5.2 Introducción * Los números naturales: N Al contar objetos se les asigna números: 1, 2, 3,, pasando de un número a su sucesor. La representación en el sistema decimal de números está hecha de tal forma que siempre se puede obtener el sucesor. Algunos autores fijan el 1 como primer número natural. Para nuestros fines, definimos a los números naturales desde el cero: N = {0, 1, 2, 3, }. En informática como en matemáticas, utilizamos las letras m, n y l como números naturales cualesquiera. Entonces el sucesor del número n se designa como s(n) y se define como s ( n) = n + 1 para cualquier número natural n dado: n N. Los números naturales son muy fáciles de ser generados a partir del cero mediante la aplicación recursiva de la función sucesor. Gráficamente: Numéricamente: 1 s(0) =, 2 = s( s(0) ), 3 s( s( s(0) )) =, Los números naturales forman un conjunto ordenado mediante la relación, definida como: dados dos números naturales m, n, entonces m es menor o igual que n y se escribe m n esto significa que n se obtiene a partir de m mediante la función recursiva n =... s( s( s(0) )) m veces. Dados dos números naturales, su suma siempre es otro número natural. Esto significa que el conjunto de números naturales es cerrado con respecto a la operación suma. En general, cuando una operación entre dos elementos de un conjunto genera un elemento de ese conjunto, se dice que el conjunto es cerrado con respecto a la operación. * Los números enteros: Z Para resolver la ecuación m n = x cuando m n con m y n naturales ( m n N ) el resultado de la resta es un número negativo que no pertenece al conjunto de los números naturales. Entonces, el resultado se encuentra en el conjunto de los números enteros: Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } (se dice que el conjunto de números enteros, tiene estructura de grupo). Los números enteros se generan por medio de dos funciones: sucesor y predecesor. La función sucesor es la definida para los números naturales. La función predecesor se denota como p (n) y se define como p ( n) = n 1 para cualquier número entero n dado: n Z. La relación entre las dos funciones generadoras de números enteros, sucesor p n p s n =. y predecesor, se establece con las ecuaciones: s ( ( )) = n, ( ( )) n 134
Ejemplos: p ( 2) = p( s( s( 0) )) = p(0) = 1 s ( 3) = s( p( p( 0) )) = p( p( 0) ) = 2 p p 3 = p p s s s 0 = p s s 0 = s 0 = ( ()) ( ( ( ( ( ))))) ( ( ( ))) ( ) 1 La estructura de los números enteros en más compleja que la de los naturales, aunque se sigue cumpliendo la propiedad de que todo número entero se puede obtener a partir del cero aplicando recursivamente alguna de las funciones generadoras (sucesor y predecesor). Gráficamente: El producto de dos enteros, n y m se escribe n m o n* m, es un entero. Se dice que el conjunto de los números enteros es un anillo por cumplir esta propiedad con respecto a las operaciones de suma y resta de dos enteros producen un entero. * Los números racionales: Q La solución de la ecuación m = nx, n 0, en los casos en que m no es múltiplo de n, no es un entero, sino un cociente de enteros que se llama número m racional: Q = m, n R n 0. n Un número racional puede ser expresado en forma decimal: 1 = 0.33333.... 3 Los dígitos de la parte decimal puede ser un número finito como 1 = 0. 5, o que se 2 repita periódicamente los valores de los dígitos como: 1 = 0.142857142857142857... la razón de la repetición periódica es que el residuo se 7 6 9 repite. Un número entero puede ser representado por una fracción 3 = = =... 2 3 por lo que los números enteros pertenecen al conjunto de los números racionales. Todo número racional tiene una representación con denominador positivo m m ya que =. n n El conjunto racional Q es denso. Esto significa que para cualquier par de números racionales q 1, q2 q1 < q2 siempre existe otro número racional q que se encuentra entre q 1 y q 2 : q 1 < q < q2. 135
