Técnicas Modernas en Atomática 1 Control Mediante Lógica Difsa Samir Koro R. y Rodrigo Msalem M. Resmen En este docmento se presenta na introdcción a la teoría y aplicación de lógica difsa en sistemas de control. En particlar, se introdce n leve cambio a la configración tradicional de n lazo de control difso, qe permite realizar n ajste fino o medida correctiva a n controlador ya diseñado, en forma intitiva y relacionada con el control clásico. Para corroborar el análisis teórico, se presenta n ejemplo de aplicación, en el cal se desarrolla en forma detallada el diseño de n lazo control qe permita reglar el ánglo de elevación de n helicóptero prototipo. Palabras claves Lógica difsa, control atomático, helicóptero prototipo. L I. INTRODUCCION A lógica difsa pede ser descrita como n sistema interpretativo, en el cal los objetos o elementos son relacionados con conjntos de fronteras no nítidamente definidas, otorgándoles n grado de pertenecía relativa o gradada y no estricta como es de costmbre en la lógica tradicional. En n sentido más amplio se podría decir qe existe na especie de interpolación entre na frontera y otra, o bien, ente n conjnto y otro. Lo anterior ha permitido incorporar sentencias del lengaje común, las qe se caracterizan por ser n tanto indefinidas, para interpretar el estado de las variables de cierto proceso, asignándoles en cada momento n grado de a estos conjntos difsos. Esta interpretación pede ser fácilmente relacionada mediante operadores lógicos tradicionales con ciertas medidas de acción, también de natraleza no exacta, qe son diseñadas de tal manera qe prodzcan n cambio deseado en las variables de interés. En resmen se pede diseñar n controlador, qe interprete en forma intitiva (y no nméricamente exacta) el estado de ciertas variables, y en base a ello dedzca en forma lógica na actación posible qe permita llevar la variable al estado deseado. Sin embargo, la metodología anterior introdce ciertos problemas de índole práctica. Por ejemplo, se pede atravesar por todo el proceso de diseño del controlador (definición de conjntos, relaciones lógicas, etc.) y obtener resltados pobres, obligando a revisar el diseño en s totalidad. Para Artíclo presentado el 21 de jnio de 2002, como trabajo de la asignatra Técnicas Modernas en Atomática, impartida por el profesor Jan Hernández. El formato de este artíclo está sjeto a las normas IEEE señaladas en [2]. S. Koro, almno de sexto año de Ingeniería Civil Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María. (e-mail: skoro@srnet.cl). R. Msalem, almno de sexto año de Ingeniería Civil Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María. (e-mail: msa@elo.tfsm.cl). contrarrestar esta desventaja, se propone la incorporación de ciertas ganancias, qe permiten ponderar el grado de de las variables en los conjntos difsos, inclso para controladores ya diseñados. Ello permite generar medidas correctivas, qe peden mejorar el desempeño del controlador. En particlar, se aplican las ganancias a las mismas variables qe se tilizan en el control clásico (PID), permitiendo incorporar el vasto conocimiento y sensibilidad qe se posee de estos parámetros al control con lógica difsa. Posteriormente la teoría expesta es pesta a preba, diseñando n lazo de control difso, para controlar el ánglo de elevación de n helicóptero prototipo. II. BREVE MARCO TEÓRICO El control difso, pede ser expresado mejor como n control a través de palabras qe interpretan el sentido común, en lgar de números, o bien sentencias en lgar de ecaciones. Sin embargo, las variables de los procesos no se miden en sentido común, sino en números. Por lo tanto se hace necesario realizar na adaptación previa antes de introdcir el estado de la variable al controlador. Esta etapa es llamada fsificación. En la figra 2.1, se aprecian las distintas transformaciones qe sfren las variables y los datos en n lazo de control difso. Números A/D Comptador Fsificador Expresiones Señales Controlador difso Planta Expresiones Fig. 2.1. Lazo de control difso. Defsificador Señales Números D/A La etapa de fsificación, le otorga a los datos de entrada n grado de membresía dentro de las distintas expresiones posibles, para ello bsca la correspondencia entre el estado de las variables, y las fnciones de definidas para tal propósito. Desde lego, para n determinado valor de na variable, s grado de será mayor en na expresión qe en las demás. Una vez qe se tienen expresados los estados de las variables en forma lingüística se peden establecer relaciones lógicas entre ellas, típicamente a través de reglas tales como si...entonces (IF-THEN). Se definen na serie de relaciones qe interpretan el sentido común, y permiten generar na actación deseada (en estado lingüístico), qe debe ser aplicada a la planta. Lego esta debe ser tradcida a número (defsificación), para qe lego el
