Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sólo puede ser compatible determinado si n = m.) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 F V F F F V F V Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 C D A D B A Respuestas a la versión 2: (La versión 2 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Toda matriz cuadrada tiene el mismo determinante que cualquiera de sus formas escalerizadas..) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 F F V F V F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 B A B D C E Respuestas a la versión 3: (La versión 3 es aquélla cuyo primer ejercicio dice La matriz tiene rango 2 para todos los a, b R..) 0 2 a + b a b 4 2a 3 1
Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 V F F F V F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 E D B E B C Respuestas a la versión 4: (La versión 4 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Si u, v y w son vectores no nulos tales que u, v = 0 y (u v) w = 0, entonces u y w no pueden ser colineales..) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 V F V F F F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 A C E D C C 2
1 Ejercicios de tipo verdadero/falso 1. Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sólo puede ser compatible determinado si n = m. Respuesta: FALSO. Contraejemplo: en el caso donde m = 3, n = 1, el sistema x = 0 2x = 0 3x = 0 es compatible determinado, pero n m. 2. La matriz 0 2 a + b tiene rango 2 para todos los a, b R. a b 4 2a 3 Respuesta: VERDADERO. Escalerizándola, tenemos: 0 2 a + b 0 2 a + b 0 2 a + b a b 4 2a 3 0 4 2a 2b 0 0 0 Entonces, dicha matriz tiene rango a lo sumo igual a 2, y es claro que tiene rango exactamente igual a 2 cuando a 0. Entonces, sólo consideramos el caso a = 0. Tenemos: tiene rango dos si y sólo si 0 b 2b 3 0 2 b 0 0 0 ( b 2b 3 2 b tiene rango dos, si y sólo si b 2 4b + 6 0. El discriminante del polinomio es: ( 4) 2 4(1)(6) = 8. Entonces, este polinomio nunca se anula, y la matriz inicial tiene rango 2 en todos los casos. 3. Si A y B son matrices simétricas, entonces AB = BA. Respuesta: FALSO. Contraejemplo: ( ) 0 1 A = y B = 1 2 ) ( 1 2 2 3 ). En este caso AB = ( 2 3 5 8 ) y BA = ( 2 5 3 8 ). 3
4. Toda matriz cuadrada tiene el mismo determinante que cualquiera de sus formas escalerizadas. Respuesta: FALSO: Durante el proceso de escalerización, se puede multiplicar por una matriz elemental de determinante distinto de uno. (Por ejemplo: multiplicar cualquier fila por un número distinto de 1.) 5. Es posible elegir a, b, c, d R de modo que el conjunto de puntos de R 3 que satisfacen la ecuación ax + by + cz = d sea una recta. Respuesta: FALSO: Distinguimos tres casos: (a) Si (a, b, c) (0, 0, 0), este conjunto es un plano. (b) Si (a, b, c) = (0, 0, 0) y d 0, este conjunto es vacío. (b) Si (a, b, c) = (0, 0, 0) y d = 0, este conjunto es R 3. 6. El plano de ecuación (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 2, 1) + µ(3, 0, 1) y la recta de ecuación (x, y, z) = (1, c, c 2 ) + λ(1, 1, 2) no son perpendiculares para ningún valor de c R. Respuesta: VERDADERO. Por definición, u = (1, 2, 1) es un vector director del plano, y v = (1, 1, 2) es un vector director de la recta. Como u, v = 5, no pueden ser perpendiculares. (El valor de c no tiene importancia.) 7. La distancia entre el punto P = (1, 0, 0) y la recta de ecuación (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 2, 3) es 2. Respuesta: FALSO. Observemos que el punto Q = (0, 1, 0) está en la recta dada y que la distancia entre P y Q es 2. La distancia de P a la recta sólo puede ser 2 si P Q es perpendicular a la recta. Pero P Q, (1, 2, 3) = ( 1, 1, 0), (1, 2, 3) = 1, por lo que esto no sucede. (Alternativamente, se podría calcular la distancia de P a la recta, lo que da 27/14. 8. Si u, v y w son vectores no nulos tales que u, v = 0 y (u v) w = 0, entonces u y w no pueden ser colineales. Respuesta: VERDADERO. Supongamos que u, w son colineales, es decir: u w = 0. Entonces v w = (u (u v)) w = u w (u v) w = 0, por lo que v y w son colineales. Pero como w no es nulo, u y v son colineales. Y como u, v no son nulos: u, v 0. Contradicción. 2 Ejercicios de tipo múltiple opción Ejercicio 1 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones con parámetro λ R, (λ 2 1)x + (λ 1)y + (λ 1)z = λ 1 (λ 2 1)x + (2λ 1)y + (λ + 1)z = 2λ 1 (λ 2 1)x y + (3λ 1)z = 3 (A) El sistema es incompatible solamente para un valor de λ. (B) El sistema es compatible determinado solamente para tres valores de λ. 4
