UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TEMA DEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES S. R. ARZAMENDI P; PROFESOR DE ASIGNATURA F.I.-UNAM; e-mail: serarz@yahoo.com RESUMEN La formación científica del ingeniero puede ser estimulada desde las asignaturas básicas de matemáticas. Problemas de cada asignatura pueden presentarse de manera que motiven la curiosidad del estudiante no sólo por el resultado buscado sino también por la forma en que estos son aborda dos. Es en este punto donde surge la oportunidad de construir un concepto formal apoyándose en el método científico. Como ejemplo se presenta una opción para impartir el tema Dependencia Lineal de Funciones apoyándose en la representación gráfica de conceptos formales de Álgebra Lineal. INTRODUCCIÓN La intensión de este trabajo es presentar una alternativa para la presentación del tema Dependencia Lineal de Funciones dotando de significado geométrico a los conceptos que en él se desarrollan. Esta alternativa no pretende sustituir el tratamiento formal del tema sino favorecer el proceso enseñanza-aprendizaje del mismo. El tema Dependencia Lineal de Funciones pertenece a la asignatura Álgebra Lineal que se ofrece durante el segundo semestre del plan de estudios de las carreras de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Este tema representa un reto para el estudiante del segundo semestre puesto que exige madurez para estructurar los conceptos formales que se van presentando. El tratamiento gráfico de los conceptos algebraicos de este tema facilita su comprensión al proporcionar apoyo visual para comprenderlos. Se puede entonces pensar en que el alumno adquiera conocimientos a partir de experiencias que surgen de la interacción con gráficos representativos de conceptos formales. La manipulación de estos elementos convierte al aula en un laboratorio donde las ideas adquieren forma y son susceptibles de ser manipuladas. ANÁLISIS En este trabajo F denota al espacio vectorial real de las funciones reales de variable real con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar. El estudiante conoce las definiciones de adición de vectores y de multiplicación de un vector por un escalar que se presentan en cursos de geometría analítica y de física elemental. La interpretación geométrica de estas operaciones, que se lustra en la figura 1,
resulta ser un importante apoyo didáctico tanto para la presentación de este tema como para ilustrar sus aplicaciones. Figura 1. Geometría de la adición de vectores y de la multiplicación de un vector por un escalar. La adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar en R 3 sirven de punto de partida para introducir el concepto de combinación lineal en el espacio F sólo que la interpretación geométrica será diferente. Si la infraestructura del aula lo permite, es conveniente trabajar la visualización de funciones con un software que muestre gráficos dinámicos y manipulables como GeoGebra (Copyright 2001-2008 GeoGebra Inc). En otro caso, otros elementos didácticos como rotafolios, proyector de diapositivas o de acetatos pueden cumplir esta función. Una función no será representada geométricamente por un segmento dirigido, sino por su propia gráfica en el plano cartesiano. En el caso de funciones la multiplicación por un escalar no representa un cambio en la longitud del vector, puesto que, en general, las funciones discutidas en el curso están definidas en todos los números reales. La interpretación geométrica de la combinación lineal de una función tendrá significados geométricos diversos dependiendo de la función con que se trabaje. Por ejemplo, a partir de la función f(x) = x cuya gráfica se muestra en color azul en la parte izquierda de la figura 2, pueden obtenerse las graficas de las combinaciones lineales kf(x), mostradas en color rojo. Las gráficas de las combinaciones lineales de la función original resultan ser líneas rectas que van modificando su pendiente a medida que va cambiando el valor absoluto del escalar k, mientras que son crecientes o decrecientes dependiendo del signo de este mismo escalar.
