U.N.Ju. Facultad de Ingeniería I. O. Trabajo Practico Nº 1: Programación Matemática - Fecha: 06/Abr/11 ALUMNO: CARRERA: L.U. Nº: FIRMA: Ejercicios: 1) Que es la I.O.? 2) Realice una síntesis histórica de la I.O. 3) Enuncie los pasos que constituyen la Metodología Científica de la Investigación Operativa. 4) Enuncie 5 (Cinco) Aplicaciones Típicas de la Investigación Operativa. 5) Que es la Ingeniería de Sistemas.? 6) Que es un Modelo, clasifíquelos y enuncie los elementos principales que incluye un Modelo Matemático. 7) Que entiende por: Sistema. Variables de decisión. Variables de estado. Parámetros del sistema. Política. Restricciones. Política factible. Espacio de políticas. Espacio de políticas convexo. Objetivo. Función Objetivo 8) Describa los pasos generales para convertir una descripción cualitativa de un problema a una forma matemática. 9) Realice la formulación matemática de un problema genérico de Programación Lineal para 2 (Dos) variables y en donde estén comprometidos la utilización de 3 (Tres) recursos distintos. Identifique sus componentes. 10) 1 Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar cómo embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. 11) 2 Impacto S.A. puede anunciar sus productos en estaciones locales de radio o TV. El presupuesto para publicidad se limita a $10.000 mensuales. Cada minuto de un anuncio en la radio cuesta $15, y cada minuto de comercial en TV cuesta $300. A impacto le gusta usar al menos el doble de publicidad por la radio que por TV. Al mismo tiempo, no es práctico usar más de 400 minutos de anuncios radiofónicos cada mes. La experiencia indica que se estima que la publicidad por TV es 25 veces más efectiva que por la radio. a) Determine la asignación óptima del presupuesto para publicidades por radio y por TV. b) Formule el modelo matemático, F.O, restricciones y recursos. 12) 3 Salvaje Oeste produce dos clases de sombrero vaquero. Un sombrero de la clase 1 requiere el doble de mano de obra que uno de la clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase 2, la empresa podría producir diariamente 400 de eso sombreros. Los limites de mercado respectivos son 150 y 200 sombreros diarios para esas clases. La utilidad es $8 por cada sombrero de la clase 1 y $5 por cada uno de la clase 2. Determine la cantidad de sombreros diarios de cada clase con la que se maximiza la utilidad. a) Determine las variables de decisiones. b) Determine la Función objetivo y las restricciones. c) Formule el modelo. 13) 4 La Cía. Containers Inc. Fabricante de contenedores, acaba de recibir un estudio de una compañía para contenedores rectangulares de seis lados reutilizables hechos de un material de lámina de fibra. E volumen debe ser al menos 12000 cm3. Las restricciones de embarque de estos contenedores requieren que sus dimensiones no exceda de 72 cm y que la mayor dimensión no exceda de 40 cm. La cía. Ya obtuvo una oferta de $8,20 por contenedor. La presidencia de Conteiners Inc. Le ha preguntado a usted si la compañía puede proveer los contenedores por menos y seguir obteniendo una ganancia de 25%. Usted ha obtenido datos que indican que el material de lámina de fibra cuesta $20 por metro cuadrado y que los costos de trabajo y otros costos variables son de $1 el contenedor. Hace una oferta por el contrato? a) Identifique las variables. b) Identifique y asigne un nombre simbólico a cada valor de datos adicional que tendría que obtener para poder formular un modelo matemático. c) Formule un modelo matemático usando los nombres de variables de (a) y los nombres de (b). 14) 5 World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo. La refinería se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina, 900 000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de querosene. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada GASOLINA TURBOSINA QUEROSENE Crudo ligero 0.45 0.18 0.30 Crudo pesado 0.35 0.36 0.20 tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina
U.N.Ju. Facultad de Ingeniería I. O. Trabajo Practico Nº 1: Programación Matemática - Fecha: 06/Abr/11 ALUMNO: CARRERA: L.U. Nº: FIRMA: todas las variables de decisión. Use el esquema para clasificar su modelo. 15) 6 Una planta produce únicamente dos tipos de cerveza: clara y obscura. Existen tecnologías bastantes diferentes para la elaboración de cada uno de los tipos de cerveza, obviamente cada tecnología a un costo diferente. No se sabe cuál debe ser la producción optima semanal de cada producto. El precio al mayoreo de mil litros de cerveza clara es de $ 5.000,00 mientras que el precio al mayoreo de mil litro de cerveza obscura es de $ 3.000,00. El objetivo es el de maximizar los ingresos semanales. Existen restricciones físicas en el sistema real de producción que le impiden al dueño de la planta incrementar arbitrariamente la producción. Entre otras restricciones, se pueden mencionar las siguientes: Restricciones de mano de obra y restricciones de costo de producción. Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1.000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de producción. En cambio, se requieren 5 obreros para producir 1.000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Producir 1.000 litros de cerveza clara le cuestan al dueño de la planta $ 500,00, mientras que 1.000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $ 200,00. Su capital no le permite gastar más de $ 1.000,00 semanales en la producción. Cuales deben ser los niveles de producción semanal de cerveza clara y de cerveza obscura, que maximicen el ingreso por concepto de venta semanal, sin exceder las restricciones de personal y de capital?. a) Identifique las variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. 