Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx 1. Subespacios vectoriales. Definición de subespacios vectoriales. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W V, se dice que es un subespacio de V, denotado por W < V, si W, junto con las operaciones de adición y multiplicación por escalar, definidas en V, es, por si sólo, un espacio vectorial, sobre el mismo campo K. Teorema. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W V, es un subespacio de V, denotado por W < V, si y sólo si: 1. El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de adición. Es decir w 1 + w 2 W w 1, w 2 W 2. El subconjunto W está cerrado respecto a la operación de multiplicación escalar. λ w 1 W λ K y w 1 W. Prueba: Primero probaremos que si un subconjunto W V es un subespacio de V; es decir, W < V entonces debe satisfacer las dos propiedades. Suponga que W < V, es un subespacio de V, entonces por definición W es un espacio vectorial sobre el campo K. Por lo tanto, W debe estar cerrado respecto a las operaciones de adición y multiplicación por escalar. Suponga ahora que un subconjunto W V satisface la clausura respecto a la adición y la multiplicación por escalar, entonces se probará que W < V. Puesto que W V entonces se satisfacen las siguientes propiedades de las dos operaciones 1. La adición es asociativa. w 1 + ( w 2 + w 3 ) = ( w 1 + w 2 ) + w 3, w 1, w 2, w 3 W 2. La adición es conmutativa w 1 + w 2 = w 2 + w 1, w 1, w 2 W 3. La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial. k( w 1 + w 2 ) = k w 1 + k w 2 k K, y w 1, w 2 W. 4. La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares. (k 1 + k 2 ) w = k 1 w + k 2 w k 1,k 2 K, y w W. 1

5. La multiplicación escalar es pseudoasociativa. (k 1 k 2 ) w = k 1 (k 2 w) k 1,k 2 K w W. 6. Propiedad del idéntico multiplicativo del campo. Si 1 K es el idéntico multiplicativo, se tiene que 1 w = w w W. 7. Puesto que W está cerrado respecto a la multiplicación por escalar, 0 K y se sabe que 0 w = 0, w W, entonces 0 W y W contiene al idéntico aditivo. 8. Si 1 es el idéntico multiplicativo del campo K, se tiene que 1 + ( 1) = 0 Por la clausura del conjunto W respecto a la multiplicacion por escalar ( 1) w W w W. Además, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación por escalar respecto a la adición, se tiene que [1 + ( 1)] w = w + ( 1) w = 0 w = 0 w W Por lo tanto ( 1) w es el inverso aditivo de w W y W también contiene los inversos aditivos. Por lo tanto, la clausura respecto a la adición, junto con las incisos 1, 2, 7 y 8 prueban que W es un grupo aditivo respecto a la adición. Finalmente, la clausura respecto a la multiplicación por escalar, junto con los incisos, 3, 4, 5 y 6 completan la prueba que W < V. Nota. Es importante notar que todo espacio vectorial V tiene dos subespacios impropios, el primero es el subespacio formado por el vector 0, exclusivamente; es decir { 0} y el restante es el propio espacio vectorial V. Teorema. Una condicion necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto W V sea un subespacio de V, es que 0 V sea también un elemento de W. Prueba: Por definición, W V es un subespacio de V si W por si sólo es un espacio vectorial. Por lo tanto, 0 debe estar contenido en W ; es decir 0 W. Teorema. El conjunto solución de una ecuación lineal con n incógnitas sobre un campo K es un subespacio de K n si, y sólo si, la ecuación es homogenea. Prueba: Considere una ecuación lineal homogenea con n incógnitas sobre un campo K a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = 0, y sea x s = (x 1s,x 2s,...,x ns ), y s = (y 1s,y 2s,...,y ns ) K n dos soluciones arbitrarias de la ecuación lineal homogenea, es decir dos elementos del conjunto solucion, C S y sea λ K arbitrario. a 1 x 1s + a 2 x 2s + + a n x ns 0, a 1 y 1s + a 2 y 2s + + a n y ns 0. entonces, C S está cerrado con respecto a la suma. Considere x s + y s = (x 1s + y 1s,x 2s + y 2s,...,x ns + y ns ). 2

