TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras.. Demostraciones visuales del Teorema de Pitágoras. 3. Ternas pitagóricas. 4. Aplicaciones del teorema de Pitágoras. 4.1.Conocidos los catetos, calcular la hipotenusa. 4..Conocida la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto. 4.3.Ejemplos prácticos. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º, º, 3º y 4º ESO citados en el Decreto 69/007, de 9-05- 007, por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM 01-06-007) Para llevar a cabo la estimación y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas, es necesario el Teorema de Pitágoras (1º ESO). Utilización de los teoremas de Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras (º ESO). Aplicación de los teoremas de Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico (3º ESO). Aplicación del teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas. Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana (4º ESO) Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1
1. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. TEOREMA DE PITÁGORAS. Recuerda que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de 90º). Los lados de un triángulo rectángulo se llaman: Catetos: los lados que forman el ángulo recto. Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Podemos observar que la hipotenusa siempre es mayor que los dos catetos. Un triángulo rectángulo es isósceles si tiene los dos catetos iguales. Cuando estamos haciendo mediciones nos preguntamos: cómo podemos medir la altura de una torre muy elevada o la distancia entre dos ciudades? Para obtener medidas que no es posible realizar de forma directa usamos las relaciones entre medidas desconocidas y otras conocidas. Por eso se llaman medidas indirectas. Una de las relaciones que se utiliza para el cálculo de medidas indirectas es el teorema de Pitágoras. Vamos a enunciar el teorema de Pitágoras. Podemos hacer de dos formas distintas. a) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. hipotenusa a cateto b c cateto APM Página
b) En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Ésta es la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras.. DEMOSTRACIONES VISUALES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. Podemos acceder a las demostraciones visuales en la página: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/pitagoras.htm APM Página 3
3. TERNAS PITAGÓRICAS. Una terna pitagórica son tres números enteros que verifican el teorema de Pitágoras. Así, dados tres números, forman un triángulo rectángulo si el cuadrado del mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Por ejemplo, los números 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica, porque: 5 = 3 + 4, pues 5 = 9 + 16 4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. 4.1. Conocidos los catetos, calcular la hipotenusa. Como ya hemos señalado anteriormente, la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado. Veamos un ejemplo de cálculo. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. a = 6 + 8 a = 36 + 64 a = 100 Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide 10 cm. 4.. Conocida la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto. Como ya hemos señalado anteriormente, la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado. Por tanto, a = b + c Si despejamos uno de los catetos, queda lo siguiente: a c = b Veamos un ejemplo de cálculo. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 5 centímetros y la hipotenusa 13 centímetros. Calcula la medida del otro cateto. APM Página 4
13 = b + 5 169 = b + 5 b =169 5 b = 144 Por tanto, el cateto del triángulo mide 1 centímetros. 4.3. Ejemplos prácticos. Veamos varios ejemplos prácticos. 1. Podemos calcular la diagonal de un cuadrado de lado b. b + b = d Por ejemplo: Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 8 cm. d = 8 + 8 d = 64 + 64 d = 18 Por tanto, la diagonal del cuadrado mide 11,31 cm.. También podemos calcular la diagonal de un rectángulo, de lados a y b. d = a + b Por ejemplo, si tenemos un triángulo de lados 8 cm y 6 cm, podemos calcular su diagonal del siguiente modo: d = 8 + 6 d = 64 + 36 Por tanto, la diagonal de rectángulo mide 10 cm. APM Página 5
3. A qué altura se llega con una escalera de,5 metro colocando la base a 1 metro de la pared?,5 = b + 1 6,5 = b + 1 b =6,5 1 b = 5,5 Por tanto, la escalera llega a una altura de,9 metros. 4. Observa el dibujo y calcula a qué altura está la cometa. 6 = b + 3 36 = b + 9 b =36 9 b = 7 Por tanto, la cometa vuela a una altura de 5, metros. APM Página 6
5. Observa el dibujo y calcula la longitud de la rampa por la que tiene que subir el coche. a = 0 + 1 a = 400 + 441 a = 841 Por tanto, la rampa que tiene que subir el coche tiene una longitud de 9 metros. APM Página 7