PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B
x5 z6 Considera el plano de ecuación x y z 0 y la recta r de ecuación y m a) Halla la posición relativa de r y según los valores del parámetro m. b) Para m 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano. c) Para m 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano. MATEMÁTICAS II. 006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x5 z6 xy 5 a) Podemos pasar la ecuación de la recta r a implícitas y m mx z 5m x y z Estudiamos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano xy 5 mx z 5m A 0 6 m 0 m 3 m 0 R(A) R(M) m 3 3 Recta paralela al plano. m 3 3 3 Recta secante al plano. b) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es: x y 5 k ( 3x z 3) 0 ( 3 k) x y k z 5 3k 0 El vector normal de este plano ( 3 k,, k) y el vector normal del plano (,, ), tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar vale 0. ( 3 k,, k) (,, ) 0 6k k 0 k Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: x 4y z 7 0 c) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es: x y 5 k ( 3x z 3) 0 ( 3 k) x y k z 5 3k 0 El vector normal de este plano ( 3 k,, k) y el vector normal del plano (,, ), tienen que ser paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales. 3k k k Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: 4x y z 8 0
x y z 3 0 Considera el punto P (3,,0) y la recta r x z 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x y z 3 k ( x z ) 0. De todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P (3,,0), luego: 3 0 3 k(3 0 ) 0 k por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación: x y z 3 ( x z ) 0 x y 4z 7 0 b) El punto Q simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el punto P es perpendicular a r y además la distancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma que la que hay desde el punto Q hasta dicha recta. P M x t x y z 3 0 Pasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica r r y 4 3t x z 0 z t Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (,3,) La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x 3y z D 0. Como nos interesa el que pasa por el punto P (3,,0) : 3 3 0 D 0 D 0 x 3y z 0 Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: ( t) 3(4 3 t) t 0 t luego las coordenadas del punto M son: x ( ) ; y 4 3 ( ) ; z Como el punto M es el punto medio del segmento P Q, si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del punto Q, se debe verificar que: 3 a ; a ; b ; b 0 ; 0 c ; c Q,0, Luego el simétrico es: Q
Sean u ( x,,0), v ( x,,) y w (, x, 4 x) tres vectores de 3. a) Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. b) Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. a) Los vectores son linealmente independientes si y solo si det ( u, v, w) 0 x 0 det ( u, v, w) x 7x 4 0, sea cual sea el valor de x, luego los vectores son x 4x siempre linealmente independientes. b) Si los vectores son ortogonales dos a dos sus productos escalares son cero. u v x x x x 0 (,,0) (,,) 4 0 u w 0 ( x,,0) (, x, 4 x) 0 x x 0 x puede tomar cualquier valor. v w 0 ( x,,) (, x, 4 x) 0 x x 4x 0 x puede tomar cualquier valor. Por tanto, los valores que puede tomar x son y para que los tres vectores sean ortogonales dos a dos.
x a t x y z Sea r la recta de ecuación y t y s la recta de ecuación 3 z 4 t a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. b) Calcula el punto de corte. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Si las rectas se cortan, cualquier punto A ( a t, t,4 t) de la recta r tiene que verificar la ecuación de la recta s, luego: a t t 4 t a t 6 4t a ; t 3 3a 3t 3 8 t Luego para a =, las rectas se cortan. b) El punto de corte será: A ( a t, t,4 t) (,,4 ) (3,,3)
Halla un punto A de la recta r de ecuación x y z y un punto B de la recta s de ecuación y z x de forma que la distancia entre A y B sea mínima. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. Escribimos las ecuaciones de las dos rectas en forma paramétrica. x t x s r y t y s y s z t z s A t, t, t y cualquier punto de la recta s tendrá Cualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas de coordenadas B s, s, s. El vector Como el vector AB tendrá de coordenadas: AB s t, s t, s t AB tiene que ser perpendicular a la recta r y s se debe cumplir que: AB u 0 s t s t s t 0 AB v 0 s t s t 4s t 0 Resolviendo las dos ecuaciones, obtenemos que t y s 7 7 Luego, los puntos A y B que están a mínima distancia tienen de coordenadas A,, 7 7 7 y B 4 3,,,, 7 7 7 7 7 7
x 5 y z 3x y z Sea r la recta de ecuación y s la recta dada por 4 x y 3z a) Determina la posición relativa de ambas rectas. b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Calculamos las ecuaciones implícitas de la recta r. x 5 y z x 5 y 4 x y 4 4x 0 z x z 0 3x y z x y 3z Formamos el sistema con las ecuaciones de las dos rectas: y calculamos el xy xz 0 rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada del sistema. Como sale que el rango(a) = 3 y el rango (M) = 4, las dos rectas se cruzan. b) Calculamos el vector director de la recta s i j k 3 6 i j 6 k k 9 j i (4,8, 4) 3 Calculamos el haz de planos que contiene a la recta r. x y k(x z 0) 0 ( k) x y kz 0k 0 El vector normal del plano ( k,, k) y el vector director de la recta (4,8,4), tienen que ser perpendiculares, luego, su producto escalar es cero. ( k,, k) 4,8, 4 0 4 8k 6 4k 0 4k 0 k 5 Luego el plano pedido es: 9x y 5z 49 0.
