Revista de ]a Union Matematica Argentina Volumen 36, 1990 95 UNA DESIGUALDAD PARA CURVAS CERRADAS EN SUPERFICIES DE CURVATURA CONSTANTE LILIANA M GYSIN 1 I NTRODU CC I ON Dada una curva cerrada C, no necesar iamente s impl e, cont enida en una superfic ie W de curvatura constant e sk, l lamando ds i a la dens idad de arco sobre la curva, dp a la dens idad de area sobre la superfic ie, dg a la dens idad de geodes icas or ientadas sobre la superfic ie y w (P al "winding number " del punto P E W respecto de C, afirmamo s que ( 1 1 : 1 / r sen( K (P dp r ] dg ;;;' O, [ 411' w ds A ds 1 / 1 ( sk f CxC ( CxC n G i psw '+ '+ donde r r (x i ' X j es la distanc ia entre do s punto s de G n ( C x C Ademas val e la igualdad s6lo s i C es una c ircunfe renc ia 0 var ias c ircunferenc ias co inc ident es recorr idas todas en el mismo sent ido Para la definic i6n de "winding number " ver [ 1 ] La demo strac i6n s igue es enc ialment e lo s paso s del trabaj o de Banchoff y Pohl [ 1 ], pero ut il iza conoc idas f6rmul as de Geome tria Int egral En el s e obt ienen do s expres iones para la dens idad de geodes icas que se ut il i zan en el 3 para obt ener l resultado pr inc ipal, a part ir de una relac i6ri entre w (P y r (x i, x j ; En el 4 s e muestra, con un calculo s impl e, que este resul tado es una general izac i6n tanto de la des igualdad i sope r imetr ica clas ica (que val e para curvas s impl es, como del trabaj o de Banchoff y Pohl [ 1 ] (que val e para curvas plana s e n d imens i6n, y se exhibe un ej emplo en que vale la i ldad
96 Cons ideremo s conj unto s de geodes icas orientadas que unen lo s punto s de do s curvas or ientadas C l y C, cont enidas en una su perfic ie de curvatura constant e EK Sean X l, X los punto s de intersecc i6n respec t ivo s, cons ideremo s lo s s iguientes s istemas ortonormales de coordenadas en X l (ver figura : e l es tangente a G ; e z tal que e l e t nga la misma or ientac i6n que e 1 T l ' s iendo Tl el tangent e a C l en X l ' a en T 1 ; a z tal que a l a t enga la misma orientac i6n que e l e Z ' S iguiendo a Santa16 ( [, cp 1 7 podemo s escr ib ir dg s en a 1 ds 1 " da 1 Por otro lado, s i llamamo s e i al trasladado paral elamente de e l a 10 largo de G de X l a X, T al tangent e a C en X, a L (T, e i, como da l es el el emento de volumen de la esfera unitar ia en el extremo del vector e l, r esulta que l / ( 1 da r sen ( EK l / r da l ( EK es el el ement6 de arco para r fij o, y en consecuenc ia
97 Reemplazando obt enemo s que Para hal lar la o tra expres i6n integramo s por partes : dej ando X l (y por 10 tanto fij o, resultando que 51 Como para X l fij o es r 0, y teniendo en cuenta que s i proye tame s T sobre r en X es co s 0 dr/ds, reemplazando obtene mo s 3 Probaremos aqui el resultado pr inc ipal Para ello debemo s ver pr imero que para una cur va cerrada orientada C es 11' f w (P dp r d G W fx cc A tal fin cons ideramo s pares de punto s y geodes icas orientadas ( P, G /P E G W Segun Santa16 [, ( 1 5 ] es + dp (G l\ dg dg (P l\ dp Integrando w (P, del lado derecho obtenemo s usando [, ( 1 3 5 ] fw w (P dg (P dp ( l: l / l: O fw w (P dp 11' fw w (P dp 1\ donde l:l 11', l: o indican las " reas" de las esferas de d i mens i6n 1 y 0 re spect ivamente Para calcular l a integral del lado izquierdo cons ideremo s la s iguiente s ituac i6n : Sea C una curva c errada or ientada (no necesar iament e s imple,