Técnicas Modernas en Atomática 2 conversor digital-análogo la convierta a señal de tal modo qe peda ser aplicada a la planta. e Fnciones de (fsificación) Grado de Reglas base Defsificador III. DISEÑO DEL LAZO DE CONTROL Spongamos qe se desea controlar n sistema SISO 1 (de entrada y salida única). Reslta entonces conveniente tilizar como variables de entrada al controlador, el error existente en el proceso (e=r-y), el cambio del error () y la acmlación del error ( etdt () ). Lego cada na debe ser fsificada, es decir, se deben definir na cantidad de fnciones de qe representen los diferentes estados (lingüísticos) qe peden tomar esta variables (por ejemplo, error peqeño, mediano o grande). Para realizar este pnto se dispone de na gran cantidad de fnciones, tales como gassianas, trianglares, trapecios, etc. Según [1], el procedimiento para definir las fnciones debe ser el sigiente: Se elige n número de fnciones, de tal modo qe se represente todos los estados qe la variable tome. Se diseñan de n ancho mínimo sficiente qe permita obviar el rido de medición. Se desea n cierto grado de crzamiento entre las distintas fnciones, para no incrrir en estados pobremente definidos. Se recomienda partir con fnciones simétricas, para posteriormente realizar ajstes. Inicialmente se recomienda n entrecrzamiento del 50%, de tal modo qe cada elemento qede representado en al menos dos fnciones. Lego se deben definir las reglas base, cya fnción es establecer na vinclación lógica entre los grados de de las distintas variables de entrada, por ejemplo, si el error es grande y crece entonces se debe aplicar actación correctiva grande. Se definen entonces todas las sentencias lógicas posibles, asignándoles a cada na s actación correspondiente. Lego, las actaciones deben ser defsificadas, para ser convertidas a número, lo qe se logra mediante diversos métodos, siendo el más tilizado el del centroide. El diagrama de la figra 3.1 mestra en forma esqemática el controlador Fzzy. e int(e) Fnciones de (fsificación) Grado de Reglas base Actación Fig. 3.1. Diagrama de control Fzzy. Defsificador Sin embargo, a mayor cantidad de entradas, se tiene na mayor cantidad de reglas base, lo qe dificlta crecientemente el diseño del controlador. Por ello, y sigiendo na sgerencia de [3], conviene retirar el factor integrativo de las entradas al controlador Fzzy, para incorporarlo en forma individal smándolo a la actación final. Se tiene entonces na especie de controlador híbrido en qe el error y el cambio del error son variables de tipo difso, y la acmlación del error es determinística (crisp). El cambio anterior qeda ilstrado en la figra 3.2. int(e) GI Fig. 3.2. Diagrama de control Fzzy modificado. Donde GI es la ganancia del factor integrativo. IV. INTRODUCCIÓN DE GANANCIAS DE AJUSTE Con el método expesto en el pnto anterior, se obtiene n controlador, qe no siempre asegra n rendimiento óptimo o deseado, dado qe se diseñó en base a sentencias y conjntos de natraleza difsa. Ello significa, qe de no estar conforme con el controlador diseñado, se debe realizar na reevalación de todo el proceso efectado (elección de fnciones de, reglas base, etc.) o en otras palabras, comenzar desde cero. Para remediar este problema, en [3] se sgiere incorporar ganancias previas al proceso de fsificación, qe permitan ponderar las variables de entrada de tal modo qe se corrijan nméricamente las falencias de la interpretación difsa. Si además se relaciona esta idea con el control clásico, se eligen las ganancias de tal modo qe concerden con los parámetros de sintonización de n controlador PID. Lo anterior qeda ilstrado en la figra 4.1. e int(e) GP GD Fnciones de (fsificación) GI Grado de Reglas base Defsificador Fig. 4.1. Diagrama de control Fzzy con ganancias. Note qe en el caso de qe las distintas ganancias sean nitarias se tendría el controlador original. Por ejemplo, al amentar GP (ganancia del factor proporcional) por sobre 1, se estaría ponderando el error más fertemente qe la interpretación originalmente diseñada, provocando na actación más vigorosa. Un