ANÁLISIS HISTÓRICO DE LOS FUNDAMENTOS LÓGICOS DE LA MATEMÁTICA PARA LA CLASE DE BACHILLERATO

ANÁLISIS HISTÓRICO DE LOS FUNDAMENTOS LÓGICOS DE LA MATEMÁTICA PARA LA CLASE DE BACHILLERATO Mª Remedios Macías Hernández Licenciada en Matemáticas y en Ciencias y Técnicas Estadísticas INTRODUCCIÓN. La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo por numerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más refinados instrumentos de investigación. Estas crisis a que aludimos han seguido invariablemente, como inevitable secuela, a las innovaciones más radicales experimentadas por la Matemática en el curso de su historia. Una de las más importantes, merecedora de ser siquiera mencionada aquí, fue la gran crisis epistemológica que siguió a la creación de la Geometría analítica por Renato Descartes, hacia 1637, y del Cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del siglo XVII) y que prolongándose durante todo el siglo XVIII, sólo vino a ser superada en el pasado siglo por obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros, al lograr estos matemáticos establecer, por primera vez, con claridad y precisión, los conceptos de número real, de límite, de infinitesimal, de continuidad, de convergencia... Los matemáticos del siglo XVIII, ocupados en desarrollar las consecuencias del nuevo cálculo y sus múltiples e importantes aplicaciones a la Geometría, a la Mecánica, a la Física y a la Astronomía, casi no se preocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafísica invadió sus concepciones básicas. A finales del siglo XIX, un grupo de importantes matemáticos alemanes, franceses, americanos, etc. estuvo inmerso en una discusión a fondo sobre los fundamentos de las matemáticas. Se trataba de eliminar una serie de paradojas que habían surgido en Teoría de Conjuntos (a partir de ahora, TC), explicar la aparición de ciertas geometrías no 102

euclídeas y ciertas curvas monstruosas que llenan un cuadrado, etc.; pero también se discutió sobre lo que es o no aceptable en matemáticas. Existe el mito de que la matemática es una ciencia exacta y más precisamente, que se distingue del resto de las ciencias por expresar verdades absolutas (signifique esto lo que signifique). Gozamos, pues, de este privilegiado prestigio de pureza. Sin embargo, hemos pasado (como el resto de ciencias) por nuestras propias crısis. Detallo algunos ejemplos bien conocidos: Aparición de números irracionales. Creación de Geometrías No-Euclídeas y Geometrías Fractales. Crisis de los fundamentos asociada al desarrollo de la teoría de conjuntos. En los ejemplos mencionados hay dos tipos de crisis bien diferenciados. De una parte, están aquellas que, como en el caso del descubrimiento de los números irracionales o de la necesidad de introducir el rigor en numerosas partes del Cálculo Infinitesimal, se pueden resolver completamente mediante la introducción de nuevos conceptos matemáticos o, simplemente, mediante una revisión cuidadosa de lo que se conocía en la época. De otra parte, están las crisis que deben su origen a la aparición de paradojas lógicas y semánticas, y cuya solución, en algunos casos, aún no es completa. En particular, podemos destacar en este punto la crisis debida a la aparición de paradojas en el seno de la teoría de conjuntos. 1-. LAS PARADOJAS. 1.1-. Conjeturas. Las matemáticas ofrecen un conocimiento seguro basado en el razonamiento deductivo. Para probar un resultado en matemáticas es válido no basta con probar que se cumple para unos serie de casos particulares, aunque estos casos sean numerosos. Las conjeturas son juicios que se forman de una cosa por señales o indicios que se tienen de ellas. En matemáticas formulamos en ocasiones enunciados de forma conjetural, es decir, proponemos resultados que nos parecen verdaderos porque se cumplen en muchas ocasiones. Algunas veces los resultados formulados resultan ser ciertos, pero, en otras ocasiones, concluimos que son falsos. A lo largo de la historia de las matemáticas se han formulado muchas conjeturas, voy a destacar unas pocas conjeturas numéricas debido a que vamos estudiar una conjetura partiendo de la observación de la sucesión de los números impares. a) Conjetura de A. De Polignac (1817-90): Todo número impar se puede poner como suma de una potencia de dos y un número primo 5= 4+1, 7=4+3, 9=4+5, 11=8+3, 13=8+3 15=8+7... b) Conjetura de Christian Goldbach (1690-1764) Fue mencionada por primera vez en una carta de Christian Goldbach, profesor de matemática de San Petersburgo y tutor del zar Pedro II de Rusia, a Euler en 1742. La conjetura afirma que cualquier número par y 103

mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos 4 =3+1, 8= 5+3, 10 =3+7, 18 = 13 +5, 36 =31+5 50 = 3 + 47 c) Conjeturas para fórmulas polinómicas generadoras de números primos: El polinomio 2x 2 + 29 produce números primos para valores enteros de x comprendidos entre 0 y 28. El polinomio x 2 + x + 41 de Euler podía transformarse en y 2-79y + 1601, con el cambio de variable x = y - 40 y podía dar números primos para ochenta números consecutivos. d) Conjetura de Pierre Fermat: No es posible descomponer un cubo en suma de dos cubos, ni una cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias, ni en general ninguna potencia de exponente de exponente mayor que dos en suma de dos potencias del mismo exponente. Equivalentemente, no existen enteros no nulos a, b, c tales que n n n satisfagan la ecuación a + b = c, para cualquier n mayor que 2. 1.2-. Concepto de paradoja. El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados: 1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera. 2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa. 3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.) 4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible. La paradoja antigua más famosa es la paradoja de Epiménides: el filósofo cretense Epiménides (s. IV a.c.) afirmó que los cretenses siempre mienten ; pero como él era cretense, también mentía, y así la frase es falsa. Por otra parte, la frase no puede ser falsa, pues entonces se deduciría que los cretenses son veraces y que Epiménides dice la verdad. Después del descubrimiento de las geometrías no euclídeas, ningún hecho ha influido de forma tan importante en el desarrollo de los fundamentos de la Matemática como la aparición de las paradojas, pues estimularon los esfuerzos de los matemáticos para que las explicaran y superaran. 1.2.1-. Paradojas lógicas. a-. La paradoja de Cantor. Entre las primeras, cronológicamente hablando, tenemos la paradoja de Cantor (1895), creador de la teoría de conjuntos. En su obra Teoría de Conjuntos, presenta como idea más novedosa la existencia de diferentes infinitos, a través del concepto de cardinal : demostrando que el cardinal de R es mayor que el de N, apareciendo el concepto de infinito no numerable. La paradoja de Cantor aparece cuando se trata la imposibilidad de considerar el cardinal del conjunto de todos los conjuntos. Sea U el conjunto universal, es decir, el 104