x y z Considera la recta r de ecuaciones x y 3z 0 a) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ. b) Calcula la proyección ortogonal del punto A (,,) sobre la recta r. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Calculamos el haz de planos que contiene a la recta r. x y z k( x y 3 z) 0 ( k) x ( k) y ( 3 k) z 0 El vector normal del plano ( k, k, 3 k) y el vector director del eje OZ (0,0,), tienen que ser perpendiculares, luego, su producto escalar es cero. Luego el plano pedido es: x 5y 3 0. ( k, k, 3 k) 0, 0, 0 3k 0 k 3 b) Pasamos la recta r a paramétricas 5t x 3 x y z t y x y 3z 0 3 z t 5t t Cualquier punto B de la recta r, tendrá de componentes: B,, t. El vector 3 3 5t 5 t AB,, t y el vector director de la recta ( 5,,3) 3 3 u, tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar vale cero. 5 t 5 t 5 5 t,, 5,,3 0 0 t AB u t 3t 3 0 t 7 3 3 3 3 9 Luego el punto B será: 5t t 7 B,, t,, 3 3 9 9 9
Considera los puntos A (,,) y B (0, 4,) y la recta r de ecuación a) Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B. b) Calcula el área del triángulo de vértices ABC. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x y z 3 a) Pasamos la recta r a paramétricas x t z 3 x y y t z 3 t Cualquier punto C, tendrá de componentes C ( t, t,3 t). Como queremos que el punto C equidiste de A y de B, entonces, el módulo del vector AC BC. tiene que ser igual al módulo del vector Calculamos las coordenadas de dichos vectores: AC ( t, t, t) y BC ( t, t, t) e igualamos sus módulos: ( t ) ( t) ( t) t ( t ) ( t) t Luego el punto C será: C (,,) b) El área pedida es S = AB AC AB (,3, ) ; AC ( 3,0, ). i j k S AB AC módulo 3 módulo ( 3 i j 9 k) 9 8 4'76 u 3 0
Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano de ecuación x y z y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área8 3. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. C B A Un plano paralelo al plano x y z es el x y z D. Los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados serán: A ( D,0,0) ; B (0, D,0) y C (0,0, D) El área pedida es S = AB AC AB ( D, D,0) ; AC ( D,0, D). i j k 4 S AB AC módulo D D 0 módulo ( D i D j D k ) 3D 8 3 D 0 D D 3 8 3 D 36 6 Por lo tanto, hay dos planos que cumplen la condición pedida que son: x y z 6 y x y z 6
x y z 3 Sea la recta r de ecuación y el plano de ecuación x y z 0. 3 Calcula el área del triángulo de vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r y el plano, B el punto (,,) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano. MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Calculamos el punto de corte de la recta r con el plano. Para ello pasamos a paramétricas la xt x y z 3 ecuación de la recta y 3t y la sustituimos en el plano. 3 z 3 t 7 t 3t 3 t 0 7 3t 0 t 3 7 7 0 Luego las coordenadas del punto A son: A, 7,3,5, 3 3 3 3 Calculamos la proyección ortogonal del punto B sobre el plano. Para ello calculamos la recta que pasa por B y es perpendicular a. x t y t z t El punto C es el punto de corte del plano con dicha recta 4 t t t 0 4 3t 0 t 3 4 4 4 7 Luego las coordenadas del punto C son: C,,,, 3 3 3 3 3 3 El área pedida es S = AB AC 4 4 8 8 AB, 4, ; AC,,0 3 3 3 3. i j k 4 4 3 3 64 S AB AC módulo 4 módulo i, j, k 3 3 9 9 9 8 8 0 3 3 04 04 4096 4'35 u 8
Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuación x y z, es paralela al plano de ecuación 3x y z 4 y pasa por el punto A(,, ). MATEMÁTICAS II. 006. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. A B n Cualquier punto B de la recta r x y z, será: B ( t, t, t). Calculamos el vector director de la recta que buscamos que será AB ( t, t, t ). Como la recta que buscamos tiene que ser paralela al plano 3x y z 4, el vector AB y el vector normal del plano n (3,, ) serán perpendiculares, luego su producto escalar valdrá cero. AB n 0 ( t, t, t ) (3,, ) 0 4t 8 0 t Luego la recta que nos piden pasa por A(,, ) y su vector director es AB (,0,3), luego su xt ecuación paramétrica será: s y z 3t
x 0 Determina los puntos de la recta r de ecuaciones z 3 que equidistan del plano de y ecuación xz y del plano ' de ecuación yz 3. MATEMÁTICAS II. 006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x 0 x 0 Pasamos la recta r a paramétricas z 3 y t y por tanto podemos tomar como y z 3 t punto genérico de la recta P (0, t,3 t). Como piden los puntos que equidistan de los planos y ', tenemos que d( P, ) d( P, '), luego: 0 3 t t 3 t 3 t 5 t d( P, ) d( P, ') t 5 t de donde salen las ecuaciones: 7 4 5 t 5 t t 0,, 3 P 3 3 t 5 t t 3 P 0, 4,9
Considera los puntos A(,0, ) y B (, 3,) a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación x y z. Depende el resultado de la elección concreta del punto C? MATEMÁTICAS II. 006. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) A M B Observamos la siguiente igualdad entre vectores AB 3 AM, y como AB ( 3,3,3) y AM ( x, y, z ), obtenemos: ( 3,3,3) (3x 3,3 y,3z 6) x 0; y ; z, es decir el punto M es M (0,, ) También se observa que el punto N es el punto medio del segmento MB, es decir: M B 0 3 N,, (,,0) b) Antes de calcular el área del triángulo de vértices A, B y C escribimos la recta r en forma xt x y z paramétrica r y t z t Cualquier punto C de la recta r tiene de coordenadas C ( t, t, t). Calculamos los vectores AB y AC. AB ( 3,3,3) y AC ( t, t, t ) i j k 3 3 3 (3t 6) i ( 3t 3) j (3t 3) k (3 3 t) i (3t 6) j ( t ) k (3,3,0) t t t 3 S = AB AC = 9 9 0 u Vemos que el área no depende del parámetro t, luego no depende de la elección del punto C.