TEORÍA NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIÓN: Los números complejos son el conjunto de todos los números reales e imaginarios. Surgen de la necesidad de expresar la raíz par de un número negativo. APLICACIÓN: Los números complejos tienen aplicación en matemáticas (Soluciones de ecuaciones polinómicas, Análisis complejo, Fractales, Ecuaciones diferenciales ) y en otras ciencias (Física, Electrónica, Telecomunicaciones ). NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN El conjunto de los números complejos se representa por. Para su notación se emplea la forma binómica, la forma de coordenadas cartesianas, la forma polar, y la forma trigonométrica.. FORMA BINÓMICA, la parte real, es un número real, la parte imaginaria, es un número imaginario, es un número real es la unidad imaginaria, 1 En función de los valores de a y b, encontramos, dentro del conjunto : Números reales Si 0. Números imaginarios Si 0. Números imaginarios puros Si 0 y 0. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Se puede considerar al número complejo un vector,, y representarlo gráficamente sobre un eje cartesiano (ortogonal) con una abscisa real y una ordenada imaginaria. Usando el lenguaje de vectores, empleamos una base 1, y representamos la parte real del número complejo sobre la abscisa (eje OX) y la parte imaginaria sobre la ordenada (eje OY). FORMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Si la forma binómica representa un vector,, el extremo del mismo es el punto P, de coordenadas,. Este punto se denomina afijo del número complejo, y es una forma de representarlo.
FORMA POLAR o MÓDULO-ARGUMENTAL Si el número complejo se considera un vector de posición del punto ;, y por tanto sus coordenadas son,, su expresión en forma polar viene dada por: es el módulo del vector es el ángulo que forma con el eje de abscisas, y se denomina argumento Para obtener las coordenadas polares a partir de la forma binómica:! RECUERDA: El argumento de un número complejo expresado en forma polar no es único, pues es indiferente considerar, ó #$%, ó &'#$%, ADEMÁS: Si 0 ) * Pero sabemos que - 90 ó 270! Y viceversa, Para obtener las coordenadas binómicas a partir de la forma polar: '+, - ',./ - REPRESENTACIÓN GRÁFICA En función del argumento podemos representar los diferentes subconjuntos de los números imaginarios en el plano imaginario. (reales, imaginarios puros, positivos y negativos) ATENCIÓN: Al pasar de la forma binómica a la polar se obtienen dos argumentos menores de 360⁰, ambos indicarán cuadrantes opuestos. Si nos fijamos en los signos de la parte real e imaginaria podremos discriminar entre el ángulo verdadero y el que no lo es. Ejemplo: Sea el número 1, pasarlo a forma polar. Como la parte real y la primer cuadrante. 51 1 2 1 4 1 1 45 + 225 8 2 9: imaginaria son números positivos, el afijo está en el
< REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA Si expresamos la forma binómica en base a funciones trigonométricas y sacamos r factor común, obtenemos la forma trigonométrica del número complejo: '+, -= ) >?@ '@AB ',./ - La forma trigonométrica es muy útil para hacer cálculos con el módulo y el argumento y deducir operaciones en la forma polar. OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA SUMA (o RESTA) Se suma la parte real con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginaria. CDC>CE PROPIEDADES: Asociativa, elemento neutro, elemento opuesto y conmutativa. Gráficamente, la suma de números complejos equivale a la suma de vectores. MULTIPLICACIÓN Se multiplica aplicando la propiedad distributiva, y teniendo en cuenta que, como 1, entonces 1. PROPIEDADES: Conmutativa. ÚTIL: Se puede deducir la siguiente regla: la parte real es el producto de las partes reales menos el producto de las partes imaginarias la parte imaginaria es la suma de los productos cruzados entre la parte real de uno y la parte imaginaria del otro D>EE> ÚTIL: Tanto la suma como el producto de dos números complejos conjugados es un número real DIVISIÓN Para efectuar la división de dos números complejos se elimina la parte imaginaria del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: D >E D>E D D D D POTENCIACIÓN Las sucesivas potencias de la unidad imaginaria,, son: F 1 G 9 1 : H 1 I J 1 * Si interpretamos el resultado en el plano imaginario, vemos que multiplicar por es girarlo 90⁰ respecto al eje de coordenadas.
