Relación de probleas: Tea.- Una barra ríida de de lonitud, cuyo peso es despreciable, está sostenida horizontalente en sus extreos por dos hilos erticales de la isa lonitud; uno de ellos es de acero y el otro de cobre, siendo sus secciones rectas de y respectiaente. En qué punto de la barra ha de suspenderse un peso W para producir: a iual esfuerzo en abos hilos? b iual deforación unitaria en abos hilos? acero cobre E E 0.0 0 E E.8 0 l l acero cobre s s N 0 N 0 x?/ a σ σ l l b ε ε l l l Fl a σl E εl E l s F F F s σ σ s s F s F Fx F D x b ε F D x x l l ε l l l l l l D x D D x +.5 x x x.5 x 66.7c.5 σ F s F s F s F Es Es D x Es ε E E E E F Es Es x Es 0 x + x 56.c.8 x + D
.-Un cilindro ertical, de 0 c de diáetro, contiene aua, sobre cuya superficie descansa un ébolo perfectaente ajustado al cilindro y atraesado por un tubo abierto por sus dos extreos, de c de diáetro. El peso del ébolo, con el tubo, es de 0 k. Hasta que altura h por encia de la base inferior del ébolo subirá el aua por el interior del tubo? M 0k R 5c r 0.5c M PB Pat + Pat + S π A B ( R r ( R r ( B P P Z Z M h π π h 4.6c π h 4.6c A M ( R r.-una bola de acero de radio R se deja caer en un depósito de licerina. a Con qué elocidad se uee cuando su aceleración es la itad de la de un cuerpo que cae libreente? b Cuál es la elocidad líite que adquiere en la caída? Datos: Densidad del acero o 8.5 /c Densidad de la licerina. /c Viscosidad de la licerina η8.7 P a a / F a 6πηR V a + V V 6πηR 6πηR 4 5.5 0 V πr 4.8 0 c 0.77 0 c / s
b F 0 6πηR V 0 V 6πηR.89 0 / c s 4.-La lluia deja trazas en la entana lateral del autoóil de 60º de inclinación respecto a la horizontal. a Si el autoóil tiene una elocidad de 60 k/h y no hay iento, cuál es la elocidad de las otas de lluia? b Supuestas esféricas y que han alcanzado la elocidad líite, cuál es su radio? c Cuánto ale la sobrepresión debida a la tensión superficial? Datos: Viscosidad del aire: η 0.00 Ns/ Tensión superficial del aua: σ 7 0 - N/ a ct ct c cos60 c cos60 sin 60 t 60 0.8 k / h t c ct t 8.8 / s b Si despreciaos la densidad del aire o frente a la del aua : ( 0 L R R 9 η 9 η 0 0 R 9 ηl 9 η R L R 0.c
c σ P (Ley de Laplace R σ 7 0 P 4.75Pa 0. 0 0. 0 5.- Cuál deberá ser la superficie de un bloque de hielo ( hielo 0.9 /c, de 5c de espesor, que flota en aua ( aua /c, para que pueda soportar coo áxio el peso de una persona de 80 k sin hundirse? F E P4.75 Pa ( Hielo + Hobre Phielo + Phobre FE 0 hielo + hobre hs aua 0 hs ( hielo aua hielo hielovhielo hielohs hobre S h ( aua hielo hobre S 4. 4
6.-Un bloque cilíndrico de adera de radio c y altura 0 c, flota erticalente entre dos capas, una de aceite y otra de aua, estando su cara inferior c por debajo de la superficie de separación. La densidad del aceite es 0.6 /c. a Cuál es la asa del bloque? b Cuál es la presión anoétrica en la cara inferior del bloque? R c h 0c aceite ac 0.6 c a b? b b Vb Peso Epuje hidrostático V + V b HO HO ac ac ( π ( π b c 0.6 8 c c + c b 85.5 b P (cara inferior h + h ac ac HO HO 0.6 980 + 980 906Din c o bien: P (cara inferior achac + bhb 85.5 0.6 980 4 + 980 0 906Din 0 c π 5
P (cara inferior 906 Din c 7.- Para deterinar la densidad de un aterial insoluble en aua, se toa una uestra del iso cuya asa es de 50. Sobre el plato de una balanza de resorte se coloca un aso de laboratorio que contiene aua; en estas circunstancias la balanza reistra 70. A continuación, se introduce la uestra de ineral en el aua, colada de un hilo liero, de odo que no toque ni con las paredes ni con el fondo del aso y que quede totalente suerido; en estas condiciones la balanza reistra 775. a Calcular la densidad del aterial. b Calcular la tensión del hilo. a 50 N 0.70 7.056N N 0.775 7.595N P N 0 P N 7.056N N P F 0 E FE N N N N Vineral FE auavineral aua.7 c ineral aua ineral Vineral N N ineral.7 c b T FE 0 T F E T 0.9N 6
