Tema I. Matrices y determinantes

Tema I. Matrices y determinantes 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Matrices sobre un cuerpo 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo de determinantes 6. Inversa de una matriz cuadrada 7. Rango de una matriz 1. Matrices sobre un cuerpo Definición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto de mn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas, a a a a a a a a A a a a a a a a a 11 12 13 1n 21 22 23 2n 31 32 33 3n m1 m2 m3 mn

A (a ij ), i1, 2,..., m; a ij ŒK j1, 2,..., n. Matrices 2 El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa a ij, 2. Producto por escalares M mxn (K): Conjunto de todas las matrices sobre K de m filas y n columnas. Ej. 1 2 π 1 M 3 2( R) 1 2 2

Matriz Fila: A ŒM 1 xn(k) Matrices 3 ( π ) M13 A 1 1 ( R) Matriz Columna: AŒM m x1(k) 1 A 3 M 31 ( R) 2 Matriz cuadrada de orden n: AŒM nxn (K). Tiene el mismo número de filas que de columnas Diagonal Principal de A la forman los elementos de la forma a ii (iguales subíndices)

Matrices 4 Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal. Matriz cuadrada unidad I n :(o Identidad) Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: a ii 1; a ij 0, iπj Matriz triangular Una matriz cuadrada A (a ij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien por debajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, a ij 0 para todo i < j o bien a ij 0 para todo i >j

Matrices 5 Dos matrices, A,B ŒM mxn (K)son iguales cuando a ij b ij, i1,..., m, j1,...,n Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej. 1 2 1 A 2 4 3 M3( R) 0 1 0 1 2 B 2 4 M ( R) 0 1 Una submatriz de A es 3 2 2. Operaciones con matrices 1. Suma Sean A,B ŒM mxn (K). A ( a ij ), B ( b ij ) A+B ( c ij ) ŒM mxn (K) con cada c ij a ij +b ij i1,..., m, j1,...,n Ej. 1 1 0 0 0 1 A, 23( ) 2 1 0 B M 2 1 1 R 1 1 1 A+ B M23 ( ) 4 2 1 R

(M mxn (K), +): Grupo Abeliano Matrices 6 El elemento neutro La opuesta de A: 0 0 i 1,.., m j 1,.., n 0 (0) a 0 0 a 11 1n A ( aij ) i 1,.., m j 1,.., n am 1 a mn 2. Producto por escalares λœk, A ŒM mxn (K) ( ) ( ) ij ij λ λ λ A a i 1,.., m a i 1,.., m λa11 λa1 n λam 1 λa mn j 1,.., n j 1,.., n Ejemplo (M mxn (K), +, ): Espacio vectorial sobre K

3. Producto de matrices Matrices 7 A B: nº de Columnas de A nº Filas de B AŒM mxn, BŒM nxp, se define la matriz producto C A B (c ij ), ŒM mxp c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j +... + a in b nj k n aik k 1 b kj Ejemplo

Matrices 8 Propiedades Asociativa A(BC)(AB)C Distributiva resp.de la suma A(B+C)AB+AC (A+B)CAC+BC λ (AB)(λ A)BA(λ B) (M n (K), +, ): Anillo unitario Unidad del anillo: I n : A I n I n AA El producto de matrices no es conmutativo: 4. Matriz traspuesta Dada A ( a ij ) ŒM mxn (K), la matriz Traspuesta de A, A t (b ij ) ŒM nxm (K), b ij a ji, i1,..,n; ji,..,m

Matrices 9 Propiedades Sean A, BŒM mxn (K),C ŒM nxp (K). (A+B) t A t +B t (AC) t C t A t (A t ) t A (λa) t λ(a) t Una matriz cuadrada es simétrica si A A t, (a ij a ji para todos i, j) Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.