Los números racionales tienen estructura de cuerpo con respecto a la suma y el producto. * Los números reales: R No todos los números son enteros o racionales. Existen números que no se m pueden representar mediante un cociente, n 0 o como un entero. A estos n números se les llama irracionales. Un ejemplo es 2, ya que no existe una representación racional exacta pero existen algoritmos que permiten aproximar su valor mediante cálculos recursivos de decimales sucesivos. Los números π y e son números irracionales. Cuando al conjunto de los números racionales (enteros y fraccionales) se le unen los números irracionales, se tiene el conjunto de los números reales: R = { x x reales}. Los números reales también tienen estructura de cuerpo con respecto a las operaciones suma y producto. * Los números complejos: C No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución en el conjunto de los 2 reales. Así, x + 1 = 0 no tiene solución real porque no existe algún número real que elevado al cuadrado sea 1. Para encontrar una solución de esta ecuación, se define un número imaginario i i = 1. Entonces la solución de la ecuación cuadrática estará compuesta de un número imaginario y un número real, de la forma: a + bi donde a y b son número reales. A los números compuesto de una parte real y una parte imaginaria se les llama números complejos. Estos números se representan en un plano llamado plano complejo. Los números complejos tienen estructura de cuerpo con respecto a las operaciones suma y producto. [Hortalá, 13 a 19] Álgebra Moderna: Teoría de grupos El álgebra moderna es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas como la de grupo, anillo y cuerpo (también llamada campo). El término álgebra moderna es utilizado para distinguir este estudio del álgebra elemental (el álgebra elemental define las reglas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas de los números reales y complejos). Las estructuras algebraicas han surgido en diferentes áreas distintas al álgebra en donde para representar modelos ha sido necesario definir conjuntos de elementos que contengan operaciones y reglas propias de esos elementos. Entonces, cuando tenemos elementos con operaciones establecidas solo para ellos y que cumplan ciertos comportamientos, se tiene una estructura algebraica enmarcada en un conjunto. Estos conjuntos pueden ser del tipo grupo, anillo o cuerpo. 136
Para una mejor comprensión de una estructura algebraica me permito hacer la siguiente comparación: Kevlar, un material avanzado0f10 Actualmente los polímeros tienen aplicaciones muy avanzadas; un ejemplo, el nylon. El nylon originalmente se utilizó como fibra, actualmente se utiliza en la fabricación de cojinetes, aislantes, sedal para pescar y cuerdas para neumáticos. Estas aplicaciones extendidas del nylon y otros polímeros han aumentado la demanda por nuevas fibras con la resistencia al calor del asbesto, la rigidez del vidrio y resistencia mayor que la del acero. Una nueva sustancia que posee muchas de estas propiedades se llama Kevlar y tiene la estructura química: 5 La masa molecular media de cada cadena polimérica es de 10 unidades de masa. El Kevler debe sus propiedades tan especiales a la forma en que interactúan las moléculas del polímero: Las cadenas individuales están unidas por puentes de hidrógeno a las cadenas adyacentes. Esta red de puentes de hidrógeno hace que las moléculas se alineen y formen una estructura de lámina. El Kevlar tiene muchas propiedades excepcionales debido a los fuertes enlaces en las cadenas de polímero individuales, la fuerte red de puentes de hidrógeno en las láminas y la disposición regular de las láminas en las fibras. 10 Brown, Theodore L; Química, La ciencia centra; PEARSON, 3ª ed; México, 1998. pp. 434 137
Entonces, el conjunto de moléculas, los puentes de hidrógeno y las propiedades de las moléculas forman una estructura química. Si definimos a las moléculas: como un conjunto de elementos, los puentes de hidrógeno como las operaciones y las propiedades de resistencia como las propiedades del conjunto, estamos definiendo una estructura algebraica: { M,, } en donde M es el conjunto de elementos (las moléculas), es la operación (los puentes de hidrógeno) y son las propiedades del conjunto (propiedades de resistencia de las moléculas)1f11. Otro ejemplo2f12 : Las instrucciones básicas de la máquina de un computador digital son muy primitivas comparadas con las operaciones complejas que deben efectuarse en diversas disciplinas como la ingeniería y las matemáticas. Aunque un procedimiento complejo se puede programar en lenguaje de máquina (por ejemplo lenguaje ensamblador), es deseable usar un lenguaje de alto nivel que contenga instrucciones similares a las referidas en una aplicación especial como el lenguaje JAVA que fue creado para desarrollo de aplicaciones en WEB. Los lenguajes de programación de alto nivel evitan programas extensos en líneas de código de la programación en el lenguaje de máquina, pero presentan el problema de que se debe