8.-Un paralelepípedo rectanular de aluinio, cuyas diensiones son 0 c x 6 c x c, está soetido a fuerzas norales tensoras de 500 k y 00 k sobre sus caras de 0x6 c y 0x c, respectiaente, y copresoras de 00 k sobre las caras de 6x c. a Calcule las deforaciones unitarias que experientan sus aristas, así coo el cabio en el oluen del cuerpo. b Cuál es la densidad de enería elástica alacenada en el cuerpo? V ( 0 6 c E µ Alu inio Alu inio 7. 0 0.4 N 0 a ε xx, ε yy, ε zz?, V? εxx ( σ xx µ σ yy µ σzz E 00 9.8N 5 σxx 4.5 0 N / 4 6. 0 00 9.8N 5 σyy + 9.8 0 N / 4 0 0 500 9.8N σzz + 8.67 0 N / 4 0 6 0 5 5 0 5 εxx 0 ( 4.5 0.4 9.8 0.4 8.67 4. 0 7. 0 5 0 5 ε 0 ( 0.4 4.5 9.8 0.4 8.67 xx -4. 0-5 εyy + +.6 0 7. 0 ε yy.6 0-5 5 ε 0 zz.85 0-5 5 εzz 0 ( + 0.4 4.5 0.4 9.8 + 8.67.85 0 7. 0 V εxx + εyy + εzz 0. 0 V 0. 0 0 6 c V.6 0 c V 5 5 4 7
b Eel 5 5 ( 4.5 4. 9.8.6 8.67.85 0 0 u σxxεxx + σyyεyy + σzzεzz + + V u 70.94J 9.- Un tubo en U contiene ercurio. Se ierte aua en una de las raas y en la otra alcohol hasta que sus superficies están al iso niel. La lonitud de la coluna de aua es 0.5 c y la del alcohol 0 c. a Hállese la densidad del alcohol. b Añadiendo o quitando alcohol se consiue que las dos superficies de ercurio estén al iso niel; cuánto ale entonces la altura de la coluna de alcohol? Dato: (H.6 /c P A P B P P + B A at at aua alc h P P + h + H ( 0.5 Al iualar las dos expresiones podeos despejar la densidad del alcohol: alc 0.5aua 0.5 0 H alc 0.79 c 8
b alc aua h auah h h alc h 8.6 c 0.-Si la densidad del acero es de 7.9 /c y la tensión superficial del aua a 0ºC es de 75.6 dyn/c, cuál será el diáetro que debe de poseer una esfera de acero para flotar en el aua con exactaente la itad de su oluen suerido? En equilibrio: PE+F tensión V V V acv aua + σl aua + σ πr aua + σπd 4 d 4 d acero π aua π + σπd 6 d acero aua σ 6 d σ ( acero aua d.5 9
.- Un tubo capilar está suerido en aua, con su extreo inferior a 0 c por debajo de la superficie de la isa. El aua se elea en el tubo hasta una altura de 4 c por encia de la superficie, y el ánulo de contacto es cero. Qué presión anoétrica se requiere para forar una burbuja seiesférica en el extreo inferior del tubo? Superficie circular con el iso radio r que el tubo capilar. θ0 (ánulo de contacto0 cos θ γ cosθ γ cosθ y R R y γ Pint Pext R P P + h ext at γ Pint Pat h R γ γ Pint Pat Pf + h + h R γ cosθ y P P f f y + h y + h cosθ 980c ( 4 + 0 c 70din c s c P f 7N 0
.-Un depósito abierto, de randes diensiones y paredes erticales, contiene aua hasta una altura H por encia de su fondo. Se practica un orificio en la pared del depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre del aua. El chorro de aua sale horizontalente y, tras describir una trayectoria parabólica llea al suelo a una distancia x del pie del depósito. a Cuál será el alor de x? b Será posible abrir un seundo orificio, a distinta profundidad, de odo que el chorro que sala de él tena el iso alcance que antes? En caso afiratio, a qué profundidad? c A qué profundidad se debe perforar un tercer orificio para que el alcance del chorro sea áxio? Cuál será el alcance áxio? h (Ec. de Torricelli x xt Tiro parabólico y h t Si y 0 h t t ( H h h x h h H h ( x h H h x h y t ( H h
Análoaente para el punto : H h x h H h 4( hh h H ( H h Si x x h H h h H h h hh + hh h 0 H H h ± ± Solución álida: h h La otra solución coincide con la situación del apartado a. c x h H h dx xax 0 dh dx H h 0 H h 0 h dh h H h ( H x ax ax H H H x H.-Una corriente de aua circula por una tubería de sección circular que se une con otra de diáetro itad, situadas de odo que el conjunto fora un ánulo de 0º con la horizontal. Un anóetro colocado entre dos puntos situados antes y después de la unión de los dos tubos indica una diferencia de presión entre abos de 0 c de H. Qué diferencia de elocidad presenta el aua entre dichos puntos?