(C) El sistema es compatible indeterminado solamente para un valor de λ. (D) El sistema es incompatible solamente para tres valores de λ. (E) El sistema es compatible indeterminado solamente para dos valores de λ. Respuesta: La matriz ampliada del sistema dado es λ 2 1 λ 1 λ 1 λ 2 1 2λ 1 λ + 1 λ 2 1 1 3λ 1 λ 1 2λ 1 3 que tras la aplicación de transformaciones elementales se transforma en λ 2 1 λ 1 λ 1 λ 1 0 λ 2 λ. 0 0 λ + 1 2 Cuando λ 1, 0, 1 esta matriz está escalerizada. En este caso, tanto la matriz como la matriz ampliada tienen 3 escalones, y por lo tanto el sistema es compatible determinado. Cuando λ = 1, la última fila da origen a la ecuación 0z = 2, por lo que el sistema es incompatible. Cuando λ = 0, al escalerizar la matriz obtenemos 1 1 1 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 Por lo tanto en este caso el sistema es incompatible. Cuando λ = 1, al escalerizar la matriz obtenemos 0 1 2 1 0 0 1 1., 0 0 0 0 y el sistema es compatible indeterminado. Conlcuimos que la respuesta correcta es: El sistema es compatible indeterminado solamente para un valor de λ. Ejercicio 2 Sean A y B matrices de 3 3 con coeficientes en R tales que a b c d e f A = d e f B = 2a 2b 2c det(a) = 5. g h i g + 3d h + 3e i + 3f (A) det(2ab 1 ) = 1 (B) det(2ab 1 ) = 8 3 (C) det(2ab 1 ) = 2 (D) det(2ab 1 ) = 4, 5
(E) det(2ab 1 ) = 2 3 Respuesta: La matriz B se obtiene a partir de A haciendo las siguientes operaciones: (i) Intercambiando dos filas. (ii) Multiplicando una fila por 2. (iii) Sumando a una fila un múltiplo de otra. La operación (i) cambia el signo del determinante, la (ii) multiplica el determinante por 2 y la (iii) no afecta el determinante. Por lo tanto det(b) = 2 det(a) = 10. Entonces det(2ab 1 ) = 2 3 det(ab 1 ) = 2 3 det(a) det(b 1 ) = 2 3 det(a)/ det(b) = 4. Ejercicio 3 Sea B = b + 2 1 2 0 0 b + 2 0 2 b 1 0 b 1 0 b + 2 1 2 b b R. (A) Si b 2 el rango de la matriz B es 4. (B) Si b 2 el rango de la matriz B es 4. (C) Si b 0 el rango de la matriz B es 4. (D) Si b < 0 el rango de la matriz B es 4. (E) Si b 1 el rango de la matriz B es 4. Respuesta: El determinante de la matriz dada es b 2 (b + 2)(b 1), que es distinto de cero para b 2, 0, 1. Entonces el rango de esta matriz es 4 para b 2, 0, 1 y menor que 4 para b = 2, 0, 1. Concluimos que la respuesta correcta es: Si b 2 el rango de la matriz B es 4. Ejercicio 4 Se consideran los planos π 1 ) 2x + 3y + z = 1 y π 2 ) (A) Los planos π 1 y π 2 son paralelos y su distancia vale 2. x = 1 + λ µ y = 1 + λ + 5µ z = 2 + λ µ (B) Los planos π 1 y π 2 son coincidentes y contienen los puntos P = (0, 0, 1) y Q = (1, 1, 2). (C) Los planos π 1 y π 2 son coincidentes y contienen los puntos P = (0, 0, 1) y Q = (1, 3, 2). (D) Los planos π 1 y π 2 se cortan en una recta cuya dirección está dada por el vector v = ( 1, 1, 1). (E) Los planos π 1 y π 2 se cortan en una recta cuya dirección está dada por el vector v = ( 1, 3, 3). La dirección normal a π 1 está dada por el vector n 1 = (2, 3, 1).. 6
El plano π 2 tiene como vectores directores a (1, 1, 1) y ( 1, 5, 1), por lo que la dirección normal a π 2 está dada por su producto vectorial i j k (1, 1, 1) ( 1, 5, 1) = 1 1 1 = ( 6, 0, 6), 1 5 1 que es colineal con n 2 = ( 1, 0, 1). Como n 1 y n 2 no son colineales, los planos π 1 y π 2 ni son el mismo ni son paralelos, y deben intersectarse en una recta. Dicha recta tiene dirección dada por i j k n 1 n 2 = 2 3 1 = (3, 3, 3), 1 0 1 que es colineal con ( 1, 1, 1). Ejercicio 5 Sean v y w dos vectores en R 3 que cumplen que 2v w es perpendicular a w, 5v = 10 y que el ángulo entre v y w es π/4. (A) w = 2. (B) w = 8. (C) w = 5. (D) w = 1/ 2. (E) w = 2. Respuesta: Si 5v = 10, tenemos que v = 2. Por otro lado, si 2v w w, 0 = 2v w, w = 2 v, w w, w = 2 v, w w 2 y entonces 2 v, w = w 2. Esto es, 2 v w cos(π/4) = w 2, o 2 v cos(π/4) = w. Como v = 2 y cos(π/4) = 1/ 2, tenemos que w = 2 2 = 8. { 2x + y + z = 0 x y = 1 Ejercicio 6 Sea π el plano perpendicular a la recta r) y que contiene a la recta s) x = 1 + 2λ y = 2 + λ z = 3 + λ. Consideremos el punto Q = (3, 2, 1). Entonces la distancia del punto Q al plano π vale: (A) 8/ 11 (B) 8/ 6 (C) 2/ 11 (D) 2/ 6 (E) 4/ 11 7
Respuesta: Dos puntos de la recta r son P = (1, 0, 2) y P = (0, 1, 1), por lo que la dirección de esta recta está dada por el vector P P = P P = (1, 1, 3). Como el plano π es perpendicular a r, la dirección normal a π está dada por P P. Como s π, el punto Q = (1, 2, 3) pertenece a π. Entonces la distancia de Q a π está dada por d(q, π) = Q Q, P P = P P (2, 0, 2), (1, 1, 3) (1, 1, 3) = 8 11. 8