x. Por tanto, la solución particular es z p = 1 2 ex. La solución completa es z = z h + z p = Ce x 1 2 ex. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 37 / 63
de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = y 1, y obtenemos como solución y 1 = Ce x 1 2 ex, y, de aquí y = (Ce x 1 2 ex ) 1. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 38 / 63
de aplicación económica Resolver la ecuación diferencial y 2 dx + (xy x 3 )dy = 0. Operamos y reordenamos los términos y 2 dx dy + (xy x3 ) = 0, y 2 x + yx = x 3, x + 1 y x = 1 y 2 x3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en x. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 39 / 63
de aplicación económica Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: w = x 2. El cambio implica dw dy = w = 2x 3 x, por tanto, 1 2 w = x 3 x. Para resolver, multiplicamos la ecuación por x 3 resultando la expresión en la que aplicamos el cambio. x 3 x + 1 y x 2 = 1 y 2, Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 40 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal w 2 y w = 2 y 2. La ecuación homogénea asociada es w 2 y w = 0. La solución de la homogénea es w h = Cy 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 41 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular w (y) = C (y) y 2. Derivamos y obtenemos w = C (y) y 2 + C (y) 2y. Sustituimos w y w en la ecuación completa C (y) y 2 + C (y) 2y 2 y C (y) y2 = 2 y 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 42 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante C (y) = 2y 4, luego C (y) = 2 3 y 3. Por tanto, la solución particular es La solución completa es w p = 2 3y. w = w h + w p = Cy 2 + 2 3y. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 43 / 63
de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era w = x 2, y obtenemos como solución por tanto x 2 = Cy 2 + 2 3y, x = (Cy 2 + 2 3y ) 1 2. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 44 / 63
de aplicación económica El modelo Solow considera, en el sentido macro, que la producción (Q), el capital (K) y la mano de obra (L) se combinan teóricamente con Q = f (K, L) con K, L > 0. Se supone que f f > 0, K L > 0 2 f K 2 < 0, 2 f L 2 < 0 (productos marginales positivos). (retornos decrecientes para cada factor). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 45 / 63
de aplicación económica La función de producción f (K, L) se considera homogénea de grado 1, es decir, con retornos constantes a escala, por tanto ( ) L 1 1 ( K f (K, L) = L f (K, L) = Lf L L L, L ) ( ) K = Lf L L, 1, pudiendo transformarse en Q = f (K, L) = Lf ( ) K L, 1 = LΦ (r). (7) Donde r = K ( ) K L y Φ (r) = f L, 1 para simplificar. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 46 / 63
de aplicación económica Las hipótesis de Solow son dk dt = sq, (8) donde s es constante llamada propensión marginal al ahorro. dl = λl λ > 0, (9) dt y λ es llamada tasa de crecimiento de la mano de obra. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 47 / 63
de aplicación económica Si (9) la vemos como dl dt L = λ, nos indica que la fuerza laboral crece exponencialmente. (i.e. al resolver la EDO da L = Ce λt ). Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 48 / 63
de aplicación económica Vamos a construir el modelo completo a partir de las ecuaciones (7), (8) y (9). Sustituyendo (7) en (8) resulta dk dt = slφ (r). (10) Como r = K L K = rl, diferenciando dk dt = Ldr dt + r dl dt. Sustituyendo (9) en esta ecuación obtenemos dk dt = Ldr + λlr. (11) dt Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 49 / 63
de aplicación económica Igualamos (10) y (11), slφ (r) = L dr dt + λlr, simplificando L, reordenando, sφ (r) = dr dt + λr, dr + λr = sφ (r). (12) dt Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 50 / 63
