1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa como a ij, donde i representa la fila en la que está, y j la columna. a ij R La forma más frecuente de designar una matriz es A = (a ij ) m, n, que indica que A es una matriz de dimensiones m n y que a sus términos los llamaremos a ij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y, además, coinciden término a término: Si A = (a ij ) m, n y B = (b ij ) m, n, entonces A = B a ij = b ij Una matriz traspuesta de otra es aquella que se obtiene de cambiar las filas por las columnas y las columnas por las filas en la primera matriz. Si A = (a ij ) m, n, entonces A t = (a ji ) n, m. Una matriz A es simétrica si A = A t. Para ello debe ser cuadrada. Una matriz es triangular si todos los elementos por debajo o por encima de la diagonal principal son ceros. Se llama triangular superior o triangular inferior respectivamente. Método de Gauss: consiste en hacer transformaciones lineales en las filas de una matriz, esto es multiplicar una o varias filas por un número y sumárselas a otra. Usaremos este método para resolver sistemas lineales expresados como una matriz, haciendo transformaciones para obtener ceros y transformar la matriz en otra triangular. También lo usaremos para averiguar la matriz inversa de otra y para hallar el rango de una matriz. 1.2 OPERACIONES CON MATRICES 1.2.1 Suma de matrices Para poder sumar dos matrices, éstas deben tener la misma dimensión. Entonces se suman término a término: (a ij ) m, n + (b ij ) m, n = (a ij + b ij ) m, n 1

Propiedades de la suma de matrices: 1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2. Conmutativa: A + B = B + A 3. Elemento neutro: La matriz nula es aquella cuyos elementos son todos cero. 4. Matriz opuesta (-A): - A = (- a ij ) Con estas propiedades, las matrices con la operación suma son un Grupo Abeliano. 1.2.2 Producto de un número por una matriz Se multiplica el número por cada uno de los elementos de la matriz: k (a ij ) m, n = (k a ij ) m, n Propiedades del producto de números por matrices: a, b R y A, B M m,n. 1. Asociativa: a (b A) = (a b) A 2. Distributiva en R : (a + b) A = a A + b A 3. Distributiva en M m,n : a (A + B) = a A + a B 4. Elemento neutro: 1 A = A 1.2.3 Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Entonces el producto es una matriz C cuyos elementos c ij se obtienen del producto de la fila i por la columna j. Si A = (a ik ) m,n y B = (b kj ) n,p, entonces A B = C = (c ij ) m,p. 1j n b Siendo c ij = a i1 a i2... a in b 2j b nj =a i1 b 1j a i2 b 2j a in b nj= k=1 a ik b kj La matriz C tiene tantas filas como la matriz A (m filas) y tantas columnas como la matriz B (p columnas). Propiedades del producto matrices: 1. Asociativa: (A m,n B n,p ) C p,q = A m,n (B n,p C p,q ) Siempre que, por sus dimensiones, sean multiplicables. 2. No conmutativa: hablaremos de multiplicación por la izquierda o por la derecha (o bien, premultiplicación y posmultiplicación). 3. Elemento neutro: A I = I A = A 4. Elemento simétrico: A A -1 = A -1 A = I 2

5. Distributiva respecto de la suma: Siempre que sus dimensiones permitan multiplicarlas: A (B +C) = A B + A C (B + C) D = B D + C D 1.3 MATRICES CUADRADAS 1.3.1 Matriz unidad Es una matriz cuadrada cuya diagonal principal está compuesta por unos y el resto de elementos son todos cero. 1.3.2 Matriz inversa de otra Es una matriz A -1 tal que, al multiplicarla por la matriz A, el resultado es la matriz unidad I. Es decir: A -1 A = A A -1 = I No todas las matrices tienen inversa. Método de Gauss para hallar la inversa de una matriz Si de una matriz, sometida a determinadas transformaciones lineales, se obtiene la matriz unidad, entonces de la matriz unidad, sometida a las mismas transformaciones, se obtiene la matriz inversa de la primera. 1.4 RANGO DE UNA MATRIZ 1.4.1 n-uplas de números reales Una colección de n números reales dados de forma ordenada se llama n-upla. Combinación lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas. Varias n-uplas son linealmente dependientes si alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. Varias n-uplas son linealmente independientes si ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. 1.4.2 Rango de una matriz Teorema: En una matriz, el número de filas Linealmente Independientes coincide con el número de columnas Linealmente Independientes. El rango de una matriz es el número de filas o de columnas Linealmente Independientes. 3

