Profesor: Rubén lva Cabrera
INDICE INTRODUCCIÓN RELCION DE PERTENENCI DETERMINCION DE CONJUNTOS DIGRMS DE VENN CONJUNTOS ESPECILES RELCIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS UNION DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS DIFERENCI DE CONJUNTOS DIFERENCI SIMÉTRIC COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO PROLEMS
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas
NOTCIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas,, C,...,sus elementos se separan mediante punto y coma. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a; b; c;...; x; y; z}
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. l número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CRDINL DEL CONJUNTO y se le representa por n(q). Ejemplo: = {a;b;c;d;e} su cardinal n()= = {x;x;x;y;y;z} su cardinal n()= 5 3 INDICE
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10} 2 M 5 M...se lee 2 pertenece al conjunto M...se lee 5 no pertenece al conjunto M INDICE
Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión I) POR EXTENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: ) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. = { 6;8;10;12;14;16;18 } INDICE
) El conjunto de números negativos impares mayores que -10. = {-9;-7;-5;-3;-1 } II) POR COMPRENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: P = { los números dígitos } se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito Ejemplo: Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana. Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo } Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana } INDICE
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. 7 4 8 6 1 5 3 9 2 T o e i a u M (2;4) (5;8) (1;3) (7;6) INDICE
CONJUNTO VCÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { } = o = { } se lee: es el conjunto vacío o es el conjunto nulo Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } 1 P = { x / 0 } X
CONJUNTO UNITRIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: 2 x / x 4 x 0 F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G = CONJUNTO FINITO Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 }
CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplos: R = { x / x < 6 } ; S = { x / x es un número par } CONJUNTO UNIVERSL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra: U Ejemplo: El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS. INDICE
INCLUSIÓN Un conjunto esta incluido en otro conjunto,sí y sólo sí, todo elemento de es también elemento de NOTCIÓN : Se lee : esta incluido en, es subconjunto de, esta contenido en, es parte de. REPRESENTCIÓN GRÁFIC :
PROPIEDDES: I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto. III ) está incluido en ( que incluye a ( ) ) equivale a decir IV ) Si no está incluido en o no es subconjunto de significa que por lo menos un elemento de no pertenece a. ( ) V ) Simbólicamente: x x
CONJUNTOS COMPRLES Un conjunto es COMPRLE con otro conjunto si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión. es comparable con Û Ì Ú Ì Ejemplo: ={1;2;3;4;5} y ={2;4} 1 2 4 5 3 Observa que está incluido en,por lo tanto y son COMPRLES
IGULDD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: = { x / x 2 = 9 } y = { x / (x 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : = {-3;3} y = {-3;3},por lo tanto = Simbólicamente : ( ) ( )
CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTCIÓN GRÁFIC : 7 9 5 3 1 2 4 8 6 Como puedes observar los conjuntos y no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOS Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Ejemplo: F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} } Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos. {a} es un elemento del conjunto F entonces {a} Es correcto decir que {b} F? NO Porque {b} es un elemento del conjunto F,lo correcto es {b} F F
CONJUNTO POTENCI El conjunto potencia de un conjunto denotado por P() o Pot() es el conjunto formado por todos los subconjuntos de. Ejemplo: Sea = { m;n;p } Los subconjuntos de son {m},{n},{p}, {m;n}, {m;p}, {n;p},{m;n;p}, Φ Entonces el conjunto potencia de es: P() = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};φ } CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCI DE?