de aplicación económica Recordando la notación de clase para las EDO esta ecuación se puede escribir al hacer r = y y t = x como y + λy = sf(y). (13) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 51 / 63
de aplicación económica Si consideramos la función de producción de Cobb-Douglas y aplicamos el modelo Q = f (K, L) = K α L 1 α (1 > α > 0), Q = L ( ) K α = Lr α (r = K L L ), en este caso y recordando (10), Φ(r) = r α. Sustituimos en (12) dr dt + λr = srα. (14) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 52 / 63
de aplicación económica Resolvemos la ecuación haciendo el cambio r = uv. Derivamos el cambio y sustituimos en la ecuación (14) resultando u v + v u + λuv = su α v α. Simplificando ( u + λu ) v + v u = su α v α. Resolvemos u + λu = 0, Resultando u(x) = e λt. Sustituyendo en la ecuación y reordenando v e λt = se λαt v α, Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 53 / 63
de aplicación económica integrando v α v = se (1 α)λt, v α dv = s e (1 α)λt dt, resulta v α+1 α + 1 = se(1 α)λt (1 α)λ + C 1 v(x) = y la solución generale es r(t) = e λt ( se (1 α)λt λ ( se (1 α)λt λ + C 1 ) 1 1 α + C 1 ) 1 1 α. (15) Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 54 / 63
de aplicación económica Si consideramos la condición inicial de que r o es el capital per capita para t = 0 Cuál es la solución? Si en (15) sustituimos t = 0 resulta r(0) = r 0 = ( s λ + C 1 ) 1 1 α. Despejando C 1 y sustituyendo en la solución general C 1 = r 1 α 0 s λ. Finalmente obtenemos la solución del problema r(t) = e λt ( se (1 α)λt λ + r 1 α 0 s λ ) 1 1 α. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 55 / 63
de aplicación económica Calculamos la expresión resultante cuando t : ( s λ) 1 1 α. Obtenemos que el equilibrio varía directamente con la propensión marginal al ahorro e inversamente con la tasa de crecimiento de la mano de obra λ. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 56 / 63
de aplicación económica Ejemplo numérico Función de producción de Cobb-Douglas: ( ) K α Q = L = Lr α (r = K L L ). Las hipótesis del problema son: (a) λ = 0.1 como tasa de crecimiento de la población. (b) s = 0.15 como tasa de ahorro. (c) α = 0.3. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 57 / 63
de aplicación económica Sustituimos los valores dados en la ecuación (14): dr dt + 0.1r = 0.15r0.3. Observamos que es una ecuación de Bernoulli en r. Para su resolución aplicaremos el cambio de variable: z = r 0.7. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 58 / 63
de aplicación económica El cambio implica dz dt = z = 0.7r 0.3 r, por tanto, 1 0.7 z = r 0.3 r. Para resolver, multiplicamos la ecuación por r 0.3 resultando la expresión r 0.3 r + 0.1r 0.7 = 0.15, en la que aplicamos el cambio. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 59 / 63
de aplicación económica Se trata de resolver la ecuación lineal z + 0.07z = 0.105. La ecuación homogénea asociada es z + 0.07z = 0. La solución de la homogénea es z h = Ce 0.07t. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 60 / 63
de aplicación económica Proponemos como solución particular z (t) = C (t) e 0.07t. Derivamos y obtenemos z = C (t) e 0.07t 0.07C (t) e 0.07t. Sustituimos z y z en la ecuación completa C (t) e 0.07t 0.07C (t) e 0.07t + 0.07C (t) e 0.07t = 0.105. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 61 / 63
de aplicación económica Simplificamos y resolvemos la ecuación diferencial resultante luego C (t) = 0.105e 0.07t, C (t) = 0.105 0.07 e0.07t. Por tanto, la solución particular es La solución completa es z p = 1.5. z = z h + z p = Ce 0.07t + 1.5. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 62 / 63
de aplicación económica Deshacemos el cambio de variable, que era z = r 0.7, y obtenemos como solución r 0.7 = Ce 0.07t + 1.5, por tanto r (t) = (Ce 0.07t + 1.5) 0.7. 1 Calculamos la expresión en el equilibrio (cuando t ): r e = (1.5) 1 0.7. Jesús Getán y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 63 / 63