aporte de los atores sería proponer la modificación en linea de estas ganancias, a través de algún mecanismo de adaptación qe permita acomodar la respesta dinámica del lazo con respecto a n sistema de referencia dado. V. EJEMPLO DE APLICACIÓN Para poner en práctica lo analizado en la parte teórica, se realizará el diseño y simlación de n sistema de control. La planta a controlar corresponde a n helicóptero prototipo real disponible en el laboratorio Aström del departamento de Electrónica de la UTFSM. A. Descripción de la planta Se trata de n modelo a escala de n helicóptero, qe permite el movimiento tanto de rotación horizontal, como de elevación anglar del helicóptero. La figra 5.1 corresponde a na fotografía de la planta. 1 Single Inpt Single Otpt
Técnicas Modernas en Atomática 3 Fig. 5.1. Helicóptero prototipo. Dado qe se trata de n sistema mltivariable, pesto qe posee dos entradas (actación sobre hélice principal y hélice lateral) y dos salidas (ánglo de rotación y ánglo de elevación), se decidió fijar el eje de rotación para simplificar el sistema a no de tipo SISO, dejando la posibilidad de controlar la elevación del helicóptero. Lo anterior simplifica considerablemente el diseño del controlador, lo qe reslta más apropiado para el nivel introdctorio de este trabajo. Para definir la nomenclatra y los rangos de las variables qe se tilizarán posteriormente, se aprecia el diagrama explicativo de la figra 5.2. Motor Principal α. v α 0º intervalo de 0.25 a 0.25[V]. B. Obtención de n modelo Para poder realizar posteriormente na simlación 2, se hace necesario obtener n modelo cantitativo para el helicóptero, lo anterior fe realizado en forma fenomenológica, y se identificaron los parámetros a través de mediciones y prebas pertinentes, a continación se entregan las ecaciones obtenidas qe relacionan las distintas variables. La relación entre el ánglo físico α y la tensión de salida v α está dada por: α = 181.5v α 90.36 (1) La característica estática del motor principal está dada por: 2 τ = 0.15 0.0153 (2) Donde τ es el torqe sobre el eje de elevación, y la señal de actación. Note qe se trata de n sistema no-lineal. La parte dinámica del motor se compone de dos constantes de tiempo, na eléctrica debido a la indctancia y resistencia del devanado, y otra mecánica debido al roce viscoso y el momento de inercia anglar del motor. Dado qe esta última es mayor, y por lo tanto dominante, no se pierde generalidad (en motores peqeños) al aproximar el modelo del motor de corriente contina por n sistema de premier orden, cya constante de tiempo se obtiene a través del método de la crva de reacción. La transferencia obtenida es: 1 H() s = (3) 0.3s 1 Para identificar la dinámica del cerpo del helicóptero, se aplicaron escalones de torqe sobre el fselaje, colgando masas a cierta distancia del pnto pivotal, y registrando el cambio en el ánglo de elevación. Las oscilaciones feron almacenadas, y lego se ajstó n modelo de segndo orden obteniéndose ζ y ω n basándose en las mediciones del sobrepasamiento (overshoot) y la frecencia de las oscilaciones amortigadas. La transferencia obtenida fe: 4 H() s = (4) 2 s 0.9s 4 Reniendo las ecaciones anteriores se obtiene el modelo de la figra 5.3 para el helicóptero, con respecto al ánglo de elevación: Fig. 5.2. Diagrama esqemático del helicóptero. El ánglo de elevación α, se mide con respecto la vertical. Sin embargo, tal como se aprecia en la figra 5.1 el valor mínimo qe toma α es de 45º, pes al estar detenido reposa en este ánglo sobre la base. Además, el máximo pnto de elevación es de 135º, por lo qe el rango dinámico del helicóptero en elevación es de 90º en total. La actación se logra mediante n motor de corriente contina de 9000[rpm] máximo, y qe es controlado mediante n modlador PWM cya referencia contina () pede variar en el intervalo 0 a 0.7[V]. El sensor de posición anglar es de natraleza óptica, y corresponde simplemente a n disco codificado, qe entrega na tensión de salida (v α ) proporcional al ánglo medido en el Fig. 5.3. Modelo cantitativo del helicóptero (elevación). Se aprecia claramente n bloqe qe modela la dinámica del motor, segido de la característica estática del mismo. Lego se encentra el modelo de segndo orden del cerpo del helicóptero. Finalmente, a la derecha se encentra la 2 Note qe el modelo solamente es necesario para poder realizar la simlación, y no se reqiere para el diseño del controlador Fzzy, a diferencia del control clásico.