Para calcular potencias de, en general B, dividimos / entre 4 y el resto,, será 0, 1, 2 o 3. El resultado es K. Ejemplo-demostración: FG 9'G L F 9 G ' F 1 G ' F F Para calcular potencias de, en general B, desarrollamos por el binomio de Newton y operamos. C X Y / 0 ZX[V V CY / 1 ZX[F F Y / 2 ZX[ C\CY / ] ZX[] ] C\CY / / ZX[X X Simplificando el primer y último término X Y / 0 ZX Recuerda: Desarrollo del binomio de Newton X CY / 1 ZX[F F Y / 2 ZX[ C\CY / ] ZX[] ] C\CY / / ZX Y /^Z es un número combinatorio. Solución _ Triángulo de Tartaglia Fila /1, posición m Y /^Z/!/^!/^! Ejemplo-demostración: 23 9 2 9 4'2 G 3 6'2 3 4'23 G 3 9 RAÍCES DE UN POLINOMIO 16 96 216 216 G 81 9 16 96 216 216 81 119 120 Gauss demostró que cualquier ecuación algebraica de coeficientes reales y grado B tiene, en el campo complejo, B raíces. OPERACIONES EN FORMA POLAR Algunas operaciones con números complejos son más sencillas en forma polar que en forma binomial, especialmente el producto, la división y la potenciación (Nos ahorramos el desarrollo del binomio de Newton). Además, su interpretación geométrica es muy intuitiva. SUMA (o RESTA) No conviene hacerla en forma polar, pues ni el módulo ni el argumento del vector suma tienen una expresión sencilla. Es mejor realizarla en la forma binomial. PRODUCTO Operando con las respectivas formas trigonométricas y utilizando las propiedades de estas funciones se obtiene que: 'P Q 'P LQ INTERESANTE: Multiplicar un número complejo R por otro, 1 S, de modulo 1, consiste en girarlo un ángulo T grados: R '1 S RLS Así, multiplicar un número complejo R por, cuya forma polar es 1 UV⁰, consiste en girarlo 90⁰ en el plano imaginario.
DIVISIÓN Análogamente al producto, se puede deducir que: x Y Q xz [Q POTENCIACIÓN Partiendo de: La definición de potencia: multiplicar el número por sí / veces El producto de un número polar por sí mismo: R ' R ' yly Se puede deducir que: B B B' FÓRMULA DE MOIVRE Partiendo de la definición de la potenciación en forma polar obtenemos la relación: t +, -',./ - z B B +, B-',./ B- Esta fórmula es útil en trigonometría para calcular +, B- y,./ B- en función de +, - y,./-. RADICACIÓN Sea u Q un número complejo del cual queremos conocer la raíz enésima,. Por definición: B 5u Q { y X X X'y S Igualando los módulos: X B { u Igualando los argumentos: /'- Tv'360 { Q w'# B B #$% * Recordar que el argumento de un número complejo no es único, puedee tener el valor de un ángulo, y el de ese ángulo mas 360⁰, o más 2 360⁰, o más 3 360⁰, etc. Por ello añadimos el término v'360. IMPORTANTE: Para una raíz enésima de un número complejo habrá B raíces distintas que se obtendrán dando a w los valores 0, 1, 2,, n-1. INTERESANTE: El número real 1 números complejos con módulo 0, es, en forma polar, 1 V⁰. Las raíces enésimas de la unidad son 1 y sus argumentos son: 360 /, 2'360 /, 3'360 /, /1360 / Y gráficamente, los afijos son los vértices de un polígono regular de B lados inscrito en una circunferencia de radio la unidad.