Matrices 10 Una matriz cuadrada es antisimétrica si A -A t, (a ij -a ji para todos i, j) Los elementos de la diagonal principal son nulos 0 1 2 0 1 2 t A 1 0 1, A 1 0 1 2 1 0 2 1 0 A -A t : A Antisimétrica Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica: aij + aji aij aji A(a ij ), aij + 2 2 bij + cij aji + aij La matriz ( bi j) es simetrica : bji bij y 2 aji aij la matriz ( c ) es antisimetrica : c c 2 ij ji ij Luego, (a ij )(b ij )+(c ij )

Matrices 11 3. Determinante de una matriz cuadrada Sea A ŒM n (K), el determinante de A, es un elemento de K dado por la aplicación: det : M n( K) K A det( A) A : sg( σ ) a a an n σ Sn 1 σ(1) 2 σ(2) σ( ) En det(a) aparecen n! sumandos Determinantes de orden dos n 2 S A a a 11 12 a21 a 22 σ, σ { } 2 1 2 1 2 σ1 2 ( 1) 1 1 2 i sg σ + 1 2 σ 2 (1 2) sg( σ 2) 1 2 1 S 2, car(s 2 )2!2

A sg( σ ) a a σ S 2 1 σ(1) 2 σ(2) sg( σ1) a1 σ1(1) a2 σ1(2) + sg( σ2) a1 σ2(1) a2 σ2(2) σ σ σ σ 1 2 Matrices 12 ( + 1) a a + ( 1) a a a a a a 11 22 12 21 11 22 12 21 A a a 11 12 a a a a a a 11 22 21 12 21 22 Ejemplo 2 3 A 2 3 4 ( 3) 18 4 3 Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus n 3 a a a A a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 S 3, car(s 3 )3!6

S { σ, σ, σ, σ, σ σ } 3 1 2 3 4 5, 6 1 2 3 σ1 3 ( 1) 1 1 2 3 i sg σ + 1 2 3 σ 2 (2 3) ( 2) 1 1 3 2 sg σ 1 2 3 σ 3 (1 2) ( 3) 1 2 1 3 sg σ 1 2 3 σ 4 (1 2 3) sg( σ 4) 1 2 3 1 + 1 2 3 σ 5 (1 3 2) sg( σ 5) 1 3 1 2 + 1 2 3 σ 6 (1 3) sg( σ 6) 1 3 2 1 det( A) A a21 a22 a23 a a a Matrices 13 sg( σ ) a1 σ(1) a2 σ(2) a3 σ(3) σ S 3 a a a 11 12 13 31 32 33

( + 1) a a a + ( 1) a a a + ( 1) a a a + 11 22 33 11 23 32 12 21 33 σ σ σ 1 2 3 ++ ( 1) a12a23a31 ++ ( 1) a13a21a32 + ( 1) a13a22a31 σ σ σ 4 5 6 ( a a a + a a a + a a a ) 11 22 33 12 23 31 21 32 13 ( a a a + a a a + a a a ) 13 22 31 12 21 33 23 32 11 Matrices 14 Ejemplo 1-2 3 4 5-2 5+0+(-12) 0+(-8)+2 1 0-1 1 ( )-( )

Propiedades de los determinantes Sea A ŒM n (K) Matrices 15 1. A A t 2. Si en un determinante hay una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo. 3. a a a a 11 1n 11 λa λ a λ a a i1 in i1 in a a a a n1 nn n1 nn in

4. 5. Si se intercambia una fila por otra, el determinante cambia de signo Matrices 16 a a a a a a a + b a + b b b + a a a a a a a a 11 1n 11 1n 11 1n i1 i1 in in i1 in i1 in n1 nn n1 nn n1 nn 6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(a)0 7. Si a una fila se le suma una combinación lineal de las restantes filas, el determinante no varía.

8. Si A, BŒM n (K), AB A B 9. Si una fila es combinación lineal de las restantes filas, el determinante es cero Matrices 17 10. (desarrollo de ÍAÍ a través de los elementos de una fila cualquiera). El ÍAÍ viene dado por la suma de los productos de los elementos de la fila i por sus correspondientes adjuntos: ÍA Í a i1 A i1+ a i2 A i2+ a i3 A i3+...+ a in A in k n aik A donde los A ik ik son los correspondientes adjuntos k 1 11. a i1 A j1+ a i2 A j2+ a i3 A j3+...+ a in A jn 0 (iπj) La suma de los productos de los elementos de una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0

4. Menor complementario y adjunto Matrices 18 Definiciones Sea AŒM n (K), y a ij un elemento de A. Se llama menor complementario del elemento a ij, y se nota α ij, al determinante de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. Se llama adjunto del elemento a ij, y se nota A ij, al valor: A ij (-1) i+j α ij Matriz adjunta de A, Adj(A)(A ij ), matriz de los adjuntos.