, a 1 (x 1s + y 1s ) + a 2 (x 2s + y 2s ) + + a n (x ns + y ns ) = (a 1 x 1s + a 2 x 2s + + a n x ns ) + (a 1 y 1s + a 2 y 2s + + a n y ns ) 0 + 0 = 0. De manera semejante, el conjunto solución, C S, está cerrado con respecto a la multiplicacion por escalar. Considere λ x s = λ(x 1s,x 2s,...,x ns ) = (λx 1s,λx 2s,...,λx ns ). a 1 (λx 1s ) + a 2 (λx 2s ) + + a n (λx ns ) = λ (a 1 x 1s + a 2 x 2s + + a n x ns ) = λ 0 λ0 = 0. Por lo tanto, si la ecuación lineal es homogenea, el conjunto solución, C S es un subespacio de K n, es decir C S K n. Suponga ahora que la ecuación lineal no es homogenea, es decir a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, donde b 0. Suponga que x s = (x 1s,x 2s,...,x ns ) K n es una solución arbitraria de la ecuación lineal no homogenea, es decir un elemento del conjunto solución, C S y sea λ K diferente de 1. a 1 x 1s + a 2 x 2s + + a n x ns b. Considere entonces λ x s = λ(x 1s,x 2s,,x ns ) = (λx 1s,λx 2s,...,λx ns ). a 1 (λx 1s ) + a 2 (λx 2s ) + + a n (λx ns ) = λ(a 1 x 1s + a 2 x 2s + + a n x ns ) = λb b., el conjunto solución, C S, no está cerrado respecto a la multiplicación por escalar y no es un subespacio. Teorema. Sean W 1,W 2 < V dos subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces su intersección es también un subespacio; es decir, W 1 W 2 < V. Prueba: Sean w 1, w 2 W 1 W 2 arbitrarios, entonces w 1, w 2 W 1 y w 1, w 2 W 2. Ahora bien, puesto que W 1,W 2 son subespacios, entonces Por lo tanto w 1 + w 2 W 1 y w 1 + w 2 W 2. w 1 + w 2 W 1 W 2, y la intersección está cerrado respecto a la suma. Además, para todo λ K λ w 1 W 1 y λ w 1 W 2 Por lo tanto λ w 1 W 1 W 2, y la intersección está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. De esta manera se prueba que W 1 W 2 < V. 3

Teorema. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas sobre un campo K es un subespacio de K n si, y sólo si, el sistema de ecuaciones es homogeneo. Prueba: Considere el sistema de m ecuaciones con n incógnitas sobre un campo K, dado por a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 = a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + + a mn x n = b m. En el apunte número 3 se probó que el conjunto solución C S es la intersección de los conjuntos solución de las m ecuaciones. Es decir C S = C S1 C S2 C Sm. Si el sistema de ecuaciones es homogeneo, entonces cada una de las ecuaciones son homogeneas, y por los teoremas anteriores, cada uno de los conjuntos solución es un subespacio de K n y la intersección de los subespacios es otro subespacio. Por lo tanto, si el sistema de ecuaciones es homogeneo, su conjunto solución es un subespacio de K n. Es fácil probar que si el sistema no es homogeneo, el conjunto solución no es un subespacio. 2. Ejemplos Resueltos. En esta sección se presentan y resuelven algunos ejemplos de subconjuntos de espacios vectoriales que pueden o no ser subespacios vectoriales. 1. U R 4 donde U = {(a,b,c,d) a + b = c + d}. Sean v 1, v 2 U, elementos arbitrarios de U dados por Puesto que v 1, v 2 U, se tiene que Considere ahora v 1 = (a 1,b 1,c 1,d 1 ) y v 2 = (a 2,b 2,c 2,d 2 ). a 1 + b 1 = c 1 + d 1 y a 2 + b 2 = c 2 + d 2. v 1 + v 2 = (a 1,b 1,c 1,d 1 ) + (a 2,b 2,c 2,d 2 ) = (a 1 + a 2,b 1 + b 2,c 1 + c 2,d 1 + d 2 ). (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) = (c 1 + d 1 ) + (c 2 + d 2 ) = (c 1 + c 2 ) + (d 1 + d 2 ). y el conjunto U está cerrado respecto a la adición de vectores. Sea λ R arbitrario y considere λ v 1 = λ (a 1,b 1,c 1,d 1 ) = (λa 1,λb 1,λc 1,λd 1 ) λa 1 + λb 1 = λ (a 1 + b 1 ) = λ (c 2 + d 2 ) = λc 2 + λd 2. y el conjunto U está cerrado respecto a la multiplicación escalar de vectores. Por lo tanto U R 4 es un subespacio que se denota por U < R 4. 4

