CENTRALIZACIÓN, POSICIÓN Y DISPERSIÓN Matemáticas PAI 5 (4ºESO)
Ejercicio 2 Actividad de aula 3 Medidas estadísticas
Recupera la tabla de frecuencias que realizaste en el ejercicio 2 de la actividad de aula 2 (actividad sobre las canciones de Los Beatles) y calcula e interpreta todas las medidas estadísticas. Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 24 1,00 3740 CENTRALIZACIÓN MEDIA: X = 3740 24 = 156s Interpretación: Por término medio, las canciones de los Beatles estudiadas duran 156 segundos.
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 [140 MODA 160) 150 5 MAYOR 15 fi 0,21 0,63 750 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 24 1,00 3740 CENTRALIZACIÓN MODA: La moda es el valor que más se repite, por lo tanto el valor que tenga mayor fi. Vamos a la tabla y buscamos la mayor fi. El intervalo correspondiente será la moda buscada Moda=[120-140) Interpretación: De las canciones estudiadas, la duración más popular o más frecuente es 130s
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 [140 Mediana 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 [160 180) 170 3 18 0,13 Fi inmediatamente 0,75 510superior a 12 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 24 1,00 3740 CENTRALIZACIÓN MEDIANA: Es el valor central, es decir, si ordenamos todas las respuestas obtenidas, la que nos quede en el medio será la mediana. En este caso, tenemos 24canciones, por tanto 24/2=12canciones. Es decir, la mediana estará entre la posición 12 y la 13 => vamos a la columna de Fi y buscamos el valor inmediatamente superior a 12. Interpretación: Significa que la mitad de las canciones dura menos de 150s y la otra mitad dura más de 150s
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi fi xi X [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 24 1,00 3740 575 DISPERSIÓN Rango o recorrido: R=máx-min= 210-130=80s Desviación media: 575 24 = 24s Interpretación: Nos da una idea de la dispersión: a mayor rango, más dispersos están los datos. En este caso, el rango no es demasiado alto Interpretación: Indica que, por término medio, las canciones se desvían 24s de la media
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi fi xi X fi xi X 2 xi 2 fi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200 24 1,00 3740 575 17983 600800 DISPERSIÓN Varianza: a) σ 2 =17983/24 = 749 b) σ 2 =600800/24 156 2 = 749 Desviación típica: σ = 749 = 27s Interpretación: La desviación típica nos indica si los datos están muy dispersos o no. Si la desviación típica es muy grande en comparación con la media significa que los datos están muy dispersos, sino significa que los datos están bastante agrupados en torno a la media.
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi fi fi xi X fi xi X 2 xi 2 fi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200 24 1,00 3740 575 17983 600800 DISPERSIÓN Coeficiente de variación: CV= σ/ X = 27/156 = 0,17 (17%) Nos permite comparar la dispersión de dos conjuntos de datos diferentes Interpretación: Realmente es el más fácilmente interpretable, pues para saber si σ es muy grande o muy pequeño va a depender de la magnitud de la variable con la que estemos trabajando. Sin embargo, como CV se expresa en forma porcentual, la magnitud de las variables no es relevante. Si CV<20% significa que los datos no están muy dispersos, por lo que la media es representativa del conjunto de datos.
Intervalo xi fi Fi hi Hi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 24 1,00 Interpretación: El 25% de las canciones duran menos de 130s (o el 75% de las canciones duran más de 130s). El 50% de las canciones duran menos de 150s. El 75% de las canciones duran menos de 190s. POSICIÓN CUARTILES: a) Primer cuartil: Posición=24/4= 6 Q 1 se encuentra entre sexta y séptima posición => buscamos F 1 inmediatamente superior a 6 => Q 1 =130 b) Q 2 =Me= 150 c) Tercer cuartil: Posición=24 3/4= 18 Q 3 se encuentra entre 18ºy 19ºposición => buscamos F 1 inmediatamente superior a 18=> Q 3 =190
Intervalo xi fi Fi hi Hi [120-140) 130 10 10 0,42 0,42 [140 160) 150 5 15 0,21 0,63 [160 180) 170 3 18 0,13 0,75 [180 200) 190 4 22 0,17 0,92 [200 220) 210 2 24 0,08 1,00 Interpretación: El 10% de las canciones duran menos de 130s (o el 90% de las canciones duran más de 130s). El 85% de las canciones duran menos de 190s. 24 1,00 POSICIÓN PERCENTILES: a) P 10 : Posición=24 10 100 = 4,8 P 10 es el dato que se encuentra en 5ª posición=> buscamos Fi 5=> P 10 =130 b) P 85 : Posición=24 85 100 = 20,4 P 85 es el dato que se encuentra en 21ª posición=> buscamos Fi 21=> P 85 =190 A qué percentiles equivaldría cada uno de los cuartiles? Se podrían calcular los percentiles empleando las frecuencias relativas acumuladas en lugar de Fi?
