Contenido. Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 1/19 19

Contenido 1. Cuerpo rígido II: ecuaciones de movimiento 1.1 Movimiento compuesto: traslación + rotación 1.2 Tensor de inercia y momento de inercia 1.3 Ejes principales y momentos principales de inercia 1.4 Ecuaciones de movimiento de Euler 1.5 Ejemplos y aplicaciones 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 1/19 19

Movimiento compuesto: traslación + rotación Principios elementales En el caso más general de movimiento de un sólido se tienen dos componentes: el movimiento de traslación y el de rotación: Traslación: necesitamos tres coordenadas para definir el movimiento de un punto del sólido (normalmente el centro de masas). Rotación: son necesarias tres coordenadas para definir la orientación relativa a un punto del sólido (ángulos de Euler). Por tanto, para poder describir el movimiento de un sólido podemos desacoplar los esquemas, por ejemplo, Momento angular : L = R Mv + L (φ, θ, ψ), Energía cinética : T = 1 2 Mv2 + T (φ, θ, ψ), Energía potencial: V = V CM, or V = V rot, Lagrangiano: L = T V = L CM + L (φ, θ, ψ) 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 2/19 19

Movimiento compuesto: traslación + rotación Momento angular Analizemos en el caso del momento angular la parte de rotación, L = m i (r i v i ) como r i es la dist. de la i-ésima partícula a un punto estacionario, entonces v i en el espacio sólo depende de la rotación del mismo, ( ) ( ) dri dri (v i ) s = = + ω r i v i = ω r i, dt s dt r entonces, L = m i [r i (ω r i )] = m i [ωr 2 i r i (r i ω)] 1 Expandiendo por componentes, L = [m i ω x (r 2 i x 2 i ) m i x i y i ω y m i x i z i ω z ]i +...... + [m i ω y (r 2 i y 2 i ) m i x i y i ω x m i y i z i ω z ]j +...... + [m i ω z (r 2 i z 2 i ) m i x i z i ω x m i y i z i ω y ]k 1 a (b c) = (a c)b (a b)c 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 3/19 19