Técnicas Modernas en Atomática 4 característica inversa del sensor, qe convierte el voltaje de salida en el ánglo físico correspondiente. VI. DISEÑO DEL CONTROLADOR Considerando la descripción de la planta realizada en el pnto 5 y el modelo de la misma, se procedió a diseñar n sistema en base a lógica difsa mediante el cal se pdiese controlar de bena forma el ánglo vertical del helicóptero de laboratorio. Para ello, se empleó n controlador qe recibe como entradas el error e, definido como la diferencia entre el ánglo deseado y el medido; y la derivada del error. Este controlador entrega na salida proporcional a la rapidez de cambio de la tensión de actación (d/dt) sobre el motor principal del helicóptero. Para este diseño, se emplearon 3 conjntos difsos para cada variable de entrada al controlador, 5 conjntos difsos para la variable de salida, 9 reglas de control con estrctra IF THEN, fnciones de gassianas, implicancia mediante el operador min y defsificación mediante el método del centroide. Para implementar este controlador, se tilizó el toolbox de lógica difsa (Fzzy logic toolbox) de MATLAB 6.0 [4]. Para ingresar a él se emplea el comando fzzy, el cal permite trabajar en la ventana FIS Editor, donde se pede seleccionar el número de entradas y salidas del controlador, así como también se permite rotlar dichas variables, tal como se aprecia en la figra 6.1. De este modo, la tabla 6.1 debe interpretarse (por ejemplo) como: Si el error es positivo (ánglo de elevación por debajo de la referencia) y la derivada del error es negativa (el ánglo medido va en amento), entonces la salida debe ser positiva, lo qe implica qe la rapidez de cambio de la tensión aplicada al motor principal del helicóptero debe ir en amento. Para ingresar estas reglas al toolbox de MATLAB qe se está empleando, se pede tilizar el comando rleedit, o simplemente entrar en la ventana Rle Editor. Sin embargo, para realizar esta acción se reqiere haber definido previamente las fnciones de asociadas a las variables. B. Fnciones de Para definir las fnciones de, se emplea el comando mfedit, o simplemente se ingresa a la ventana Membership fnction editor del FIS Editor. El niverso de discsión empleado para el error fe de ±90, dado qe, tal como se explicó previamente, el helicóptero posee n rango de operación entre 45º y 135º. En este caso se emplearon fnciones de gassianas, con desviación 38.22 y medias 90, 0 y 90, tal como se aprecia en la figra 6.2. Fig. 6.1. Diagrama de bloqes del controlador fzzy. A. Reglas de control Para definir las reglas de base del controlador fzzy, se considera la sigiente notación: my-neg: My negativo neg: Negativo cero: Cero pos: Positivo my-pos: My positivo Fig. 6.2. Fnciones de para el error. Note qe para cada fnción de, se le pede asignar n nombre, el cal coincide con lo descrito en el pnto previo. En el caso de la variación del error en fnción del tiempo, el niverso de discsión fe de ±50, lo qe se basa en la sposición de qe el prototipo de laboratorio no se meve a más de 50[º/s]. Se emplearon en este caso fnciones de gassianas con desviación 21.23 y medias 50, 0 y 50, las cales peden observarse en la figra 6.3. a partir de la cal se pede obtener la sigiente matriz: Error e=θref-θ Derivada del error neg Cero pos Neg my-neg Neg neg Cero neg cero pos Pos pos pos my-pos Tabla 6.1. Reglas de control. Fig. 6.3. Fnciones de para la derivada del error.
