Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente. Definición 1.1.2. Sea R el conjunto de los números reales. Un espacio vectorial sobre R consta de un conjunto no vacío V, una ley de composición interna sobre V, +, y una aplicación de R V en V,, (ley externa), verificando las siguientes propiedades: (1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo u, v, w V, (1.1) u + v = v + u. (Conmutativa). (1.2) u + ( v + w) = ( u + v) + w. (Asociativa). (1.3) Existe 0 V tal que para todo u V, 0 + u = u. (Elemento neutro). (1.4) Para todo u V, existe u V tal que u + u = 0 (opuesto de u). (2) Para todo u, v V y para todo α, β R, (2.1) α ( u + v) = α u + α v. (2.2) (α + β) u = α u + β u. (2.3) α (β u) = (α β) u. (2.4) 1 u = u. 1
Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Notas 1.1.3. (1) Los elementos de V se denominarán vectores y los de R escalares. (2) El elemento u cuya existencia asegura (1.4) es único y se notará por u. Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobre R: M(n m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m columnas). Un conjunto con un único elemento { 0} es un espacio vectorial que llamaremos espacio vectorial trivial. El conjunto R[X] de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coeficientes en R es un espacio vectorial sobre R. Proposición 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo u, v V y todo α, β R se verifica que: (1) α 0 = 0. (2) 0 u = 0. (3) α ( u v) = α u α v. (4) (α β) u = α u β u. (5) ( α) u = α u. Definición 1.1.6. Llamaremos espacio numérico sobre R, de dimensión n, al conjunto: R n = {(a 1,..., a n ) a i R, i = 1,..., n} En R n definimos las siguientes operaciones: (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ). a (a 1,..., a n ) = (a a 1,..., a a n ). Nota 1.1.7. Los elementos de R n se denominan vectores y los notaremos por u, v,.... Proposición 1.1.8. R n es un espacio vectorial sobre R. 2
Grupos A y D Curso 2014/2015 1.2. Subespacios vectoriales Definición 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L V (L ) es un subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composición interna y externa de V, es un espacio vectorial. Proposición 1.2.2. L V es subespacio vectorial de V si y sólo si. (a) u, v L u + v L. (b) u L, α R α u L. Condiciones que se pueden resumir en una sola: α, β R, u, v L α u + β v L. 1.3. Dependencia lineal Definición 1.3.1. Diremos que v V es combinación lineal de v 1,..., v n V si existen α 1,..., α n R tales que: v = α 1 v 1 + + α n v n Ejemplos 1.3.2.. (1) 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. (2) u es combinación lineal de cualquier conjunto que contenga a u. (3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinación lineal de los polinomios {1, x, x 2,..., x n }. Definición 1.3.3. Sea A V. Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un número finito de elementos de A. Si A =, se define L( ) = { 0}. Proposición 1.3.4.. (1) L(A) es un subespacio vectorial de V. 3
Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) (2) L(A) A. (3) Si A B L(A) L(B). (4) Si A es un subespacio vectorial de V, entonces L(A) = A. (5) L(L(A)) = L(A). Definición 1.3.5. Diremos que V es un espacio vectorial de dimensión finita si existe un número finito de elementos de V, u 1,..., u n, tales que: V = L( u 1,..., u n ) Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V. Ejemplos 1.3.6.. (1) R n es de dimensión finita. (2) R[x] (polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R) no es de dimensión finita. (3) El conjunto de los polinomios en la indeterminada x, de grado menor o igual que n, con coeficientes en R, sí es un espacio vectorial de dimensión finita. Definición 1.3.7. Sean u 1,..., u n V. (1) u 1,..., u n son linealmente dependientes si existen α 1,..., α n R,no todos nulos, tales que: α 1 u 1 + + α n u n = 0 (2) u 1,..., u n son linealmente independientes si: α 1 u 1 + + α n u n = 0 α 1 = = α n = 0 Ejemplos 1.3.8.. (1) Si 0 { u 1,..., u n }, entonces u 1,..., u n son linealmente dependientes (2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le añaden cualesquiera otros vectores, resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes. 4