2. U R 4 donde U = {(a,b,c,d) a + b = 1}. Sean v 1, v 2 U, elementos arbitrarios de U dados por Puesto que v 1, v 2 U, se tiene que Considere ahora v 1 = (a 1,b 1,c 1,d 1 ) y v 2 = (a 2,b 2,c 2,d 2 ). a 1 + b 1 = 1 y a 2 + b 2 = 1. v 1 + v 2 = (a 1,b 1,c 1,d 1 ) + (a 2,b 2,c 2,d 2 ) = (a 1 + a 2,b 1 + b 2,c 1 + c 2,d 1 + d 2 ). (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) = 1 + 1 = 2. El conjunto U no está cerrado respecto a la adición de vectores y, por lo tanto, U no es un subespacio de R 4. 3. Sea C 0 (, ) el espacio vectorial real de funciones reales, continuas y de variable real en el intervalo (, ) y sea V C 0 (, ) tal que V = { f C 0 (, ) f( 1 2 ) Q}. Sea f V, por lo tanto f( 1 2 ) Q. Sea un λ R arbitrario y considere (λf)( 1 2 ) = λ [ f( 1 2 ) ]. Pero λ [ f( 1 2 )] Q si sólo si λ Q, pero λ R puede no pertenecer a Q. Por lo tanto, el conjunto no está cerrado respecto a la multiplicación por escalar y V no es un subespacio de C 0 (, ). 3. Ejemplos Propuestos. En esta sección se presentan algunos ejemplos de subconjuntos de espacios vectoriales, algunos de ellos son subespacios otros no lo son. 1. Considere el espacio vectorial R 3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere, El subconjunto S 1 R 3, tal que S 1 es un subespacio de R 3. El subconjunto S 2 R 3, tal que S 2 es un subespacio de R 3. El subconjunto S 3 R 3, tal que S 3 no es un subespacio de R 3. S 1 = { v = (v 1,v 2,v 3 ) v 2 = 3v 1,v 3 = 2v 1 }. S 2 = { v = (v 1,v 2,v 3 ) 3v 1 + v 2 2v 3 = 0}. S 3 = { v = (v 1,v 2,v 3 ) v 2 = 3,v 3 = v 1 }. 5

El subconjunto S 4 R 3, tal que S 4 = { v v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2, donde λ 1,λ 2 R, v 1 = (0,1,2), v 2 = (1, 1,0) R 3} S 4 es un subespacio de R 3. 2. Considere el espacio vectorial M 2 2, de matrices de dos filas y dos columnas, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere, El subconjunto S 1 M 2 2, tal que { [ a11 0 S 1 = A = 0 a 22 ] } a 11,a 22 R. S 1 es un subespacio de M 2 2. El subconjunto S 2 M 2 2, tal que { [ ] } a11 a S 2 = A = 12 a 21 a 22 a 11,a 12,a 21,a 22 R, tal que a 11 + a 22 = 2. S 2 es un subespacio de M 2 2. 3. Considere el espacio vectorial P 3 (x), de polinomios de grado menor o igual que 3, con coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere, El subconjunto S 1 P 3 (x), tal que S 1 es un subespacio de P 3 (x). El subconjunto S 2 P 3 (x), tal que S 2 no es un subespacio de P 3 (x). S 1 = { p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 3a 0 a 2 = 0 }. S 2 = { p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a 0 = a 3 + 1 }. 4. Considere el espacio vectorial C 1 ( 5,5), de funciones reales y continuas de variable real definidas en el intervalo abierto ( 5,5), sobre el campo de los números reales, R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere, El subconjunto S 1 C 1 ( 5,5), tal que S 1 es un subespacio de C 1 ( 5,5). El subconjunto S 2 C 1 ( 5,5), tal que S 2 no es un subespacio de C 1 ( 5,5). S 1 = {f(x) f(3) = f(1) + 2f(2)}. S 2 = {f(x) f(0) = f(1) + 1}. 6