INSTITUCIÓN EDUCATIVA COLEGIO ARTÍSTICO RAFAEL CONTRERAS NAVARRO OCAÑA N.S. ASIGANTURA: MATEMÁTICAS OCTAVO GRADO DOCENTE: Esp. HENRY CARRASCAL C. III PERÍODO FUNCIÓN Y ECUACIÓN CUADRÁTICA 1. DEFINICIÓN Y GRÁFICO Si se consideran tres números reales En general, en una función y f x a, b f y c La función cuadrática se suele escribir en forma abreviada:, con a 0, se llama función cuadrática o de segundo grado a la función: x, y x / y ax bx c, x es la variable independiente e y es la variable dependiente. f x ax bx c o El dominio de la función es el conjunto de los números reales y ax bx c Las siguientes funciones son cuadráticas o de segundo grado: x y x x x ; ; x y 5x ; x; y x x 1 GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA La construcción del gráfico de la función cuadrática en el plano cartesiano se realiza en la misma forma que la función de primer grado: se elabora una tabla de valores, determinando así algunos puntos del gráfico, que permitan hacer un trazado de la curva. Ejemplo 1: Graficar la función y x x X y x x ( x, y) - y ( ) ( ) 5 (,5) -1 y ( 1) ( 1) 0 ( 1,0) 0 y (0) (0) 3 ( 0, ) 1 y (1) (1) 4 ( 1, 4) y () () 3 (, ) El gráfico de una función cuadrática es una curva abierta llamada parábola. Se caracteriza, a simple vista, por presentar dos ramas simétricas que se abren. La concavidad de la curva puede estar hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo : Construir el grafico de y x x Se eligen los valores de x y se calculan los respectivos valores de la función, o sea, los valores de y
X y x x - y ( ) ( ) 5-1 y ( 1) ( 1) 0 0 y (0) (0) 1 y (1) (1) 4 y () () ( x, y) (, 5) (1,0) (0,3) (1,4) (,3) El ejemplo anterior muestra una parábola que presenta la concavidad hacia abajo, es decir, que sus ramas hacia abajo. Si observas detenidamente los ejemplos 1 y, podrás concluir que esto depende del signo del coeficiente a. Si a > o, entonces la concavidad está hacia arriba Si a < o, entonces la concavidad está hacia abajo. CARACTERÍSTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Ceros de la función Observa el grafico correspondiente a la función x 5x 4 Cuánto vale la función en el Punto de abscisa x = 1?, y en x = 4? Es evidente que en tales puntos la función vale cero: f ( 1) 0 y f (4) 0 En general, los valores de x para los cuales la función vale cero ( y 0 o 0 ) se llaman precisamente, ceros de la función. (Así, los ceros de la función del gráfico son x = 1 y x = 4) Para determinar los ceros de una función ax y ax bx c bx c 0. Las raíces de la ecuación son los ceros de la función. Ejemplo 1 Determinar los ceros de la función y x x se hace y 0, con lo cual se plantea la ecuación Formula b b 4ac ( ) ( ) 4 1 3 16 4 x luego x x1 y x 1 a 1
Luego, los ceros de la función son x = 3 y x = - 1 En general, se puede plantear el siguiente esquema respecto a los ceros de la función b Siendo x y sea b 4ac ( = discriminante) a y ax bx c Si 0, la función tiene dos ceros reales. La parábola corta al eje x en dos puntos diferentes. Si 0, la función tiene sólo un cero real. La parábola y el eje x son tangentes entre sí. Si 0, la función no tiene ceros reales. La parábola no corta al eje x. 3. Es interesante señalar que a la hora de graficar la parábola Cuya ecuación genérica es ax bx c, se tiene un punto gratis implícito en la ecuación; a saber: (0,c) o punto en que la gráfica corta al eje y. Nota: en aquellas funciones donde c=0, se entenderá Que la parábola pasa por el origen. EJERCICIOS: Determina en cada una de las siguientes funciones a) La concavidad b) los ceros o puntos de corte con el eje x (si los hay) c) punto de intersección con el eje y, d) grafica cada una de ellas. 1) x 5x 14 ) y x 1 3) y x x 1 4) 4x 13x 5) y x 6x 5 6) y x 6x 7) y x x 10 8) x 1 9) y 4x 1x 5 10) y x 11) x 4x 4 1) x 5x 13) y x 14) y x x 15) x 4x 16) y x
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como observamos anteriormente la parábola es una curva que posee dos ramas simétricas con respecto a un eje, dicho eje intercepta a la parábola en un punto llamado vértice. Este punto está compuesto por; el eje de simetría y el punto mínimo o máximo de la parábola, que representan las ordenadas y las abscisas respectivamente (x, y). El gráfico siguiente muestra funciones en las cuales sus vértices se encuentran en el origen del sistema de coordenadas o sea el punto (0, 0). El problema es determinar las coordenadas del vértice en funciones cuadráticas que son diferentes de. Para determinar la solución a estos problemas podemos observar que si a cualquier función de la forma cambia x por (x - h), se produce una traslación horizontal de la parábola en h unidades: hacia la derecha, si hacia la izquierda, si., se les o Del mismo modo, si y se reemplaza por (y - k), se produce una traslación vertical de la parábola en k unidades. Si, se traslada hacia arriba; si, se traslada hacia abajo. La función toma entonces la forma: o sea, (Forma canónica de la función cuadrática) El vértice, que estaba en el origen, está ahora en el punto de coordenadas (h, k). Ejemplo 1 Graficar las funciones e. Observar la traslación del vértice.
(1) x Y - 8-1 0 0 1 8 () Donde; h = 3 k = x Y 1 10 4 3 4 4 5 10 6 0 Si observas los ejemplos tenemos; que en el primer caso el eje de simetría de la parábola es la recta x = 0, o sea, el eje y, a diferencia del segundo caso en donde el eje de simetría de la parábola es la recta de ecuación x = 3. Además podemos decir que estas dos funciones poseen un valor mínimo, 0 y respectivamente (concavidad hacia arriba). En general, Cualquier función cuadrática puede ser transformada, mediante la completación del cuadrado, a la forma canónica: La función tiene: Vértice V(h, k) Eje de simetría x = h Valor mínimo k, si a > 0 Valor máximo k, si a < 0
Observación: Debido a que la función cuadrática posee un valor máximo o mínimo, se dice que la función tiene un máximo (o mínimo) en x = h. EJEMPLO Escribir la función en la forma canónica, destacar sus características y graficar. Se completa el trinomio cuadrado perfecto: Sacamos él 4 del paréntesis: Por lo tanto: El vértice de la parábola es El eje de simetría es La función tiene el valor mínimo en X Y 0 5 1-1 -3 3-1 4 5 En general, si la función es, se puede determinar: Eje de simetría y valor máximo o mínimo Estas fórmulas no requieren ser memorizadas, ya que, en cada caso, se puede obtener completando el trinomio cuadrado para conocer h y k. Además, conocido h, se puede calcular k al sustituir X = h en la función. EJEMPLO 3 Dada la función determine sus características Luego, Entonces: El vértice de la parábola es. El eje de simetría es la recta de ecuación. La función tiene el valor máximo 4 en. Haz el gráfico.