16) A)Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. a) Identifique las variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (lt) (1 (unidad) Nutricionales porción) Niacina 3,2 4,9 0,8 13 Tiamina 1,12 1,3 0,19 15 Vitamina C 32 0 93 45 Costo 2 0,2 0,25 b) Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distinta procedencia, cada uno de los cuales tienen distintas características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos - cuatro en total - y sus características más importantes: el tanto por ciento de azufre, la densidad y el precio por Tm. medido en ptas.origen % Azufre Densidad Precio Kuwait 0,45 0,91 $ 35.000,00 Arabia 0,4 0,95 $ 31.000,00 Noruega 0,38 0,89 $ 39.000,00 Venezuela 0,41 0,92 $ 34.000,00 Se exige a la mezcla que tenga unas características concretas, que se traducen en un porcentaje del 0.40 % de contenido de azufre y una densidad igual a 0.91. Se desea que el precio de la mezcla sea mínimo. 17) La compañía dispone semanalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total? 18) 7 Dimensión Ltd., hace dos productos, mesas y sillas, que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 horas disponibles; acabado puede manejar hasta 48 horas de trabajo. La fabricación de una mesa requiere 4 horas de ensamble y 2 horas de acabado. Cada silla requiere 2 horas de ensamble y 4 horas de acabado. Si la utilidad es $ 8 por mesa y $ 6 por silla, el problema es determinar la mejor combinación posible de mesas y sillas para producir y vender para obtener la máxima utilidad. a) Identifique las
variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. 19) 8 Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albóndigas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 centavos por Kg.; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 centavos por Kg. Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada Kg. de albóndigas, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?. a) Identifique las variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. 20) 9 Un sistema de riego puede ser cultivado con dos tipos de cultivos. La superficie disponible es de 60 hectáreas; el cultivo 1 requiere dos unidades de agua por unidad de superficie y 60 unidades de capital, el cultivo 2 requiere una unidad de agua por unidad de Toneladas de materia prima por tonelada de pintura Disponibilidad máxima Materia prima Exterior Interior (toneladas) A 1 2 6 B 2 1 8 superficie y 10 unidades de capital. Maximizar el beneficio sabiendo que el cultivo 1 genera 30 unidades monetarias y el cultivo 2 genera 10. Se dispone de 80 unidades de agua y 2100 de capital. a) Identifique las V. de D. b) Identifique la F:O. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. 21) 10 Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue. Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es $3 000 para la pintura de exteriores y $ 2.000 para la pintura de interiores. Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto?. a) Identifique las variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa. 22) 11 Protrac, Inc. Produce dos líneas de maquinarias pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación (EE), se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura (ES), está destinada a la industria maderera. Las dos maquinas son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, la gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir Cuántas maquinas deberán fabricar si la dirección de PROTRAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias (es decir, el margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables)? El margen de contribución unitaria es de $5000 por cada (EE) vendida y $4000 por cada ED. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos de 150hs y 160hs. La fabricación de cada EE requiere 10hs de maquinado en el depto. A y 20hs en el depto. B, mientras que la de cada ES requiere 15hs en el depto. A y 10hs en el depto. B. Las hs. Totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10% inferior a una meta convenida de 150hs. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada EE es sometida a pruebas durante 30hs y cada ES durante 10hs. Dado que el 10% de 150 es 15, las hs destinadas a las pruebas no pueden ser menores que 135. Con el fin de mantener su posición en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política que, deberá construirse cuanto menos una EE por cada tres ES que sean fabricadas. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco EE y ES para el próximo mes. En términos de modelos, la gerencia intenta determinar la mezcla de productos óptima. 23) 12 Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, MATERIA PRIMA MANO DE OBRA como se especifica en la tabla: La división de (libras) (horas) comercialización ha estimado que a lo sumo 1500 compactos pueden venderse a $ 10000 cada uno y que a lo sumo 200 subcompactos Compactos 200 18 Subcompactos 150 20 Costo unitario ($) 10 70 Total disponible 80000 9000 pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. a) Identifique las variables de decisión. b) Identifique la función objetivo. c) Identifique las restricciones. d) Realice la formulación completa.
1 MATHUR, EJERCICIO 2.1: DISTRIBUCION, PAG. 51 2 TAHA, EJERCICIO 2.3B EJ. 4: PL, PAG. 31 3 TAHA, EJERCICIO 2.3B: PL, PAG. 30 4 MATHUR, EJERCICIO 2.25: PL, PAG. 39 5 MATHUR, EJERCICIO 2.7: PL, PAG. 52 6 PRAWDA, LA PROGRAMACIÓN LINEAL, METODOS GRAFICOS: SOLUCION UNICA, PAG. 57. 7 LEVIN, SOLUCION GRAFICA: SOLUCION UNICA, PAG. 314. 8 BRONSON, PROBLEMA 1.1: SOLUCION UNICA, PAG. 2 9 CARPETA DE TRABAJOS PRACTICOS PRH II 1980, PROBLEMA Nº 1, PAG. 3. 10 TAHA, EJEMPLO 2.1-1, PAG. 18 11 EPPEN, PROBLEMA PARTE 2, PAG 70 12 MATHUR, EJERCICIO 2.9: PL, PAG. 53