Ejercicio 3 Problema 52 pág. 227
EJERCICIO 3 a) y b) Mujeres fi Fi hi Hi xi fi xi 2 fi fi xi X 900 2 2 0,133 0,133 1800 1620000 466,67 1000 2 4 0,133 0,267 2000 2000000 266,67 1100 4 8 0,267 0,533 4400 4840000 133,33 1200 4 12 0,267 0,800 4800 5760000 266,67 1300 2 14 0,133 0,933 2600 3380000 333,33 1400 1 15 0,067 1,000 1400 1960000 266,67 15 1,000 17000 19560000 1733,33 Media X = 17000 = 1133,33 15 Varianza σ 2 = 19555,56 Mediana Posición=15/2=7,5 => Fi=8=> Me=1100 Desv media DM=1733,33/15= 115,56 Desv. típica σ= 19560000 15 1133.33 = 139,84 CV CV=139,84/1133.33 = 0,12
EJERCICIO 3 a) y b) Hombres fi Fi hi Hi xi fi xi 2 fi fi xi X 900 1 1 0,067 0,067 900 810000 513,33 1200 2 3 0,133 0,200 2400 2880000 426,67 1300 4 7 0,267 0,467 5200 6760000 453,33 1400 2 9 0,133 0,600 2800 3920000 26,67 1500 2 11 0,133 0,733 3000 4500000 173,33 1600 1 12 0,067 0,800 1600 2560000 186,67 1700 2 14 0,133 0,933 3400 5780000 573,33 1900 1 15 0,067 1,000 1900 3610000 486,67 15 1,000 21200 30820000 2840,00 Media X = 21200 = 1413,33 15 Posición=15/2=7,5 => Fi=8=> Me=1400 30820000 σ= Mediana Desv. típica 15 1413.33 = 239,07 Varianza σ 2 =19555,56 Desv media DM= 2840/15=189,33 Rango R= 1900 900= 1000 CV CV=239,07/1413.33=0,17
EJERCICIO 3 c) Para comparar dos conjuntos de datos tenemos que comparar sus CV. En el caso de los hombres el CV es 17% mientras que CV de mujeres es 12%. Esto significa que los datos en la distribución de hombres están más dispersos que en el caso de las mujeres, donde están más concentrados. Aunque en ambos casos es aceptable emplear la media como representante de los datos. d) Personas fi Fi hi Hi xi fi xi2 fi fi xi X 900 3 3 0,100 0,100 69 62100 856,90 1000 2 5 0,067 0,167 2000 2000000 371,27 1100 4 9 0,133 0,300 4400 4840000 342,53 1200 6 15 0,200 0,500 7200 8640000 86,20 1300 6 21 0,200 0,700 7800 10140000 686,20 1400 3 24 0,100 0,800 4200 5880000 643,10 1500 2 26 0,067 0,867 3000 4500000 628,73 1600 1 27 0,033 0,900 1600 2560000 414,37 1700 2 29 0,067 0,967 3400 5780000 1028,73 1900 1 30 0,033 1,000 1900 3610000 714,37 30 1,000 35569 48012100 5772,40 Media 1185,63 Mediana 1300,00 Desv típica 441,22 Varianza 194676,93 Desv media 384,83 CV 0,37