convertir a un lenguaje objeto, esto es, se debe de tener un programa (compilador) que convierta el lenguaje de alto nivel a un lenguaje de máquina. También, los lenguajes de programación deben de definirse con presición. Algunas veces es la existencia de un compilador en particular lo que por último proporciona la definición precisa de un lenguaje. La especificación de un lenguaje de programación incluye en su definición: El conjunto de símbolos (o alfabeto) que se puede usar para construir programas con sintaxis computacional correcta. El conjunto de todas las instrucciones correctas El significado de todas las instrucciones correctas. Un lenguaje de alto nivel, un lenguaje de máquina se puede considerar una estructura del tipo algebraica en donde los símbolos comprenden el conjunto, las instrucciones son las operaciones permitidas sobre los símbolos y el significado de las instrucciones son las propiedades de los símbolos. 11 Ejemplo cortesía de María González Cerezo 12 Tremblay, Jean-Paul, Ram Manohar; Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación; CECSA, 1ª ED; México, 1996; pp. 291. 138
En relación al álgebra moderna: Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación son: Semigrupos, monoides y grupos. Otros ejemplos más complejos: Anillos y cuerpos, módulos y espacios vectoriales, álgebras asociativas y álgebras de Lie y látices y álgebra de Boole. Las operaciones que se pueden efectuar en las estructuras algebraicas son del tipo operación binaria. Una operación binaria es aquella en donde intervienen dos elementos de un conjunto. Se representa por cualquier símbolo: a b, en donde es la operación definida para los elementos a y b. Estructuras algebraicas Una serie de objetos con la definición de las operaciones que se realizan con éstos y las propiedades que las acompañan, forma una estructura matemática o un sistema matemático. Ejemplos: La colección de conjuntos con las operaciones de unión, intersección y complemento, y las propiedades relacionadas, es una estructura matemática discreta: E = { elementos,,, }. La colección de las matrices 3x3 con las operaciones de adición, multiplicación y transpuesta es una estructura matemática: T E = M,*, M { }, 3 x3 + Una propiedad importante de estas estructuras es la cerradura. Una estructura es cerrada con respecto a una operación si esa operación produce siempre un elemento que pertenece a la colección de objetos definida en la estructura. [Kolman, 39]. Las propiedades del elemento neutro para la suma y la multiplicación son: a + 0 = a a *1 = a El uno y el cero son elementos distinguidos porque cumplen estas propiedades. Los conjuntos de los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), reales (R) y complejos (C), junto con las operaciones de suma (+) y producto (*) y los elementos distinguidos (1 y 0) son estructuras algebraicas definidas: N = { N,+,*,0,1}, Z = { Z,+,*,0,1 }, Q = { Q,+,*,0,1 }, R = { R,+,*,0,1 } y C = { C,+,*,0,1 }. Si además cumple la relación de orden (como ocurre en todos los conjuntos excepto en el de complejos), entonces se le llama estructura algebraica ordenada: = N,+,*,0,1 = Z,+,*,0,1 = Q,+,*,0,1 R = R,+,*,0,1 N { }, Z { }, Q { }, { } 139
Cuerpos (campos) Un cuerpo es una estructura algebraica K = { K,+,*,0,1} sobre cuyo dominio ( K ) están definidas dos operaciones binarias ( +,*) y dos elementos (0 y 1) de tal modo que cumplen las siguientes propiedades: a + b = b + a a. Conmutativa: ( a b) K a * b = b * a b. Asociativa: ( a b c) K a + ( b + c) = ( a + b) + ( b * c) ( a * b) * c a * = c c. Elementos neutros con respecto a a para +,*: 0 1 a a a + 0 = a a *1 = a d. Elementos recíprocos (inverso aditivo e inverso multiplicativo) de x con respecto a a para +,*: a a a + ( a) = 0 a 1 a a * a 1 = 1 e. Distributiva del producto respecto a la suma: a b c a * b + c = a * b + a * c f. No trivialidad: 0 1 ( ) K ( ) ( ) ( ) Ejemplos: Q = { Q,+,*,0,1}, R = { R,+,*,0,1} y C = { C,+,*,0,1} son cuerpos Z = { Z,+,*,0,1 } no es cuerpo porque todos los elementos de los enteros, excepto el 1, no tienen inverso. N = { N,+,*,0,1} tampoco es cuerpo porque además de no tener inverso tampoco tiene opuesto (a excepción del cero), (opuesto= inverso aditivo). 140