Figura 2. Combinaciones lineales de las funciones f(x) = x y g(x) = x 2. La gráfica azul corresponde a la función original y las rojas a las combinaciones lineales de la forma kf (x) y kg(x) para diferentes valores de k. Del mismo modo, si ahora consideramos la función g(x) =x 2, cuya gráfica se muestra en la parte derecha de la figura 2, las gráficas de las combinaciones lineales kg(x), mostradas en color rojo, son parábolas cuyo ancho focal depende del valor absoluto de k y cuya orientación está determinada por el signo de k. La experiencia puede servir también para que el estudiante reconozca en la Figura 2 la representación gráfica del espacio generado por las funciones f y g, respectivamente. Este desarrollo debe involucrar al estudiante que puede especular acerca de los resultados que se obtendrán. La experiencia puede repetirse con otras funciones tanto dentro como fuera del aula. Así, al igual que en el curso de Geometría Analítica, se dota de significado geométrico a la multiplicación de un vector del espacio F por un escalar. El efecto que puede lograrse en el estudiante es mayor si se muestran las gráficas en forma secuencial y se le hace participar especulando acerca de las gráficas que se obtendrán al ir cambiando los valores del escalar. Con los ejemplos anteriores queda claro que el efecto de multiplicar un escalar por un vector de F es diferente al que se observa al multiplicar un escalar por un vector de R 3. Ahora se procede a trabajar la definición de dependencia lineal de funciones. El conjunto de funciones A={ f, g } es linealmente dependiente si una de ellas puede escribirse como combinación lineal de la otra. Si no es posible hacerlo, A es linealmente independiente. Para ilustrar los conceptos de dependencia lineal e independencia lineal de manera gráfica se procede de la siguiente forma. Se considera que cada una de las funciones está representada por su gráfica. Si al multiplicar por un escalar la función f su gráfica coincide
con la gráfica de la función g entonces A es un conjunto linealmente dependiente. En caso contrario, A es linealmente independiente. Por ejemplo, consideremos al conjunto T={ sen(x), cos(x) }. La figura 3 ilustra algunas combinaciones lineales de sen(x) en línea continua de color rojo. Al multiplicar al vector sen(x) por un escalar k se va modificando la amplitud del vector resultante, mas esta operación nunca hará coincidir la gráfica de ksen(x) con la de cos(x), mostrada con la línea punteada de color azul. T es linealmente independiente puesto que cos(x) no pertenece al espacio generado por las combinaciones lineales de sen(x). Figura 3. Combinaciones lineales del vector sen(x) en líneas continuas color rojo y del vector cos(x) en línea punteada de color azul. El conjunto formado por estas funciones es linealmente independiente. Como segundo ejemplo consideremos el conjunto E={ e x, e 2x }. En la figura 4, las líneas continuas en color rojo son las gráficas de algunas combinaciones lineales de la función e x, mientras que la línea punteada azul es la gráfica de e 2x. Las líneas continuas no coincidirán con la línea azul sin importar el valor que tome el escalar k por lo que E es un conjunto linealmente independiente.
Figura 4. Combinaciones lineales del vector e x en líneas continuas color rojo y del vector e 2x en línea punteada de color azul. El conjunto formado por estas funciones es linealmente independiente. Este ejemplo despierta otra inquietud en el estudiante que se pregunta si el conjunto será linealmente dependiente para valores muy pequeños de la variable independiente x, como sugiere la gráfica. Esta actividad puede repetirse para funciones f y g definidas a trozos en las que el conjunto de funciones C = { f, g } es linealmente dependiente o linealmente independiente de acuerdo al intervalo que se considere. 2 x si x 0 0 si x 0 La figura 5 ilustra el caso de las funciones f ( x) = y g( x) =. Las 2 0 si x > 0 x si x > 0 líneas continuas de color rojo son las gráficas de algunas combinaciones lineales de la función f. La línea punteada de color azul es la gráfica de g. El conjunto C es linealmente dependiente en cualquier intervalo que contenga solamente números negativos puesto que existe una combinación lineal de f, para k=0, que hace que las gráficas de f y de g coincidan. Sin embargo, en un intervalo que contenga tanto números negativos como positivos el conjunto C es linealmente independiente puesto que las gráficas de ambas funciones no coincidirán sin importar el valor de k.
Figura 5. Combinaciones lineales del vector f en líneas continuas color rojo y del v ector g en línea punteada de color azul. La elección del intervalo de estudio determina si el conjunto formado por estas funciones es linealmente dependiente o linealmente independiente. La figura 6 ilustra algunas combinaciones lineales de las funciones sen 2 (x) y cos 2 (x). Figura 6. Representación gráfica del espacio generado por el conjunto G={ sen 2 (x), cos 2 (x) }
El espacio generado por el conjunto G = { sen 2 (x), cos 2 (x) } corresponde a las líneas continuas de color rojo. Se muestran además con líneas punteadas de color azul las graficas de dos de sus combinaciones lineales: cos(2x) y 1. De aquí puede concluirse que los conjuntos de funciones {sen 2 (x), cos 2 (x), cos(2x)} y {sen 2 (x), cos 2 (x), 1} son linealmente dependientes. CONCLUSIONES, PROPUESTAS Y RECOMENDACIONES El uso de complementos visuales para temas de Álgebra Lineal favorece el éxito del proceso enseñanza-aprendizaje al proporcionar imágenes tanto de conceptos como de operaciones propias de la asignatura. La adquisición de conocimientos formales es apoyada por las experiencias que surgen de la interacción con los gráficos que representan a esos conocimientos formales. La incorporación de un ambiente gráfico dinámico permite experimentar con estos elementos y operaciones dentro del aula, convirtiendo la clase en un laboratorio de ideas y propuestas acerca de los temas de la asignatura y no sólo en un lugar en donde se dictan resultados establecidos. BIBLIOGRAFÍA 1. Martínez Jorge, et al. Manual de Didáctica de la Matemática, Centro de Didáctica, UNAM, México 1972. 2. Solar Eduardo, Speziale Leda, Apuntes de Álgebra Lineal, Limusa y Facultad de Ingeniería, México 1999. 3. Castelnuovo Emma, Didáctica de la Matemática Moderna, Trillas, México 1990. 4. Lay David, Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, Pearson Educación, México 2007.