Observa que el conjunto tiene 3 elementos y su conjunto potencia osea P() tiene 8 elementos. PROPIEDD: Dado un conjunto cuyo número de elementos es n, entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2 n. Ejemplo: Dado el conjunto ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(). INDICE
RESPUEST Si 5<x<15 y es un número par entonces = {6;8;10;12;14} Observa que el conjunto tiene 5 elementos entonces: Card P()=n P()=2 5 =32
Números Naturales ( N ) Números Enteros ( Z ) N={1;2;3;4;5;...} Z={...;-2;-1;0;1;2;...} Números Racionales (Q) 1 1 1 4 Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;...} 2 Números Irracionales ( I ) I={...; ;...} 2; 3; Números Reales ( R ) 5 R={...;-2; ;-1;0;1; 2; 3 ;2; ;3;...} 4 3 Números Complejos ( C ) 1 2 C={...;-2; ;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;...} 2 3 5 2
C R N Z Q I
EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes conjuntos: ) P x N/ x 2 9 0 ) C ) D ) E ) 2 Q x Z / x 9 0 2 F x R / x 9 0 T x Q /(3x 4)(x 2) 0 x I/(3x 4)(x 2) 0 INDICE
RESPUESTS P={3} 2 P x N/ x 9 0 2 Q x Z / x 9 0 2 F x R / x 9 0 T x Q /(3x 4)(x 2) 0 x I/(3x 4)(x 2) 0 Q={-3;3} F = { } T 4 3 2
El conjunto unión que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a,a o a ambos conjuntos. Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 1 3 2 4 7 6 5 8 9 1;2;3;4;5;6;7;8;9 x / x x
REPRESENTCIONES GRÁFICS DE L UNIÓN DE CONJUNTOS Si y son no comparables Si y son comparables U U U Si y son conjuntos disjuntos U U
PROPIEDDES DE L UNIÓN DE CONJUNTOS 1. U = 2. U = U 3. U Φ = 4. U U = U 5. ( U ) U C = U( U C) 6. Si U =Φ Þ =Φ Ù =Φ INDICE
El conjunto intersección que se representa el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a y pertenecen a. Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 3 1 4 2 7 6 x / x x 5 5;6;7 8 9 es
REPRESENTCIONES GRÁFICS DE L INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Si y son no comparables Si y son comparables U U Si y son conjuntos disjuntos =Φ U =
PROPIEDDES DE L INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 1. = 2. = 3. Φ = Φ 4. U = 5. ( ) C = ( C) 6. U ( C) = ( U ) ( U C) ( U C) = ( ) U ( C) INDICE
El conjunto diferencia que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a y no pertenecen a. Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 3 1 4 2 7 x / x x 5 6 1;2;3;4 8 9
El conjunto diferencia que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a y no pertenecen a. Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 3 1 4 2 7 6 x / x x 5 8;9 8 9
REPRESENTCIONES GRÁFICS DE L DIFERENCI DE CONJUNTOS Si y son no comparables U Si y son comparables U - Si y son conjuntos disjuntos = U - INDICE
El conjunto diferencia simétrica que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (-) o (-). Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 y 5;6;7;8;9 3 1 4 2 7 6 5 8 9 1;2;3;4 8;9 x / x ( ) x ( )
También es correcto afirmar que: ( ) ( ) - - ( ) ( )
Dado un conjunto universal U y un conjunto,se llama complemento de al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto. Notación: o C Simbólicamente: Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y ={1;3; 5; 7; 9} ' x / x U x = U - U
U 2 3 1 6 5 7 9 4 8 ={2;4;6,8} PROPIEDDES DEL COMPLEMENTO 1. ( ) = 4. U =Φ 2. U =U 5. Φ =U 3. =Φ INDICE
PROLEM 1 PROLEM 2 PROLEM 3 PROLEM 4 PROLEM 5 FIN
Dados los conjuntos: = { 1; 4 ;7 ;10 ;... ;34} = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31} a) Expresar y C por comprensión b) Calcular: n() + n() c) Hallar:, C SOLUCIÓN
Primero analicemos cada conjunto Los elementos de son: tt1tt 1 3x0 tt4tt 1 3x1 tt7tttt10tt 1 3x2 1 3x3... = { 1+3n / nîz Ù 0 n 11} tt34tt 1 3x11 n()=12 Los elementos de son: tt2tt tt4tt tt6tt tt8tt... tt26tt 2x1 2x2 2x3 2x4 = { 2n / nîz Ù 1 n 13} 2x13 n()=13