Anillos La estructura = { A,+,*,0} a. Conmutativa: ( ) K b. Asociativa: ( a b c) K A es un anillo si cumple las propiedades: a + b = b + a a b a * b = b * a a + ( b + c) = ( a + b) + ( b * c) ( a * b) * c a * = c. Elementos neutros con respecto a a para +,*: c 0 1 d. Elementos recíprocos de x con respecto a a para +,*: a a a + ( a) = 0 a a 1 1 a a a * a = a1 e. Distributiva del producto respecto a la suma: ( a b c) K a * b + c = a * b + a * c Ejemplo: Z = { Z,+,*,0} es un anillo Q = Q,+,*,0 es un anillo. { } ( ) ( ) ( ) a + 0 = a a *1 = a Grupos La estructura de grupo es más general que la de cuerpo y la de anillo. Los cuerpos y los anillos contienen dos operaciones sobre los conjuntos, los grupos solo contienen una operación: G = { G,, e}, donde representa la operación binaria y e es el elemento neutro del conjunto que hace que a e = a. La estructura G = { G,, e} es un grupo si cumple: a. Asociativa: a ( b c) = ( a b) c b. Neutro: a e = a c. Recíproco: a a 1 = e Subgrupos G = G,, e y un subconjunto G S = S,, e. Dado un grupo { } S se dice que { } Semigrupos Una estructura S = { S, } es un semigrupo porque tiene definida solo una operación que cumple la propiedad asociativa. Monoide Una estructura M = { M,, e} es un monoide porque tiene definida solo una operación que cumple la propiedad asociativa con el elemento neutro. 141
Látices o retículas: Una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto { a, b} de este, (el subconjunto consta de dos elementos), tiene una mínima cota superior ( mcs ({ a, b} )) y una máxima cota inferior ( MCI ({ a, b} )). Ejemplo: D x x N x es un divisor 20 D 1, 2, 4,5,10, 20 y se Sea { } =. Entonces { } 20 de cumple que para cualquier {, b} D20 a + b = mcs( { a, b} ) es el mínimo común múltiplo. Si { 1, 2} D 20 a + b = 2 a * b = MCI ({ a, b} ) es el máximo común divisor. Si { 1, 2} D 20 a * b = 1 a : 20 = Propiedades de las látices Leyes de las látices a a + b a + a = a 1. 1. Idempotencia: b a + b a * a = a 2. ( a c) ( b c) a + b c a + b = b + a 2. Conmutativa: a * b = b * a 3. ab a ab b 3. Asociativa: a + b + c = a + b + c 4. ( c a) ( c b) c ab a + b = b a b 5. ab = a a b ( ) ( ) ( b * c) ( a * b) * c a * = 4. Absorción: a + a * b = a a * ( a + b) = a 142
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Actividades de Estructuras algebraicas Creación, diseño y puesta en función Diseña una estructura algebraica (conjunto de símbolos o elementos, propiedades de los símbolos o elementos y operaciones permitidas con los elementos) para modelar: La conversión de un número decimal a un número binario La definición de un lenguaje que convierta las operaciones de resta y división en suma y multiplicación respectivamente. Un programa que ejecute la operación de multiplicación como sumas. El movimiento del brazo de un robot diseñado para mover un objeto de un lugar a otro. 144
Actividades de Creación, diseño y puesta en función Solución Diseña una estructura algebraica (conjunto de símbolos o elementos, propiedades de los símbolos o elementos y operaciones permitidas con los elementos) para modelar: La conversión de un número decimal a un número binario Diseño: Para convertir un número decimal en binario se requiere: o Dividir el número entre dos o Acomodar el residuo en una posición Los números que se van a convertir son enteros positivos: N el conjunto de los números naturales. No se requiere alguna propiedad. 145
La definición de un lenguaje que convierta las operaciones de resta y división en suma y multiplicación respectivamente. Diseño: Para convertir de resta a suma y de división a multiplicación se requiere: o Preguntar si es resta o división o Si es resta hacer la operación: a + ( b) o Si es división hacer la operación: a * 1 b Las operaciones se efectúan a cualquier par de números reales Las propiedad que deben de cumplir son inverso aditivo e inverso multiplicativo. 146
Un programa que ejecute la operación de multiplicación como sumas. Diseño: Para convertir una multiplicación c = ab en una suma c = a + a + a + a + a... b veces se define que a y b son números enteros positivos La operación que se efectúa es una suma y un contador de veces No se requiere alguna propiedad. 147
El movimiento del brazo de un robot diseñado para mover un objeto de un lugar a otro. Diseño: Un brazo debe de moverse con un grado de inclinación θ donde: θ Un brazo efectúa las operaciones de: movimiento, tomar un objeto, soltar un objeto. Las características de las operaciones son: 0 0 o Movimiento: el ángulo de rotación está en [0, 360 ] o Un objeto se sujeta con los 5 dedos o Un objeto no se suelta hasta que el brazo calcule que el objeto está a una distancia aceptable de la superficie para no dejarlo caer 148