Podemos usar el Método de Gauss para hallar el rango de una matriz. Al hacer transformaciones lineales en una matriz se mantiene el rango, luego podemos hacer ceros como en el método de Gauss, y el rango será el número de filas cuyos elementos no sean todos cero. 2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 2.1 DETERMINANTES DE ORDEN DOS Y DE ORDEN TRES Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada, que se calcula de las formas que veremos a continuación dependiendo de las dimensiones de la matriz. El determinante de la matriz A= a 11 a 21 det A = A = det a 11 a 21 = a 11 a 21 se puede expresar de las siguientes formas: 2.1.1 Determinantes de orden dos Dada una matriz de orden 2 A= a 11, su determinante es: a 21 det A = a 11 a 21 2.1.2 Determinantes de orden tres a 11 a 13 Dada una matriz de orden 3 a A= 21 a 23, a 31 a 32 a 33 su determinante es: det A = a 11 a 33 + a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 31 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 2.1.3 Propiedades de los determinantes Todos los determinantes, independientemente de su orden, tienen las mismas propiedades, pero veremos éstas aplicadas a determinantes de orden dos y tres por su facilidad de aplicación. 4

1) A = A t 2) A B = A B 3) Si una línea de la matriz es combinación lineal de las demás, entonces su determinante es cero. 4) Si permutamos dos líneas de una matriz su determinante cambia de signo. 5) Si multiplicamos cada elemento de una línea de una matriz por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. 6) Si una línea de la matriz es suma de dos, su determinante se puede descomponer: a a' b c c' d = a b c d a ' b c' d 7) Si a una línea se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varía. 2.2 DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR 2.2.1 Menor complementario y adjunto Menor de orden n de una matriz es el determinante de la submatriz resultante de tomar n filas y n columnas en la matriz inicial. Menor complementario del elemento a ij ( ij ) es el determinante de la submatriz resultante de suprimir la fila i y la columna j. Adjunto de a ij : A ij = (-1) i+j ij es decir, el menor complementario de a ij con su signo o con el signo cambiado según i + j sea par o impar. 2.2.2 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Propiedad 8 de los determinantes: Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Entonces se dice que el determinante está desarrollado por los elementos de la línea. Para calcular determinantes de orden superior a tres, haremos ceros en una fila o columna como en el método de Gauss, y desarrollaremos el determinante por esa fila o columna. 5

2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismas soluciones). Para obtener ecuaciones equivalentes se puede: Sumar o restar la misma expresión a ambos lados de la igualdad Multiplicar o dividir por la misma expresión a ambos lados de la igualdad Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. No es necesario que sus ecuaciones sean equivalentes. 2.3.1 Transformaciones en un sistema de ecuaciones Las siguientes transformaciones generan sistemas equivalentes, es decir, mantienen las soluciones del sistema: Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0. Añadir una ecuación que sea combinación lineal de las demás, o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás. Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada por un número. 2.3.2 Soluciones de los sistemas de ecuaciones Sistema de ecuaciones sin solución: Sistema incompatible Sistema de ecuaciones con una solución única: Sistema compatible determinado Sistema de ecuaciones con un infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado 2.3.3 Interpretación geométrica de las soluciones Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina una recta. Si el sistema es compatible determinado, todas las rectas pertenecientes al sistema se cortan en un único punto. Si el sistema es compatible indeterminado, las rectas definidas en el sistema coinciden. Si el sistema es incompatible, las rectas no se cortan en un único punto. O bien son paralelas o bien, si en el sistema hay más de dos ecuaciones, las rectas se cortan dos a dos en distintos puntos. 6

Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano. Si el sistema es compatible determinado, todos los planos pertenecientes al sistema se cortan en un único punto. Si el sistema es compatible indeterminado, los planos definidos en el sistema se cortan en una recta (infinitos puntos). Si el sistema es incompatible, los planos no se cortan en un único punto. O bien son paralelos o bien se cortan en rectas distintas formando un prisma o bien, si en el sistema hay más de tres ecuaciones, los planos se cortan tres a tres en distintos puntos. 2.4 MÉTODO DE GAUSS 2.4.1 Sistemas escalonados Un sistema escalonado es aquél en que hay ecuaciones con una incógnita, con dos, con tres, y así hasta una ecuación que tenga el mismo número de incógnitas que el sistema. Estos sistemas son muy fáciles de resolver hallando el valor de la incógnita que está sola en una ecuación, sustituyéndolo en la ecuación en que hay dos, y así sucesivamente hasta resolver el sistema. 2.4.2 Método de Gauss Todos los sistemas lineales se pueden expresar como sistemas escalonados mediante las transformaciones que hemos visto. En esto precisamente consiste el método de Gauss. El proceso es más cómodo si, en lugar de las ecuaciones, trabajamos sólo con los coeficientes de éstas y sus términos independientes estructurados en matrices. Cada fila corresponde a una ecuación y cada columna a una incógnita o a los términos independientes. Podemos encontrarnos con las siguientes situaciones: Una fila de ceros: corresponde a una ecuación trivial. Podemos prescindir de ella. Si quedan menos ecuaciones que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Dos filas iguales o proporcionales: corresponden a ecuaciones equivalentes. Podemos prescindir de una de ellas. Si quedan menos ecuaciones que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Una fila de ceros salvo el último número (término independiente) que es distinto. Es una ecuación sin solución, así que el sistema es incompatible. 7

Así, el método de Gauss también nos permite discutir un sistema antes de resolverlo, es decir, saber cuántas soluciones va a tener. 2.5 DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 2.5.1 Rango de una matriz El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. El determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes es cero. Así que podemos redefinir el rango de una matriz como el máximo orden de los menores no nulos de la matriz. 2.5.2 Teorema de Rouché Frobenius En un sistema de ecuaciones lineales, llamamos A a la matriz de los coeficientes, y matriz ampliada A a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de términos independientes. Además: Según el teorema de Rouché, un sistema tiene solución si y sólo si ran (A) = ran (A ). Si ran (A) = ran (A ) = nº de columnas de A: Sistema Compatible Determinado Si ran (A) = ran (A ) < nº de columnas de A: Sistema Compatible Indeterminado 2.6 REGLA DE CRAMER La vemos aquí para un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, pero es aplicable a cualquiera. Dado el sistema: a 11 x y a 13 z = c 1 } a 21 x y a 23 z = c 2 con a 31 x a 32 y a 33 z = c 3 a12 a13 A = a11 a 21 a 23 a 31 a 32 a 33 0 Como A 0, ran (A) = 3 = ran (A ), luego el sistema es compatible determinado. Llamamos A x a la matriz que resulta de sustituir en A, la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Análogamente con A y y A z. La solución del sistema es: x= A x A ; y= A y A ; z= A z A 8

2.7 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Es condición necesaria y suficiente para que exista inversa de una matriz cuadrada, que su determinante no sea nulo. a 11 a 13 En ese caso, si a A= 21 a 23 y a 31 a 32 a 33 A 1 = 1 A 11 A 21 A 31 A A 12 A 22 A 32 es A 13 A 23 A 33 A 1 A 0 A ij son los adjuntos de los términos a ij: decir: A 1 = 1 A A ji = A ji A 9

3 PROGRAMACIÓN LINEAL 3.1 PROGRAMACIÓN LINEAL PARA DOS VARIABLES La programación lineal sirve para resolver el problema de optimizar una cierta expresión lineal sometida a una serie de restricciones expresadas como inecuaciones lineales. Se usa para asignar recursos para una cierta producción para que las utilidades sean máximas con los mínimos costes. Los problemas de programación lineal siempre presentan las siguientes partes: Una función objetivo G(x, y) lineal. Varias restricciones expresadas como inecuaciones lineales. Cada una expresa un semiplano, y todas ellas determinan una región poligonal donde están todos los puntos factibles (puntos que cumplen todas las restricciones). La solución óptima es aquella que cumple todas las restricciones y, además, hace que G(x, y) sea máxima. Siempre se encuentra en la periferia de la región de validez. 3.1.1 Enunciado general En un problema de programación lineal con dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima) una función (función objetivo) del tipo: F = px + qy sujeta a una serie de restricciones del tipo: a 1 x b 1 y c 1...... a m x b m y c m Los puntos del plano que cumplen todas las desigualdades están en un recinto convexo finito o infinito llamado región de validez del problema. Son las soluciones factibles. Si hay una única solución óptima, estará en un vértice del recinto, y si hay más de una, estarán en un lado. 10