Los elementos de C son: tt3tt tt7tt tt11tttt15tt... tt31tt 34x0 34x1 34x2 34x3 34x7 C = { 3+4n / nîz Ù 0 n 7 } n(c)=8 a) Expresar y C por comprensión = { 2n / nîz Ù 1 n 18} C = { 3+4n / nîz Ù 0 n 7 } b) Calcular: n() + n() n() + n() = 13 +12 = 25
c) Hallar:, C = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26} C = {3;7;11;15;19;23;27;31} Sabemos que esta formado por los elementos comunes de y,entonces: = { 4;10;16;22 } Sabemos que C - esta formado por los elementos de C que no pertenecen a, entonces: C = { 3;11;15;23;27 }
Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 } Determinar si es verdadero o falso: a) Φ Ì G b) {3} Î G c) {{7};10} ÎG d) {{3};1} Ë G e) {1;5;11} Ì G SOLUCIÓN
Observa que los elementos de son: Entonces: a)φ Ì G... 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 es VERDDERO porque Φ esta incluido en todo los conjuntos b) {3} Î G... es VERDDERO porque {3} es un elemento de de G c) {{7};10} ÎG.. es FLSO porque {{7};10} no es elemento de G d) {{3};1} Ë G... es FLSO e) {1;5;11} Ì G... es VERDDERO
Dados los conjuntos: P = { x ÎZ / 2x 2 +5x-3=0 } M = { x/4în / -4< x < 21 } T = { x ÎR / (x 2-9)(x - 4)=0 } a) Calcular: M - ( T P ) b) Calcular: Pot(M T ) c) Calcular: (M U T) P SOLUCIÓN
nalicemos cada conjunto: P = { x ÎZ / 2x 2 +5x-3=0 } 2x 2 + 5x 3 = 0 2x 1 x + 3 (2x-1)(x+3)=0 ü ý þ 2x-1=0 Þ x = 1/2 x+3=0 Þ x = -3 Observa que xîz, entonces: P = { -3 } M = { x/4în / -4< x < 21 } Como x/4 Î N entonces los valores de x son : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos de M se obtienen dividiendo x entre 4,por lo tanto : M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
T = { x ÎR / (x 2-9)(x - 4)=0 } Cada factor lo igualamos a cero y calculamos los valores de x x 4 = 0 Þ x = 4 x 2 9 = 0 Þ x 2 = 9 Þ x = 3 o x =-3 Por lo tanto: T = { -3;3;4 } a) Calcular: M - ( T P ) T P = { -3;3;4 } - { -3 } Þ T P = {3 ;4 } M - (T P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - {3 ;4 } M - (T P)= {1 ; 2 ; 5 }
b) Calcular: Pot( M T ) M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3;3;4 } M T = {1 ; 2 ; 5 } Pot( M T ) = { {1}; {2}; {5};{1;2};{1;5};{2;5}; {1;2;5}; Φ } c) Calcular: (M U T) P M U T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } U { -3;3;4 } M U T = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } (M U T) P = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3 } (M U T) P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos, y C. C C SOLUCIÓN
[( ) C] C C [( C) ] C C [( C) ] [( ) C] U [( C) ] U [( C) ]
C Observa como se obtiene la región sombreada Toda la zona de amarillo es U La zona de verde es Entonces restando se obtiene la zona que se ve en la figura : ( U ) - ( ) Finalmente le agregamos C y se obtiene: [ ( U ) - ( ) ] U C ( D ) U C = C
Según las preferencias de 420 personas que ven los canales, o C se observa que 180 ven el canal,240 ven el canal y 150 no ven el canal C,los que ven por lo menos 2 canales son 230 cuántos ven los tres canales? SOLUCIÓN
El universo es: 420 Ven el canal : 180 Ven el canal : 240 No ven el canal C: 150 Entonces si ven el canal C: 420 150 = 270 a d e x f b (I) a + e + d + x =180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 Dato: Ven por lo menos dos canales 230,entonces: C c (IV) d + e + f + x = 230
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420 230 entonces : a+b+c =190 Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) a + e + d + x =180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690 190 230 190 + 560 + x =690 Þ x = 40 Esto significa que 40 personas ven los tres canales
Profesor: Rubén lva Cabrera rubalva@hotmail.com