UNIDAD II. PROGRAMACIÓN LINEAL OBJETIVO DE APRENDIZAJE: El alumno identificará y analizará problemas de optimización de funciones y recursos para mejorar la operación de una organización. Introducción a la unidad La programación lineal la podemos definir como un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Busca optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, llamada función objetivo, manipulando las variables de dicha función las cuales estén sujetas a una serie de restricciones que se expresan en forma de inecuaciones. La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores, en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos. Requisitos para formular un problema de programación lineal Todos los modelos de programación lineal deben tener: Variables Función objetivo Restricciones No negatividad A continuación veremos un problema, el cual se coloca en un taller de EXCEL con su respectivo video explicativo. El primer método a estudiar es el método gráfico. Formular el problema La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye: Determinar los objetivos apropiados Las restricciones Las interrelaciones Los diferentes cursos de acción Límites de tiempo para tomar una decisión. Construcción de un modelo matemático Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresadas en términos de símbolos y expresiones matemáticas. El modelo matemático de un problema industrial es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1
Tema 2.1. Método gráfico. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos recomendados son: 1. Graficar las soluciones factibles, incluyendo las restricciones de no negatividad. 2. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 3. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible. 4. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 5. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. Considera el siguiente problema de programación lineal y será resuelto por el método gráfico. Ejemplo 1: Un negocio se dedica a la fabricación de sillas y mesas ; fabricar cada uno consume una determinada cantidad de tiempo (en horas) de los departamentos corte y ensamble. Los departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas de trabajo: 120 horas para corte y 90 horas para ensamble. Cada uno de los productos ofrecen a la empresa la siguiente contribución: $50 USD para las mesas y $80 USD para las sillas. La información anterior, más los consumos de tiempo de cada producto se resumen en la siguiente tabla: Proceso Consumo de tiempo por cada unidad de producto, horas Mesas Sillas Tiempo disponible en cada departamento, horas Corte 1 2 120 Ensamble 1 1 90 Contribución del producto $50 $80 Solución: Primero debemos definir el objetivo del problema: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. A continuación debemos darnos cuenta que hay dos variables de decisión (cuantas mesas y sillas producir), que podemos manipular para lograr el objetivo de MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Entonces las variables de decisión son: x 1 = mesas a producir x 2 = sillas a producir Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2
Ahora debemos encontrar la función objetivo, si el objetivo es MAXIMIZAR LAS GANANCIAS, la función objetivo debe representar las ganancias. Ganancia total (z) = ganancia mesas + ganancia sillas Ganancia total (z) = $50x + $80x 1 2 Entonces queda la siguiente FUNCIÓN OBJETIVO: z = $50x 1 +80x 2 Si el dueño del negocio pudiera aumentaría las ganancias al infinito y más allá; pero no puede Por qué? Lo detendrá algo que se conoce como RESTRICCIONES. En este problema cuáles son las restricciones? Hay recursos limitados y es la cantidad de tiempo disponible para cada departamento. Es decir: Recursos consumidos Recursos TOTALES disponibles Tiempo consumido en corte Tiempo consumido en ensamble Tiempo disponible en corte Tiempo disponible en ensamble Dado que tenemos los consumos unitarios de cada unidad de producto fabricada x 1 = mesas, x 2 = sillas. Si se producen por ejemplo 2 mesas y 1 silla, el departamento de corte habría consumido: Proceso Consumo de tiempo Tiempo Mesas Sillas consumido Corte 1(2) + 2(1) = 4 horas Por lo tanto las restricciones son: Departamento Consumido Es menor Disponible o igual Corte x 1 +2x 2 <= 120 Ensamble x 1 + x 2 <= 90 Entonces las RESTRICCIONES formuladas como desigualdades son: x 1 +2x 2 <= 120 x 1 + x 2 <= 90 El modelo completo queda: VARIABLES DE DECISIÓN: x 1 = mesas x 2 = sillas FUNCIÓN OBJETIVO: z = $50x 1 +80x 2 RESTRICCIONES: x 1 +2x 2 <= 120 x 1 + x 2 <= 90 PLANTEAR ECUACIONES: Como complemento al problema anterior puedes repasar este video, indica como plantear ecuaciones en un modelo de programación lineal: http://www.youtube.com/watch?v=f_dauybjslq Para aprender a hacer el método gráfico de forma manual puedes ver los siguientes dos videos: http://youtu.be/kknattkvgaq http://youtu.be/vzwtc1ys9b0 Puedes descargar el siguiente taller para reforzar el tema: http://marcelrzm.comxa.com/maestriainvdeoper/21metodografico.xls Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3
Ahora para hacerlo con software sigue los siguientes pasos: 1.- Plantea o ten disponible las ecuaciones que representan este modelo, debe cumplir con tener variables de decisión, función objetivo y restricciones. 2.- Descarga el paquete WIN QSB (es un freeware), puedes buscar la descarga en Google o usar la siguiente liga: http://winqsb.softonic.com/ Alternativa: También puedes aprender a usar el software en línea PHP Simplex: http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=es 3.- A continuación puedes revisar el siguiente taller de EXCEL para el método gráfico http://www.youtube.com/watch?v=zcja9uj6dso 4.- Sigue los mismos pasos del video para resolver el problema. Ejercicios adicionales: 1.- Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia? 2.- La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para los primeros es del 10% y del 12% para los segundos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación? Actividad 2.1. Método gráfico. Resolver el siguiente ejercicio usando el método gráfico por WINQSB o PHP: Sidneyville fabrica muebles de oficina y para el hogar. La División Oficina produce dos escritorios, el de tapa corrediza o de cierre y el normal. Los fabrica en su planta en las afueras de Medford, Oregon, usando una selección de maderas. Éstas se cortan a un espesor uniforme de 1 pulgada. Por esta razón, la madera se mide en metros cuadrados. Un escritorio de cierre requiere 10 metros cuadrados de pino, 4 de cedro y 15 de arce. Para un escritorio normal se requieren 20 metros cuadrados de pino, 15 de cedro y 10 de arce. Los escritorios producen ganancias respectivas de 115 dólares y 90 dólares por venta. En la actualidad, la empresa dispone de 200 metros cuadrados de pino, 128 de cedro y 220 de arce. Han recabado pedidos para ambos escritorios y les gustaría producir una cantidad de piezas con cierre y normales que maximice su ganancia. Determine: 1.- Cuántos escritorios deben producir de cada uno? 2.- Cuál es la ganancia máxima obtenida con dicha decisión de producción? Elabore un REPORTE siguiendo las rúbricas indicadas en la siguiente liga: http://marcelrzm.comxa.com/rubricas/rubricas.htm Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelusoacademico@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx Colocar en ASUNTO: Actividad 2.1. Método gráfico. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4
NOTAS TÉCNICAS UTILES PARALAS TAREAS: Para capturar una imagen de pantalla: FN + IMP PNT Después se le coloca CTRL + V para pegarla en WORD o EXCEL Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5