Técnicas Modernas en Atomática 5 Para la salida del controlador Fzzy, se empleó n niverso de discsión de ±1. Esta elección se realizó en base al hecho qe, esta variable será integrada antes de ingresar a la planta, y además se reqiere qe posea valores tanto positivos como negativos, lego se emplea dicho niverso de discsión como na normalización nitaria de la variable de salida, la cal posteriormente es escalada adecadamente (según el rango de actación real) para ingresar a la planta. Se tilizaron fnciones de gassianas con desviación 0.2 y medias 1, -0.5, 0, 0.5 y 1, como se observa en la figra 6.4. Fig. 6.6. Salida del controlador fzzy en fnción de las variables de entrada. Fig. 6.4. Fnciones de para la salida del controlador fzzy. Una vez qe se han definido las fnciones de correspondientes, y tal como se explicó previamente, se pede ingresar el conjnto de reglas qe se mestra en la tabla 6.1 en la ventana Rle Editor, tal como se mestra en la figra 6.5. Una herramienta my interesante qe posee el toolbox empleado es Rle Viewer, la cal permite visalizar el estado de todas las reglas de control ante na determinada combinación de las variables de entrada, permitiendo además apreciar el comportamiento de la salida del controlador Fzzy y la salida defsificada para dichas entradas (representada por na línea vertical de color rojo). Esta ventana es la qe se aprecia en la figra 6.7. Fig. 6.5. Reglas de control en la ventana Rle Editor. C. Mecanismo de inferencia Se empleó el mecanismo de inferencia por factores de confianza, donde dependiendo de los grados de de las variables de entrada se obtiene n factor de confianza por cada regla para la variable de salida. Se empleó el and lógico como el mínimo entre estos factores, para lego combinar estos resltados mediante el or lógico implementado como el máximo. Todas estas características peden fijarse en la ventana del Fis Editor. D. Método de defsificación Se empleó el método de Mamdani, obteniendo la salida mediante el método del centroide. Una vez creado el controlador, es posible observar la sperficie qe representa la salida del controlador Fzzy como fnción de las 2 señales de entrada, lo qe se aprecia en la figra 6.6. Fig. 6.7. Ventana qe permite apreciar el estado de las reglas y la salida para calqier combinación de las variables de entrada. E. Adaptación de la salida del controlador Dado qe la salida del controlador Fzzy es proporcional a la derivada de la actación real qe debe aplicarse al sistema, es preciso qe la salida (defsificada) sea integrada (limitando los valores entre 0 y 1, para qe permanezca normalizada), para posteriormente escalar este rango al intervalo real en el cal opera la planta, qe en este caso es entre 0 y 0.7[V]. Así, despés de lo expesto en los pntos previos, en la figra 6.8 se pede observar como qeda el controlador Fzzy, considerando, además de la parte qe implementa lógica difsa, la inclsión de la integral del error.
Técnicas Modernas en Atomática 6 Fig. 6.8. Esqema completo del controlador. La integral del error fe incorporada en forma independiente y no en forma difsa, por las razones explicadas en el pnto 3. VII. LAZO DE CONTROL En el esqema de la figra 7.1 se pede observar el lazo de control empleado, donde se ve qe la salida de la planta se compara con la referencia para determinar el error, señal qe ingresa al controlador Fzzy, así como también la derivada de ella. Se observa qe también ingresa al bloqe Controlador (cyo contenido es el de la figra 6.8) la señal integrada del error, sin embargo, ésta última señal no se introdce al controlador Fzzy propiamente tal, por los motivos expestos previamente. Fig. 8.1. Respesta del sistema ante cambio de referencia. Dada la complejidad de la planta en cestión (y como consecencia de s modelo), no reslta sencillo determinar si la dinámica obtenida con el controlador Fzzy es adecada, motivo por el cal se realiza na comparación entre la respesta del sistema ajstado con control PID clásico y la respesta con el controlador Fzzy, lógicamente bajo las mismas condiciones. Esto pede ser apreciado en la figra 8.2, donde se observa qe ambos métodos presentan dinámicas my similares, validando como consecencia la calidad del resltado obtenido con control Fzzy. Fig. 7.1. Diagrama de bloqes del lazo de control completo. Note qe en la figra 7.1 se observan las ganancias mencionadas previamente qe permiten establecer la relación entre este controlador Fzzy y los controladores PID