Movimiento compuesto: traslación + rotación Momento angular De la expresión anterior deducimos que L está relacionado con ω por medio de una transformación lineal L = Iω, L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z, L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z, L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z, I jj : coeficientes de momentos de inercia, ejem: I xx = m i (ri 2 x2 i ), I jk : productos de inercia, ejem: I xy = m i x i y i, Para el caso de sólidos contínuos, tendriamos la siguiente expresión, I jk = ρ(r 2 δ jk x j x k )dv, j, k = 1, 2, 3. V donde los elementos del sist. coordenado han sido denominados x j y en general, por convención, se elige el sist. fijo en el sólido. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 4/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Tensores: fundamentos Definimos en el espacio cartesiano tridimensional un tensor de N-ésimo rango con 3 N componentes como, T ijk..., (con N índices) el cual se transforma bajo una transformación ortogonal A de la siguiente manera, T ijk...(x ) = a il a jm a kn... T lmn... (x). De la definición anterior podemos analizar algunos casos sencillos, tensor de rango cero: cantidad escalar. tensor de primer rango: T i = a ilt l es equiv. a un vector. tensor de segundo rango: T ij = a ila jm T lm se transforma de manera equivalente a una matriz cuadrada. 2 2 T = ATA 1 = ATÃ, T ij = a il T lm a jm 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 5/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Tensores: fundamentos Los vectores A y B son utilizados para construir un tensor de segundo rango, T ij = A i B j donde, ( ) ( ) Txx T T = xy Ax B = x A x B y A y B x A y B y T yx T yy por la izquierda, E = F T E i = F j T ji de igual manera se puede construir un escalar S, mediante el proceso de contracción S = F T C S = F i T i jc j Definimos el tensor unidad, 1, 1 ij = δ ij, el producto punto por la der., finalmente, al ser T construido por los vects. A y B se cumple, T C = A(B C) = (B C)A F T = (F A)B = (A F)B D = T C D i = T ij C j 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 6/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Tensor de inercia Definimos al tensor de inercia 3 I tal que L = I ω Por otro lado, tenemos la definición de la energía cinética, T = 1 2 m iv 2 i, en donde v i es la velocidad de la i-ésima partícula relativa a un punto fijo medida en el sist. coordenado inercial, T = 1 2 m iv i (ω r i ) = ω 2 m i(r i v i ) pero m i (r i v i ) = L, T = ω L 2 = ω I ω 2 3 de segundo rango 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 7/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia momento de inercia sea ω = ωn, entonces T = ω2 2 n I n = 1 2 Iω2 en donde la cantidad I es un escalar 4 y se le conoce como el momento de inercia alrededor de algún eje. Para encontrar como está definido I, expandamos la energía cinética, T = ω L = ω [ ] 2 2 m i ωri 2 r i (r i ω) T = 1 { ]} 2 ω2 n m i [nri 2 r i (r i n) T = 1 [ 2 ω2 m i ri 2 (r i n) 2] I = m i [ r 2 i (r i n) 2] 4 un doble producto punto de un tensor T con vectores define un escalar. 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 8/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Momento de inercia De manera tradicional se define al momento de inercia como el producto de la masa de la partícula por el cuadrado de la distancia perpendicular del eje, en ecuaciones, I = m i (r i n) (r i n) I = m i ω 2 (ω r i) (ω r i ) I = m i ω 2 v2 i = 2T ω 2 T = 1 2 Iω2 llegando al resultado anterior, se demuestra la equivalencia de definiciones para I. 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 9/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Cálculo del momento de inercia Para el cálc. de I necesitamos definir un eje de rotación 5 expandiendo, consideremos el movimiento respecto el eje a con origen O, I a = m i (r i n) 2, relacionando con el eje paralelo b que pasa por el centro de masas, r i = R + r i, I a = m i [(r i + R) n] 2, I a = m i (r i n) 2 + M(R n) 2 + 2m i (R n) (r i n) = m i (r i n) 2 + M(R n) 2 2(R n) (n m i r i) 5 el cual consideramos fijo en el espacio, de lo contrario I = I(t) 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 10/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Cálculo del momento de inercia Analicemos los términos de la ecuación anterior, m i (r i n) 2 : representa el momento de inercia respecto el eje b que pasa por el centro de masa, I b. M(R n) 2 : describe el momento de inercia del sólido como si estuviera concentrado en el centro de masas, con respecto al eje original. 2(R n) (n m i r i): debido a la definición de centro de masa este término se anula. 6 Por tanto, la expresión se reduce a, I a = I b + M(R n) 2 = I b + M(R 2 δ αβ R α R β ) lo cual se conoce como el teorema de los ejes paralelos. 6 m ir i = 0 cuando r i está referenciado al centro de masas. 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 11/19 19

Tensor de inercia y momento de inercia Cálculo del momento de inercia Describiendo las cantidades necesarias para aplicar el formalismo lagrangiano, T rot = 1 2 m i(ω r i ) 2 = 1 2 ω αω β m i (δ αβ r 2 i r iα r iβ ), = 1 2 I αβω α ω β en donde α y β denotan las componentes de ω y r i. I αβ = m i (δ αβ ri 2 r iα r iβ ) I αβ = ρ(r)(δ αβ r 2 r α r β )dv V Ejemplo Consideremos un cubo homogéneo de densidad ρ, masa M y arista a, cuyo origen es el punto (0, 0, 0), entonces el tensor de inercia del sistema es, 2 3 b 1 4 b 1 4 b I = 1 4 b 2 3 b 1 4 b 1 4 b 1 4 b 2 3 b en donde hemos definido b = Ma 2. 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 12/19 19

Momentos de inercia Propiedades y ejes principales De la definición de los momentos de inercia, I αβ = m(δ αβ r 2 i r iα r iβ ) podemos observar que las componentes del tensor son simétricas, I αβ = I βα lo cual indica que sólo existen seis coordenadas independientes en el tensor de inercia. En general, los momentos de inercia dependerán de dos situaciones: localización del origen del sistema coordenado del sólido, orientación de este sistema coordenado respecto al sólido en sí. Por tanto, existe un sistema coordenado en el cual el tensor de inercia será diagonal, con valores I 1, I 2, y I 3, en donde las comp. de L serán, L 1 = I 1 ω 1, L 2 = I 2 ω 2, L 3 = I 3 ω 3. 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 13/19 19

