PRIMER PARCIAL DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL I 17 de mayo de 2000

Transcripción

1 PRIMER PARCIAL DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL I 17 de mayo de 2000 HOJA PARA EL ESTUDIANTE 1. Completar los datos personales en la tabla que aparece al dorso. 2. La duración del parcial es de tres horas. 3. Una vez iniciada la prueba no se permitirá salir del salón bajo ningún concepto. El estudiante sólo se levantará del banco para entregar el parcial y retirarse del salón. 4. Datos personales en el parcial: al recibir el enunciado completar los datos identificatorios (apellido, nombre, número de cédula de identidad, número de parcial, etc.) y de rellenar los óvalos correspondientes a la cédula de identidad y al número de parcial en la hoja del escáner del parcial. Poner también el nombre y número de cédula en la primera página de los enunciados. No hay que escribir nada en el sitio denominado Casilla de Control. 5. No se permite el uso de ningún tipo de material ni calculadoras. Se solicita apagar los celulares. 6. No se responderá ningún tipo de consulta, la comprensión de la letra es parte de la prueba. 7. Cada pregunta sólo tiene una opción correcta. Rellenar el óvalo correspondiente a la opción que considere correcta. La única información que se tendrá en cuenta para corregir el parcial será la que aparezca en la hoja del escáner. Es responsabilidad del estudiante poner allí lo que pretende que se corrija. 8. Puntuación: Cada respuesta correcta vale 4 puntos, cada pregunta sin respuesta vale 0 punto y cada respuesta incorrecta vale 1 punto. La nómina de respuestas correctas será publicada en la página web del curso Geometría y Algebra Lineal I luego de finalizado el parcial, y en las carteleras del Instituto de Matemática (IMERL) el jueves 18 de mayo por la mañana. 9. Se sugiere tomar nota de las respuestas dadas a las preguntas del parcial, a efectos de control y formulación de eventuales reclamaciones (ver al dorso). 10. Los puntajes obtenidos por los estudiantes en este parcial se darán a conocer el lunes 29 de mayo a las 17:00 horas, en las carteleras del IMERL y en la página web del curso. 11. Al finalizar el parcial deberá entregarse completo el juego de hojas engrampadas que contiene la carátula (hoja para el escáner) y las preguntas del parcial. 1

2 2 Formulario de control y reclamaciones Esta hoja no tiene valor de documento. Es para que el estudiante anote sus respuestas y pueda compararlas con las respuestas correctas que serán publicadas en cartelera. Los distintos tipos de examen serán distinguidos por el primer problema. Parcial No. Apellido y nombre Cédula PRIMER RENGLÓN DEL PRIMER PROBLEMA: RESPUESTAS DADAS POR EL ESTUDIANTE Por RECLAMOS SOBRE EL PUNTAJE OBTENIDO, anotarse en la secretaría del IMERL hasta el viernes 2 de junio de 2000 a las 12 horas, depositando en la urna de Geometría y Algebra Lineal I, esta hoja (o su fotocopia) luego de haber completado toda la información que se solicita en las dos tablas que aparecen en ella (la primera tabla se habrá llenado durante el parcial). No se recibirán reclamos vencido el plazo estipulado. Las dudas sobre resolución de ejercicios se contestarán en las clases prácticas. Se ruega no llamar por teléfono al IMERL. COMPLETAR EN CASO DE RECLAMACION RESPUESTAS CORRECTAS DADAS POR EL INSTITUTO Total de puntos a obtener según el estudiante: Total de puntos obtenidos según la publicación en cartelera: Motivo del reclamo: El viernes 9 de junio se dará respuesta en las carteleras del Instituto a los reclamos recibidos.

3 PRIMER PARCIAL DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL I 1 17 de mayo de Apellido y nombre Cédula de Identidad No. Parcial PROBLEMAS Problema 1. Sea {0, v 1, v 2, v 3 } un sistema de coordenadas. Se dan los planos: π 1 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 π 2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 π 3 ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 π 4 ) a 4 x + b 4 y + c 4 z = d 4 Se sabe que existe un punto P 0 que pertenece a los cuatro planos. Se definen las matrices a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 d 1 A = a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ; B = a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 a 4 b 4 c 4 d 4 Se consideran las siguientes afirmaciones: I. rango(a)=rango(b). II. B 0. III. Si además existe un punto P 1 P 0 tal que P 1 entonces la recta (r) determinada por P 0 y P 1 esta contenida en los cuatro planos. 4 i=1 π i (A) (B) (C) (D) (E) Las tres afirmaciones son correctas. Sólo la afirmación (I) es correcta. Sólo las afirmaciones (II) y (III) son correctas. Sólo las afirmaciones (I) y (III) son correctas. Sólo la afirmación (III) es correcta.