Puesto que del caudal: d d S 4 S, 4 por conseración De la ecuación de Bernuilli deducios: ( P P + h h + 0 ( P P + ( h h 5 ( P P + ( h h En esta ecuación todos los datos son conocidos deduciéndose: 00 H 0.5 at 8.94 Pa h h Dsin0 0.5 5 8.94 + 9.8 0 6.6578+ 9.6 0.68 / s.7 / s.05 / s 4.-Un líquido que fluye por un aujero practicado en la base de un depósito, produce un chorro ertical con una fora bien definida. Para obtener la ecuación de esta fora, supona que el líquido está en caída libre una ez que sale del tubo. Considere que al salir, el líquido tiene una elocidad o, y el radio del chorro es r o. En función de la distancia (y que ha caído el líquido desde su salida del tubo, obtena una expresión para: a La elocidad del líquido. b El radio r del chorro. Si fluye aua de un tubo ertical con una elocidad de salida.0 /s, c A qué distancia bajo la salida se habrá reducida a la itad el radio oriinal del chorro? a P0 + 0 + h0 P + + h P P P 0 h h y 0 at + y + y 0 0
b A A πr πr 0 0 0 0 r r r r 0 0 4 ( 0 + y 0 0 4 0 + y c 4 0 0 0 5 0 r0 y 0 + y 0 + y r 6 y.0 5.-Un aparato típico para hacer deostraciones acerca de la pérdida de cara a lo laro de un tubo está constituido por un depósito de randes diensiones que desaua a la atósfera a traés de un tubo horizontal de lonitud L y sección constante de 8 de diáetro interno. La entrada al tubo tiene los bordes redondeados de odo que pueden despreciarse las pérdidas de cara enores. A lo laro del tubo, se han dispuesto dos tubos anoétricos erticales. En el instante en el que el niel del aua está a 5 c por encia del tubo, los anóetros indican 9 y 4 c respectiaente. a Cuál es la lonitud del tubo? b En ese instante, cuál es su caudal? 4
a P cte L P P P P L L4 P P + h P P + h P P 4 at at 4 a P P h h y L L L P P h h h h h 4 4 9. 4 y L c h h 9 4 L 4c + 4c + 9.c 67.c L 67.c b P P + + h h H P P + H P P H P P H 4 4 H H H4 ( P P H + H + ( P P + h + h h 9 8 0.5+ 0.4 0.9 0.44s C S 0.44 π 0.44s C 0.004l s 0.00 6.4 0 s 0.004 l s 5
6.-Para edir el caudal de aua que circula por una tubería, se intercala en ésta un enturíetro cuyos diáetros en el trao principal y en el estrechaiento son 5 c y c, respectiaente. La diferencia de presión entre el trao principal y el estrechaiento resulta ser de 0.5 at. Cuál es el caudal? DA DA DC 5c SA SC π 9.6c 4 DB DB c SB π 0.79c 4 P P 0.5at 545.48N A B PA + ha + A PB + hb + B PA PB ( B A S S S S S S A SA B SB B S A ( PA PB SB 0.4s A A Q 0.67l ( SA SB A A B PA PB A A A B B A B Q S s l 4 4 0.4 9.6 0 6.67 0 0.67 7.- Suponiendo que parten del reposo, calcule la aceleración inicial y la elocidad líite de: a Una burbuja de aire en aua. b Una ota de aua en aire. c Una popa de aua jabonosa, con el 0.% de su oluen ocupado por el líquido, en aire. 6