Momentos de inercia Propiedades y ejes principales Para la energía cinética tendríamos una situación similar, T = ω I ω 2 = 1 2 I 1ω 2 1 + 1 2 I 2ω 2 2 + 1 2 I 3ω 2 3, Para encontrar tal sistema de ejes coordenados en donde I sea diagonal aplicamos una transformación de similaridad 7 en donde, I 1 0 0 I D = RI R I D = 0 I 2 0 0 0 I 3 I 1, I 2, I 3 : son los momentos principales de inercia. x, y, z : direcciones que definen el eje de roación de R y se les llama ejes principales del tensor de inercia. 7 la rotación R estará dada en términos de los ángulos de Euler φ, θ, y ψ. 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 14/19 19

Momentos de inercia Propiedades y ejes principales Para el caso en el que no se puede tener por inspección a priori los ejes principales del problema, estos se pueden obtener resolviendo I xx I I xy I xz I yx I yy I I yz = 0 I αβ = I βα I zx I zy I zz I en donde los eigenvalores I i serán los momentos de inercia principales, y los eigenvectores corresponderán a los ejes principales. 15 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 15/19 19

Ecuaciones de movimiento de Euler Consideraciones generales Para poder aplicar de una manera más sencilla los conceptos hasta ahora desarrollados con el fin de resolver las ecuaciones de movimiento de un sólido, tomemos en cuenta las siguientes consideraciones, Seleccionar un punto adecuado de referencia en el sólido: Si un punto del sólido está fijo en un sist. inercial, se escoge ese punto. Si no hay algún punto fijo, se selecciona el centro de masas. Identificar de manera clara la separación de la enería cinetica en movimientos de traslación+rotación. T = 1 2 Mv2 + 1 2 Iω2 En lo posible, identificar y seleccionar como sist. coordenado a los ejes principales del sólido, con el fin de simplificar el problema. 16 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 16/19 19

Ecuaciones de movimiento de Euler Consideraciones generales Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, podemos expresar al lagrangiano como, donde, L(q, q) = L c (q c, q c ) + L b (q b, q b ) L c : es la parte del lagrangiano correspondiente a las coord. generalizadas del centro de masa q c, q c. L b : corresponde a la orientación del sólido, respecto a un punto definido, descrito por las coord. generalizadas del centro de masa q b, q b. Además, al elegir los ejes principales, la energía cinética de rotación será T = 1 2 I 1ω 2 1 + 1 2 I 2ω 2 2 + 1 2 I 3ω 2 3 L i = I i ω i. 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 17/19 19

Ecuaciones de movimiento de Euler Ecuaciones de Euler Obteniendo las ec. de movimiento de la parte rotacional, ( ) dl = N N = r i F i dt s transformando al sist. coordenado del sólido, ( ) ( ) dl dl = + ω L, dt s dt b dl dt = ω L = N la cual es la ec. de movimiento del sólido relativo a los ejes del mismo. Expandiendo la ecuación anterior en componentes, dl i dt + ɛ ijkω j L k = N i I i dω i dt + ɛ ijkω j ω k I k = N i, considerando que estamos en los ejes principales y ɛ ijk es la densidad de Levi-Civita. I 1 ω 1 ω 2 ω 3 (I 2 I 3 ) = N 1 I 2 ω 2 ω 3 ω 1 (I 3 I 1 ) = N 2 I 3 ω 3 ω 1 ω 2 (I 1 I 2 ) = N 3 que son las ecuaciones de Euler. 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 18/19 19

Ejemplos y aplicaciones Ejercicios Torque-free motion of a rigid body (Goldstein 5.6). Paola The heavy symmetrical top with one point fixed (Goldstein 5.7). Diana Precession of the equinoxes and of satellite orbits (Goldstein 5.8). Carina Precession of systems of charges in a magnetic field (Goldstein 5.9). Alexander Pirinola problem (ask the teacher!!!). Rosario PRESENTACION: 12 de Octubre 19 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 19/19 19