4 2 Problema 2. Sea A = A 1 A 2 A 3 una matriz 5 3, donde A j R 5 con j = 1, 2, 3 es la columna j-esima de la matriz A. Sea E = una matriz escalerizada, obtenida a partir de A realizando transformaciones elementales sobre las filas de esta. Se consideran las siguientes afirmaciones: I. {A 1, A 2 } es L.I. (linealmente independiente). II. {A 1, A 3 } es L.I. (linealmente independiente). III. {A 2, A 3 } es L.I. (linealmente independiente). IV. {A 1, A 2, A 3 } es L.I. (linealmente independiente). (A) (B) (C) (D) (E) Todas las afirmaciones son verdaderas. Sólo las afirmaciones I y III son verdaderas. Sólo las afirmaciones I y II son verdaderas. Sólo la afirmación III es verdadera. Sólo las afirmaciones I, III y IV son verdaderas. Problema 3. Se considera la matriz M = Indicar la opción correcta: (A) Las filas de M son linealmente independientes. (B) El sistema homogéneo M x = 0 es compatible determinado. (C) Existe una matriz columna b tal que el sistema Mx = b es incompatible. (D) rango(m) = 2 (E) det(m) > 0

5 3 Problema 4. Sean las matrices A = a 1 + d 2 y B = a d 1 con a, b, c, d R a + b c + d 2 b c 1 Se consideran las siguientes afirmaciones: I. det(a) = det(b), a, b, c, d R. II. det(a) = 2 det(b), a, b, c, d R. III. det(a) = det(b) + 3(a d), a, b, c, d R. IV. El sistema AX = t es compatible determinado t R 3 si y solo si ad cd 0. Indicar cuál de las siguientes opciones es necesariamente correcta: (A) (B) (C) (D) (E) Sólo las afirmaciones I y IV son correctas. Sólo las afirmaciones III y IV son correctas. Sólo las afirmaciones II y IV son correctas. Sólo la afirmación II es correcta. Sólo la afirmación IV es correcta. Problema 5. Sean B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } con v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (2, 1, 1), v 3 = (4, 2, 1), v 4 = (2, 1, 3). (A) B es L.I. (linealmente independiente). (B) B es L.D. (linealmente dependiente) y podemos escribir v 2 = αv 1 + βv 3 + γv 4 con α = 2. (C) B es L.D. (linealmente dependiente) y podemos escribir v 2 = αv 1 + βv 3 + γv 4 con α = 1. (D) B es L.D. (linealmente dependiente) y podemos escribir v 2 = αv 1 + βv 3 + γv 4 con α = 0. (E) B es L.D. (linealmente dependiente) y podemos escribir v 2 = αv 1 + βv 3 + γv 4 con α = 1. Problema 6. Se considera la siguiente: Proposición Sea A una matriz n n invertible entonces det(a) 0. y los siguientes esquemas de la demostración: Esquema de demostración 1. Sea E la forma escalerizada reducida de A, como A es invertible entonces rango(a) = n y por lo tanto E = I (donde I indica a la matriz identidad). Del proceso de escalerización y de las propiedades del determinante se deduce que det(a) = ( 1) s (β 1 β 2... β r ) det(e) donde s es el número de veces que se permutaron filas en el proceso de escalerización y cada β i es el inverso del número por el que se multiplicó una fila al escalerizar.