El radio es R en los tres casos. Supona que las densidades del aire dentro de la popa y del aua jabonosa son iuales, respectiaente, a las del aire y del aua. Datos: densidad del aua /c, densidad del aire./d, iscosidad del aua0 - DP, iscosidad del aire8 0-6 DP R 0.c E V P ev e F 6π rη η η li densidad del edio densidad de la esfera F 0 iscosidad del edio 4 6π rηli πr ( e li 9 r ( e η a Burbuja de aire en aua: aua. 0 e aire aua 0 P E a inicial η η 0 DP 0 c ev V eva a c P e : a a 856.9 s a < 0. 0 la burbuja de aire sube 0. 980. 0 9 0 li 7.5c s li.75s 7
b Gota de aua en aire: η η 8 0 DP 8 0 aire c e aua. 0 aire 6 5 c P. 0 a a 9.788 s a > 0 la ota de aua baja 0. 980. 0 9 8 0 li 5 084.c s li 0.84s c Popa jabonosa en aire: η ηaire 8 0 DP 8 0. 0 c aire 6 5 P V jabón 0.% V popa 4 4 π ( r ri 0 πr r 0 0.999 0.9997 r i r ri r r i Vi aire + Vliq aua ri ri e aire V + popa r r aua e 0.999. 0 + 0.999.988 0 c. 0 c. 0 a a 4.45 s a > 0.988 0 la popa jabonosa baja 8
(.988 0 0. 980. 0 9 8 0 li 5.084c s li 0.08s 8.-Deterinar la fuerza total que actúa sobre la presa y la situación de la línea de acción de dicha fuerza respecto de la parte inferior de la isa. La anchura de la presa es de 0. a P h df Lhdh LH F df F 650N b H dm H h df H H LH H M ( H h Lhdh L 0 LH H H M Fd d.67 d.67 9
9.-Un depósito cerrado, cilíndrico y de eje ertical, de 400 c de base, contiene aua y, por encia de esta, aire a presión anoétrica de at. Se abre un orificio, cuya área es de c, a una profundidad de.5 por debajo de la superficie libre del aua. a Calcular la elocidad de salida del aua. b Calcular la fuerza de reacción que produce el chorro sobre el resto del sistea. a P Pat at S S S S P + h + P + h + S at + + S P P h S P Pat + h S P Pat + h P Pat + h S S 5.5 s b dp d F dt dt F S S d S dt dt dt F 6.74N P Pat + h 0
0.-Un depósito derraa líquido (00 k/ por un orificio uy estrecho practicado en la base de una de sus paredes laterales. a Si la altura del líquido es de, y se desprecia la iscosidad, hallar la elocidad de salida por el orificio. b Se conecta un tubo recto y horizontal en el orificio. El líquido derraa ahora por el tubo en réien lainar y iscoso, por lo que la elocidad de salida es la itad de la anterior. Hallar la enería disipada en el tubo por k de líquido que circula, y la diferencia de presión entre los extreos del tubo ( pérdida de cara en el iso. c Si el tubo es recto de de lonitud, y de sección circular de de radio, calcular el coeficiente de iscosidad del líquido. a b P P P at 0 P P + + Z + + Z ( Z Z h h 6.6s 6.6s (Ver nota f i ( i es del apartado anterior Ec f i La enería disipada por k será: Ec f i f i 4.69J k H 8 H pérdidas de cara enería/asa H e e 4.69J k Pi Pf f f He 8 Pi Pf 764.4 Pa la presiónp f es ayor quep i i i i e
c r. / s C S ( πr ( P P πr P P C η 8ηL 8CL 4 4 Ns η 0.87 0 0.87 0 DP Nota apartado b: P P + + Z + + Z + H 0 He ( Z Z Pero del apartado anterior: ( Z Z He a a 8 P P H a En el tubo horizontal: por continuidad P P H e e a e Al conectar el tubo la presión en a ya no es la isa sino que P a es ayor que la atosférica.