98 +G una geodes ica or ientada y 11amemo s xi ( i 1,, n a lo s punto s de +G n C o Pongamo s i ( xi + 1 s t e1 angu10 entre 1a tani (x i 1 gent e a 1a curva en x i Y 1a geodes ica es menor que Notaremo s w (P a1 "winding number" del pu!! s i es mayor que to respecto de 1a curva C C1arament e es 7r, 7r L1amando F k (P 1 si x < P < x k Y F k (P e int egrando w sobre 1a geodes ica resu1ta P E G w (P dp f P E +G [x <I P i (X + I Xj ' Xk i (x i(x k o ' en o tro caso + F k (P dp P"G n l i I l w ( x i, x i+ l r ( x i, x i+ l ] donde N es e1 numero de punto s de ( CxC n +G, para pares (X j, x k 'tales que i (x j # i (x k, Y w ( x i, x i + l es e1 wind ing number de un punto P / x i < P < x i + l (e1 winding ntnober es constant e en las componentas conexas de W _ C Integrando esto a todas las geodesicas orientadas de W, t eniendo en cuenta que cada par (x i, x i + l esta en N rectas que ortan a CxC Y es int er ior a 1a curva tantas veces como su winding num ber indica ; y que las geodes icas son or ientadas, obt enemo s r dg 7r ( P dp (1 / :fe G n ( C x C ;! 0 1\ y val e 0 s610 si 1 w que es e1 resu1tado buscado F ina1ment e proced iendo como Banchoff y Poh1 [ 1 ] ca1cu1amo s C x C s en [ ( 1 / ] d S l ds 0 N[ que es s iempre, 0 s ea s610 si C
99 es una c ircunfer enc ia 0 var ias c ircunferenc ias co inc ident es todas recorr idas en el mi smo sent ido Desarrol lando es : ds 1 A ds cos 0 1 cos 0 ds 1 A ds sen 0 1 sen 0 ds 1 A ds CxC CxC CxC II r dg Cxc ds 1 A ds cxc n G # r dg (cxc n G # sen(d (e:k Restando y sumando la s egunda int egral y reemplazando l o s r e sultado s pr evios obt enemo s e l resultado pr inc ipal ( 1 1 4 Veamo s aqul en que s ent ido este resultado es una general iz c i6n : Apl iquemo s pr imero ( 1 1 a una curva cerrada orientada s impl e C, d e longitud L que enc ierra un area F En este caso podemo s evaluar : I Pe:w w ( p dp " Ip int a C dp F esta ult ima porque es 1 en el int er ior de C y 0 fuera Ademas, s egun Santa16 [, ( 1 8 8 1 es s en ( e:k 1 / r r] dg+ e:kf [ I ( c x c n G # ( e;k 1 / w _ Reemplazando en ( 1 1 s e obt iene la clas ica des igualdad i sope r imetr ica para curvas s imples en superficies de curvatura cons tant e, a saber L 4 F + e:kf 0, con la igualdad val i endo s6lo para una c ircunferenc ia Por otra parte, s i bien ( 1 1 no es apl icabl e directamente al caso en que W es el plano eucl ldeo, la unica d iferenc ia que debe hacer se es en el, donde ( 1 debe ser da r do l, con 10 cual desaparece en ( 1 1 la ult ima integral, obt eniendo r
; ' 100 que es el resultado de Banchoff y Pohl [ 1 ], que ellos general i zan d imens i6n y codimens i6n arb itrar ias a Apl iquemo s finalmente ( 1 1 a una c ircunferenc ia hiperb6l ica de radio p recorrida vec es en el mismo s ent ido En est e caso la 'long itud de la curva es L 4 71' sh p (el dobl e de la long itud de una c ircunferenc ia ; la int egral sobre lo s punto s int er iores a la curva es el rea enc errada por 1 c ircunfetenc ia, 0 s ea P I 71' P sh r dr 71' (ch p 1, o el rea enc errada por l a cur va es P P l, adem s 00 en lo s punto s int er iore s a la curva y 0 fuera Entonces dp [ sh r r ] dg d S I d S 471' 00 ( y Cxc 1\ + ( Cxc f"l G ;! rp P int C 1 _ 1 671' P 1 _ p o '> '] B I B L I O GRAF I A [1] T B AN C HO F F & W P O HL, A g e n e al z az o n 0 6 z h e o p e m ez e n e q ual z y, D i f f G e o m 6 ( 1 9 7 1 1 9 3 1 1 [] L A S AN T AL O, I nz eg al g eo m ez y a n d g eo m ez e p o ba b l z y, A d d i s o n W e s l e y, R e a d in g, Ma ( 1 9 7 6 D e p a r t am e n t o d e M a t ema t i c a F a c C s Ex a c t a s y N a t U B A P a b I, C i u d a d Un i v e r s i t a r i a 1 4 8 C ap i t a l F e d e r a l A r g en t ina Rec ibido en octubr e de 1 989