6 4 Como β i 0 i = 1,..., r y det(e) = det(i) = 1 se deduce que culminando la demostración. 0 = 1 {}}{{}}{ det(a) = ( 1) s (β 1 β 2... β r ) det(e) 0 Esquema de demostración 2. Como A es invertible existe B matriz n n tal que AB = B. Por otra parte, como el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada una de ellas se tiene que det(a) det(b) = det(ab) = det(b) y consecuentemente simplificando det(b) a ambos lados de la igualdad anterior se tiene que como queríamos. det(a) 0. Esquema de demostración 3. Demostremos la proposición por inducción completa en n. Paso base: n = 1. A = ( a 11 ). Para que A sea invertible el número a11 debe tener inverso y por lo tanto a 11 0 de donde det(a) = a Paso inductivo. Supongamos el resultado cierto para matrices de tamaño (n 1) (n 1) y probémoslo para matrices n n. Desarrollando por la primera columna se tiene: n det(a) = ( 1) 1+i a i1 det(a i1 ) i=1 donde A i1 es la matriz adjunta del elemento a i1 de A. Ahora bien como A es invertible entonces las matrices A i1 son también invertibles i = 1,..., n y como tienen tamaño (n 1) (n 1) se deduce de la hipótesis de inducción que (1) Por otra parte se tiene que (2) det(a i1 ) 0, i = 1,..., n a i1 0, i = 1,..., n, pues, si a i1 fuera nulo para algún i se tiene que det(a i1 ) = 0 contradiciendo (1). En consecuencia utilizando (1) y (2) se deduce que n det(a) = ( 1) 1+i a i1 det(a i1 ) 0 pues todos los términos de la sumatoria anterior son no nulos. i=1 (A) (B) (C) (D) (E) Todas los esquemas de demostración son correctos. Sólo los esquemas de demostraciones 1 y 2 son correctas. Sólo los esquemas de demostraciones 1 y 3 son correctas. Sólo los esquemas de demostraciones 2 y 3 son correctas. Sólo el esquema de demostración 1 es correcto.

7 5 Problema 7. Sea (V, K, +, ) un espacio vectorial cualquiera. Se considera la siguiente Propiedad. 0.v = 0, v V. y las siguientes demostraciones: Demostración 1. Sea v V, como V es un espacio vectorial entonces v = (x 1, x 2,..., x n ) con x i K, i = 1,..., n por lo tanto 0.v = 0(x 1, x 2,..., x n ) = (0x 1, 0x 2,..., 0x n ) = (0, 0,..., 0) = 0. Demostración 2 Sea v V entonces 0.v = (0 + 0)v = 0.v + 0.v de donde sumando el opuesto de 0.v de ambos lados de la igualdad anterior se tiene que 0.v + ( 0.v) = 0.v + 0.v + ( 0.v) = 0 = 0.v. Demostración 3 Sea v V entonces 0.v = 0.v + 0 = 0.v + (v + ( v)) = (0.v + v) + ( v) = (0 + 1)v + ( v) = 1.v + ( v) = v + ( v) = 0. (A) Las tres demostraciones son correctas. (B) Sólo la demostración 1 es correcta. (C) Sólo las demostraciones 2 y 3 son correctas. (D) Sólo las demostraciones 1 y 3 son correctas. (E) Sólo las demostraciones 1 y 2 son correctas. Problema 8. Se consideran los planos π 1 ) x + y 2z = 1 y π 2 ) 2x + y + az = 1 con a R. (A) El plano π 1 es paralelo al plano π 2 a R (B) El plano π 1 es paralelo al plano π 2 solo si a = 2 (C) El plano π 1 es paralelo al plano π 2 solo si a = 1 (D) El plano π 1 es paralelo al plano π 2 solo si a = 1 2 (E) El plano π 1 no es paralelo al plano π 2 para ningún a R

8 6 Problema 9. Se consideran las rectas r 1 ) x = 1 + 2λ y = 2 4λ z = 1 + 2λ { x y + 1 = 0 y r 2 ) x z 2 = 0 (A) Las rectas r 1 y r 2 son paralelas pero no coincidentes. (B) Las rectas r 1 y r 2 están ambas incluidas en el plano π)x z = 2. (C) La recta r 1 y la recta r 2 son coincidentes. (D) Las rectas r 1 y r 2 se cruzan sin cortarse. (E) Las rectas r 1 y r 2 están ambas incluidas en el plano π)x + y + z = 2. Problema 10. Sean A y B dos matrices n n invertibles y λ 0 un número real. (A) λab es invertible y su inversa es λa 1 B 1. (B) λab es invertible y su inversa es 1 λ A 1 B 1. (C) λab es invertible y su inversa es 1 λ B 1 A 1. (D) λab es invertible y su inversa es λb 1 A 1. (E) λab puede no ser invertible.