clásicos. VIII. RESULTADOS DE SIMULACIONES En este pnto se mestran algnos resltados de simlaciones realizadas. En n primer caso, se partió con el helicóptero detenido (45º) y se le dio n cambio de referencia de tipo escalón (a 90º), el cal fe segido de bastante bena forma por el sistema, tal como se aprecia en la figra 8.1. Es necesario mencionar qe los valores de las ganancias empleadas en la simlación de la figra 8.1 son los mismos qe aparecen en la figra 7.1, es decir, P = 0.55, D = 0.003, I = 0.003. En el pnto sigiente se realizan algnas variaciones de dichas ganancias para verificar s relación con el control PID clásico. Fig. 8.2. Comparación de la dinámica de respesta entre control PID clásico y control Fzzy. IX. SENSIBILIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL CONTROLADOR En este pnto se mestra el comportamiento del lazo cerrado ante ligeras variaciones en los parámetros externos al controlador Fzzy, de modo tal de verificar la teoría qe relaciona el esqema empleado con los controladores PID clásicos. En el caso en qe la ganancia proporcional se redjo de P = 0.55 a P = 0.1, es de esperar qe la respesta del lazo
Técnicas Modernas en Atomática 7 cerrado sea más lenta qe antes, lo qe se ve reflejado en la figra 9.1. Fig. 9.1. Sensibilización de la ganancia P del esqema de control. Note como disminye la velocidad de la respesta dinámica del lazo (de 10 a 15[s] en el tiempo de asentamiento). En el caso en qe se amenta la ganancia integrativa (o en otras palabras, se disminye la constante de tiempo del integrador), se prodce el fenómeno conocido como enrollamiento, hecho qe qeda de manifiesto al apreciar la figra 9.2, donde los parámetros empleados feron I = 0.009 y P = 0.01. El nivel de arte involcrado en el diseño del controlador no asegra n resltado óptimo inmediato, y en vista qe no reslta sencillo o intitivo introdcir modificaciones al controlador Fzzy, se tiene na desventaja comparativa frente al control clásico. El problema anterior se ve solcionado en cierta medida con la incorporación de las ganancias propestas en este trabajo, las qe ponderan previamente las variables antes de ser fsificadas. Una desventaja no despreciable de este método radica en los altos costos de procesamiento qe se deben realizar entre instantes de mestreo, pes se incorpora el tiempo de procesamiento del fsificador y defsificador al lazo de control, tiempo qe es mayor en comparación al tiempo de procesamiento necesario para implementar n controlador clásico. Dependerá en gran medida de la aplicación para la qe se desea tilizar, la conveniencia del empleo de lógica difsa en sistemas de control (o inclsive en identificación de sistemas). Fig. 9.2. Sensibilización del parámetros I del esqema de control. Note como la respesta oscila en torno a la referencia retardando considerablemente el tiempo asentamiento. Con los dos ejemplos anteriores, se corrobora la posibilidad de modificar el desempeño de n controlador Fzzy ya existente, incorporando las ganancias. Tal como se demostró, lo anterior permite realizar ajstes en forma intitiva incorporando a la lógica difsa conceptos conocidos del control clásico, smando las ventajas del control Fzzy (nolinealidad, prescindir del modelo, etc.). RECONOCIMIENTOS Se agradece al profesor Manel Olivares, la facilitación de las instalaciones del Laboratorio de Control Atomático, de la Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile), para realizar experimentos en la planta CE 150 Helicopter Model. REFERENCIAS [1] J. Jantzen. Design Of Fzzy Controllers. Technical University of Denmark. Denmark, 1998. [2] Formato de pblicación IEEE Transactions. Trans-Jor.doc, disponible en: http://www.ieee.org/organizations/pbs/transactions/stylesheets.htm [3] J. Jantzen. Tning Of Fzzy PID Controllers. Technical University of Denmark. Denmark, 1998. [4] Z. Lotfi. Fzzy Logic Toolbox, User s Gide. Versión 2. The Math Works, Inc. 1995. X. CONCLUSIONES Al finalizar este trabajo, se peden extraer las sigientes conclsiones: La lógica difsa tiene la ventaja de incorporar el lengaje común al diseño de sistemas de control, hecho qe se torna my importante a la hora de inclir el conocimiento empírico de los operadores de procesos. El hecho de qe este método no reqiera de n modelo rigroso de la planta a controlar facilita en gran medida el proceso de diseño del controlador, sobre todo cando determinación cantitativa de los parámetros del sistema se hace compleja (por ejemplo, en sistemas no lineales).