Grupos A y D Curso 2014/2015 (3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es un conjunto de vectores linealmente independientes. Proposición 1.3.9. Si v es combinación lineal de v 1,..., v n, entonces el conjunto { v, v 1,..., v n } es linealmente dependiente. Demostración: Por hipótesis existen α 1,..., α n R tales que: v = α 1 v 1 + + α n v n Entonces: ( 1) v + α 1 v 1 + + α n v n = 0 y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es 1. Proposición 1.3.10. Si los vectores v 1,..., v n son linealmente dependientes, alguno de ellos es combinación lineal de los demás. 1.4. Bases y dimensión Definición 1.4.1. Decimos que B = { u 1, u 2,..., u n } V es una base de V si se verifica: (1) V = L{ u 1, u 2,..., u n }. Esto es, { u 1, u 2,..., u n } es un sistema de generadores de V. (2) { u 1, u 2,..., u n } son linealmente independientes. Ejemplo 1.4.2. {(1,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0,..., 1)} es una base de R n. Teorema 1.4.3. Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base. Teorema 1.4.4. En un espacio vectorial de dimensión finita todas las bases tienen el mismo número de elementos. 5
Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Definición 1.4.5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión finita. Se llama dimensión de V, dim(v ), al número de elementos de cualquier base de V. Si V = { 0}, convenimos en que tiene dimensión cero. Ejemplo 1.4.6. dim(r n ) = n. Corolario 1.4.7. Sea V un espacio vectorial con dim(v ) = n. (1) Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base. (2) Todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente. (3) Todo sistema de generadores de V tiene al menos n elementos. (4) Todo sistema de generadores con n elementos es una base. (5) Todo subespacio de V es de dimensión finita y tiene dimensión menor o igual que n. (6) Toda base de un subespacio de V puede ampliarse a una base de V. Teorema 1.4.8. Si B = { u 1,..., u n } es una base de V, entonces para cada v V existe un único (α 1,..., α n ) R n tal que: v = α 1 u 1 + + α n u n Este elemento de R n se denomina coordenadas de v respecto de B y lo notaremos por: v B = (α 1,..., α n ) 6
Grupos A y D Curso 2014/2015 1.5. Ejercicios resueltos 1.- El vector (2, 1, 3) es combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), ya que existen α 1, α 2, α 3 R tales que: (2, 1, 3) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 0, 0) + α 3 (1, 1, 0) = (α 1 + α 2 + α 3, α 1 + α 3, α 1 ) α 1 + α 2 + α 3 = 2 de donde se obtiene el sistema: α 1 + α 3 = 1 α 1 = 3 cuya solución es α 1 = 3, α 2 = 7, α 3 = 2. Por tanto, existen α 1, α 2, α 3 R tales que: (2, 1, 3) = 3(1, 1, 1) + 7(1, 0, 0) 2(1, 1, 0). 2.- En el espacio vectorial R 3, los vectores (1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) son linealmente independientes, ya que la única forma de expresar el vector nulo como combinación lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si: α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 0, 0) + α 3 (1, 1, 0) = (α 1 + α 2 + α 3, α 1 + α 3, α 1 ) = (0, 0, 0) α 1 + α 2 + α 3 = 0 se obtiene el sistema: α 1 + α 3 = 0 que es compatible determinado y cuya α 1 = 0 única solución es la trivial α 1 = α 2 = α 3 = 0, luego los tres vectores son linealmente independientes. 3.- El conjunto de vectores (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) forman una base de R 3. Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que forman un sistema de generadores de R 3. En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores 1 0 0 en forma matricial, resulta : A = 1 1 0 y se verifica que rango(a) = 3, por lo 1 1 1 que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes. Por último, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R 3 : Para comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c) R 3 como combinación lineal de los tres: (a, b, c) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (0, 1, 1) + α 3 (0, 0, 1) = (α 1, α 1 + α 2, α 1 + α 2 + α 3 ) 7
Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) α 1 = a α 1 + α 2 = b α 1 + α 2 + α 3 = c 1 0 0 1 1 0 1 1 1 α 1 α 2 α 3 a = b c Es un sistema lineal con variables α 1, α 2, α 3 y términos independientes a, b, c. La matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene solución única. Esa solución es el conjunto de escalares que nos permite escribir la combinación lineal. 4.- El conjunto A = {(x, y) R 2 : x + y = 1} no es un subespacio vectorial de R 2 ya que (0, 0) / A. 5.- El conjunto A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} es un subespacio vectorial de R 3. Para comprobarlo, aplicamos la condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial: u, v A, α, β R : α u + β v A. Si u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) A, entonces u 1 + u 2 + u 3 = 0, v 1 + v 2 + v 3 = 0, por lo que: α u + βbfv = α(u 1, u 2, u 3 ) + β(v 1, v 2, v 3 ) = (αu 1 + βv 1, αu 2 + βv 2, αu 3 + βv 3 ). Para que α u, β v A se debe cumplir: αu 1 + βv 1 + αu 2 + βv 2 + αu 3 + βv 3 = 0, en efecto: αu 1 +βv 1 +αu 2 +βv 2 +αu 3 +βv 3 = α(u 1 +u 2 +u 3 )+β(v 1 +v 2 +v 3 ) = α 0+β 0 = 0, α, β R, por tanto, A es un subespacio vectorial de R 3. 6.- El conjunto A = {(x, y, z) R 3 : x y = 0} no es un subespacio vectorial de R 3. A pesar de que (0, 0, 0) A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica la condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial. Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) A dado que, en ambos casos x y = 1 0 = 0 1 = 0, pero u + v = (1, 1, 2) / A, pues x y = 1 1 = 1 0. 8
