Pre evaluación: Ejemplo Nº 1 Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide " x 7" unidades. Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por x 7 lo que mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo Ancho x 7 Entonces; Apliquemos la Fórmula: Área = (Lado) Área = ( x 7 ) x 7) ( x 7) Ancho Largo Por Ley de Potenciación: a a a Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría: (X + 7). (X + 7) = X + X.7 + 7.X + 7 = X + (7.X) + 7 Luego: Área = ( x 7) Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera: Doble ( x 7) x 7) (7) El resultado es un polinomio de tres términos: EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado Simplificando el resultado, tenemos que: ( x 7) x 4x 49 De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada: x 4x Área = 49 Ejemplo Nº : Desarrollemos el Producto Notable: ( 5 y) ( y 5 y) ( 5) 5) y ( ) Cuadrado del 1 er El Doble del producto: del 1 er término por el do término Cuadrado del do
Simplificando queda: ( 5 y) 5 0y y Ejemplo Nº : Doble Simplificando: ( x ) x ) ( ( x ) Ejemplo Nº 4: x 7 x 6x 9 Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos: x 5 Entonces: Área = ( x 7) ) Se necesita conocer el área de la región. Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando lo que mide de largo por el ancho. El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo Largo Ancho Desarrollarnos este producto de la siguiente manera: ( x 7) x x 7 ( 5) 7 5) Común s no El resultado de este producto notable es un trinomio: El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no más el producto de los términos no. común Suma de términos no Producto de términos no Simplificando el resultado, queda: ( x 7) x x ) ( 5) x x 5 Trinomio
De esta manera se obtiene el área de la región rectangular: Área = x x 5 Ejemplo Nº 5: Desarrolla el producto: ( x 9) x ) (x 9) x ) ( ( 9 ) ( 9) Común no Simplificando cada término: ( Luego: ( 9x ( ( 9 ) ( 7) x ( 9) 8 ( x 9) x ) 9x Ejemplo Nº 6: x 6 1x 8 x 6 El producto de los términos no Producto del término común con la suma de los no El cuadrado del término común Se conocen las dimensiones de una región rectangular: Largo = x 6 y Ancho = x 6 Tenemos que calcular el área respectiva: Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo x Ancho. o Área = base x Altura Entonces, Área = ( x 6) x 6) Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma: ( x 6) x 6) ( (6) Suma Diferencia El resultado de este producto notable es un binomio: El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término 1 er al cuadrado do al cuadrado Simplificando el resultado: x 6 Luego: El área de la región rectangular es: x 6
Ejemplo Nº 6: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones: Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5 Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula: Volumen=LargoxAnchoxAlto x 5 x 5 Como las tres medidas son iguales entonces Volumen = (Lado) Entonces: Volumen = ( x 5) Por Ley de Potenciación: ( x 5 ) x 5) ( Luego: Volumen = ( Para desarrollar esta potencia procedemos así: ( = (x + 5). (x + 5) esto por ley de potenciación y como sabemos calcular el cuadrado de una suma ( = (x + 10.x + 5). (x + 5) ( = x + 5.x + 10.x + 50.x + 5.x + 15 esto por multiplicación de polinomios ( = x + 15.x + 75.x + 15 por agrupación de términos semejantes ( = x +. 5. x +. 5.x + 5 El resultado de este producto notable es un polinomio: El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Triple ( 5 5) (5)
Luego; simplificando cada término: ( x, ( 5) 5 x 5 ( ) 5 5 5 15, ( 5) x 5 75x De esta manera tenemos que: ( x 5x 75x 5 Ejemplo Nº 7: Desarrollar el producto notable: ( x ) Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos: El cubo del primer término ( El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo. (. 1. x. 1 El cubo del segundo término 1 Sumando estos términos ( x ) ( ( Simplificando cada término del resultado: * ( ( 8x * x ) 4x 1x * x ) x 6x * ( 1 Ejemplo Nº 8: Desarrolla el producto notable: ( y ) Luego, el polinomio se reduce a: ( x ) 8x x 6x ( y ) ( y) y) ) y) ) ( )
Simplificando cada término en el resultado: * * ( y) y ( y) ) 6y * y ) ) y 4) = 1 y * ( ) ( ) ) ) 8 Luego; Simplificado cada término el polinomio resultante es: ( y ) y 6y y 8 En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.