α α Ejemplo 11 21 1 3 0 3 10 α 12 3 3 1 1 1 2 2 8 3 1 1 2 2 A 0 1 3 1 3 1 Menores Complementarios α 22 1 2 3 1 1 α 13 Matrices 19 0 1 1 1 3 1 2 α 23 1 1 3 α 31 2 2 4 1 3 Adjuntos α 32 1 2 1 2 3 α 33 1 0 3 0 1 A 11 +α 11-10 A 12 -α 12 3 A 13 +α 13 1 A 21 -α 21-8 A 22 +α 22 3 A 23 -α 23-1 A 31 +α 31 4 A 32 -α 32-3 A 33 +α 33-1 Adjunta de A: 10 3 1 Adj( A) 8 3 1 4 3 1

5. Cálculo de determinantes Órdenes dos y tres: Definición / Sarrus Orden mayor o igual tres Matrices 20 Método del Pivote / Desarrollo por la fila del pivote (prop. 10) 1º Elegir un elemento como pivote (±1), (a 11 ) A a 11 1n n1 a a a nn 2º Obtener ceros en la fila (columna) del pivote, sumando combinaciones lineales de la columna (fila) del pivote (prop. 7) A a a 11 n1 0 0 a nn

Matrices 21 3º Desarrollar el determinante por la fila (columna) del pivote.(prop. 10) A a11a11 + 0A12 + + 0A1 n a11a11 Orden n Orden n-1 Ejemplo 1 0 1 2 1 1 2 1 1 3 2 2 2 1 0 1 C1+ C3 2C1+ C4 1 0 0 0 1 1 3 1 1 3 1 0 2 1 2 3 1 3 1 A 1 2 3 11 + 1 11 ( 1) 3 1 0 19 Por triangulación Transformar el det(a) en el determinante de una matriz triangular a 11... a nn

Ejemplo 1 1 1 F1+ F2 1 1 0 5 3 5 5F1+ F3 1 1 1 0 2 1 0 2 0 Matrices 22 + F2 F3 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 0 0 1 6. Matriz inversa (M n (K),+, ) Anillo Unitario (no cuerpo) AŒM n (K) es regular si existe BŒM n (K) tal que A BB AI n (B es la inversa de A: BA -1 ) En otro caso, A es singular Teorema Sea AŒM n (K). (1)A posee inversa si y sólo si ΩAΩπ0 1 1 (2)En ese caso, A adj( A t ) A

Ejemplo Matrices 23 7. Rango de una matriz Sea AŒM mxn (K). Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A. se llama rango de A al mayor orden posible de un menor no nulo de A. Propiedades r(a)r(a t ) r(a) min{m,n} Si a una fila (columna) se le suma una c.l.del resto (o un múltiplo de otra), el rango no varía.

Matrices 24 Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(a) coincide con el de la submatriz obtenida al eliminar dicha fila (columna) de A En resumen, el rango de A no varía al realizar operaciones elementales sobre A, tales como: Intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar a una fila un múltiplo de otra o una c.l. de las restantes.. Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal principal: a ij 0, i>j. Su rangonºfilas no nulas completamente Ejemplos de matrices escalonadas: 3 2 1 5 0 1 1 4 A, r ( A ) 4 0 0 7 4 0 0 0 1 2 1 4 1 0 B 0 0 0 2 9 r(b)3 0 0 0 0 1 Matrices triangulares

Método de Gauss Para obtener el rango de una matriz A Transformar A A escalonada Operaciones elementales Matrices 25 Ejemplo 1 0-1 3 1 0-1 F 1+ F2 3 A 1 2-3 1 0 2-2 2 F1+ F3 1 3-4 0 0 3-3 3 3 2 F + 2 F3 1 0-1 3 0 2-2 2 A 0 0 0 0 r(a)r(a )2

Algoritmo de cálculo del rango Matrices 26 Rango dos? Ω1Ωπ0fir(A) 1 fir(a) 2 Rango tres? Luego el rango es dos