Grupos A y D Curso 2014/2015 7.- Sea el subespacio A R 3, generado por los vectores u = (1, 0, 1) y v = (1, 1, 1), es decir A = (1, 0, 1), (1, 1, 1). Determinar una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas de A. a) A = u, v = (1, 0, 1), (1, 1, 1). Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que 1 1 rg 0 1 = 2, por lo que forman una base de A y dim(a) = 2. 1 1 b) Ecuaciones paramétricas: escribimos un vector genérico x = (x, y, z) A como combinación lineal de los vectores de la base: (x, y, z) = λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) = (λ + µ, µ, λ + µ) x = λ + µ de dónde obtenemos las ecuaciones paramétricas. y = µ z = λ + µ Aparecen dos parámetros igual a la dimensión de A. λ, µ R. c) Para las ecuaciones implícitas consideramos que (x, y, z) A, los vectores (x, y, z), (1, 0, 1), (1, 1, 1) son linealmente dependientes y que el rango de la matriz que forman debe coincidir con la dimensión de A: x 1 1 x 1 1 rg y 0 1 = 2 y 0 1 = 0 z x = 0 z 1 1 z 1 1 Luego el subespacio A tiene una ecuación implícita A = {(x, y, z) R 3 : z x = 0}. 8.- Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones paramétricas del subespacio de R 3 : A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x + y + z = 0} a) Comenzamos con las ecuaciones implícitas. El rango de la matriz del sistema formado por las ecuaciones que definen a A es dos: rg 1 1 1 = 2 1 1 1 por lo que las dos ecuaciones que definen A son un par de ecuaciones implícitas. 9
Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) b) Para obtener las ecuaciones paramétricas de A resolvemos el sistema: x + y + z = 0 x + y + x = 0. Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente, 1 1 y que un menor principal de la matriz es, le damos a la variable z el 1 1 x + y = λ valor de un parámetro, z = λ y resolvemos el sistema: x + y = λ que tiene por solución: x = 0, y = λ, z = λ, que son las ecuaciones paramétricas del subespacio A. c) Para obtener una base de A usamos las ecuaciones paramétricas: (x, y, z) A : (x, y, z) = (0, λ, λ) = λ(0, 1, 1), por lo que cualquier vector de A está generado por (0, 1, 1) que es una base de A. Por tanto, la dimensión de A es 1. 1.6. Ejercicios Propuestos 1.- Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 1). 2.- Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de (1, 2, 1, 2) y de (0, 1, 2, 1). 3.- Demostrar que los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (1, 0, 1), u 3 = (0, 1, 1) forman una base de (R 3, +, ), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de dicha base. 4.- Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de (R 3. +. ): A = {(x, y, z) : x y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x + 2y + z = 1}, 10
Grupos A y D Curso 2014/2015 C = {(x, y, z) : x y = 0, x z = 0, }, D = {(x, y, z) : x y + z = 0, y + z = 1}, E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x y = 0} 5.- Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, b, a), a, b R } es un subespacio vectorial de (R 4, +, ). En caso afirmativo, hállese una base del mismos. 6.- Calcular una base, unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales: a) H 1 = (1, 0, 1), ( 1, 1, 0) b) H 2 = (1, 1, 1), ( 1, 0, 1), (0, 1, 2) c) H 3 = {(x, y, z) R 3 : x = y z d) H 4 = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x 2z = 0 7.- Sea P 3 [x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado menor o igual que 3. Probar que si p(x) es un polinomio de grado 3, entonces es una base. { } p(x), p (x), p (x), p (x) Tómese p(x) = x 3 3x, y hállense las coordenadas de q(x) = x 3 + x 2 respecto de dicha base. 8.- Sean los conjuntos: F [x] = { } p(x) P 3 [x] : p(0) + p (0) = 0, G[x] = { } p(x) P 3 [x] : p (x) = 0. Demostrar que F [x] y G[x] son subespacios vectoriales de P 3 [x], y encontrar sendas bases para cada uno de ellos. 11
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