conjunto formado por todos los conjuntos. Sea P(U) el conjunto de las partes de U, o lo que es lo mismo, el conjunto formado por todos los subconjuntos de U. El teorema de Cantor dice que el cardinal de un conjunto es menor que el cardinal del conjunto formado por todos los subconjuntos de dicho conjunto. Es decir U < P(U) (1) Pero como P(U) es un conjunto se debe verificar que P(U) U, verificándose que P(U) U (2) Y aquí nos encontramos con la paradoja, ya que no puede suceder de forma simultánea (1) y (2). En 1897, Burali-Forti (que era asistente de Peano), descubrió una paradoja análoga a la de Cantor, pero esta vez relativa a los números ordinales. b-. La paradoja de Russell (Antinomia de Russell). En 1902 Russell escribía una carta a Frege en la que argumentaba lo siguiente: Existen clases (i.e., extensiones de conceptos) que no se pertenecen a sı mismas (e.g., la clase de los animales de granja no es un animal de granja) y otras que sı (e.g., la clase de los conceptos abstractos es un concepto abstracto). Probablemente esta es la paradoja más conocida, y que ha dado lugar a numerosas variantes. Para que se pueda entender la paradoja, tengamos en cuenta que existen clases o conjuntos que pueden pertenecer a sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos debe ser un elemento de sí mismo, al ser otro conjunto. De forma análoga, podemos indicar que si colocamos en un armario un catálogo de tapas azules que cataloga todos los libros de tapas azules, deberá catalogarse a sí mismo. La paradoja es la siguiente: Sea W el conjunto de todos los conjuntos C que no se pertenecen a sí mismos. entonces tendremos que: CW CC. Pero entonces WW lo cual significa que WW. Recíprocamente, si WW, ha de verificarse que WW. En cualquier caso, ha de verificarse de forma simultánea que W pertenece y no pertenece a W. Para entendernos, expondremos la paradoja del barbero : el barbero de Sevilla afeita a todas y sólo a aquellas personas de Sevilla que no se afeitan a sí mismas; la paradoja surge al averiguar si el barbero se afeita a sí mismo o no. 1.2.2 -. Paradojas semánticas. a-. Paradoja de Richard. La paradoja de Richard (1905) se refiere a la imposibilidad de una enumeración de las funciones de la teoría de números, a pesar de la aparente posibilidad de llevarlo a cabo. Se consideran las funciones f tales que a todo número natural n se le hace corresponder un número natural f(n). Supongamos que para escribir correctamente en castellano sean necesarios y suficientes 35 signos (entre letras, acento, espaciado y demás símbolos de puntuación). Entonces, una expresión con m signos no es más que una combinación con repetición de los 35 signos. Es claro que todas estas expresiones (con una cantidad finita de signos) se pueden ordenar, comenzando con los formados por un solo signo, después los de dos, y así sucesivamente, siguiendo el orden lexicográfico. 105

Una vez ordenadas todas las expresiones en correcto castellano hacemos una lista, es decir, numeramos (manteniendo el orden) con E1, E2,... todas aquellas que definan una función en la teoría de números y suprimimos todas las demás expresiones. Llamemos fk(n) la función definida por la expresión Ek. Dado que la sucesión E1, E2,... es infinita, la correspondiente a funciones f1(n), f2(n),... también lo es. Consideremos ahora la siguiente expresión de Richard: La función que para todo número natural toma, aumentando en una unidad, el valor que para ese mismo número natural toma la función que ocupa en la lista el lugar indicado por este mismo número natural Es claro que esta expresión es equivalente a la expresión matemática: La función que para todo número natural n toma el valor fn(n)+1 Ahora bien, la expresión de Richard define una función y, por tanto, ocupa un lugar en la lista. Sea la expresión Ep y sea fp(n) la función correspondiente. Entonces en virtud de la misma definición, resulta que para todo n, fp(n) = fn(n)+1, lo cual es imposible, pues para n=p tendría que ser fp(p)=fp(p)+1. Ejemplo: supongamos que cualquier número natural puede definirse de varias formas utilizando un cierto número de letras. Podemos clasificar ahora todos los números naturales en dos grupos, el primero de los cuales estará formado por aquellos números naturales que puedan definirse con 100 letras o menos, y el segundo los que necesiten 101 letras o más. Por ejemplo: 4 es del primer grupo, pues cuatro tienes 6 letras. Es evidente que solo hay un número finito de naturales que puedan definirse con sólo 100 letras o menos, ya que hay exactamente 27 100 +27 99 + +27 expresiones con 100 letras o menos (variaciones). Si definimos n= menor natural del segundo grupo que no se puede definir con 100 letras o menos expresión que tiene 58 letras, tenemos la paradoja: el menor natural n definible con 100 letras o menos se puede definir con 58 letras!. b-. Paradoja de Berry. Hay otras paradojas. Una de las mas conocidas (y curiosas) se debe a Berry (un amigo de Russell, que era bibliotecario y aficionado a la lógica). Dice lo siguiente: Consideremos el conjunto A de los números naturales que no pueden definirse (en español) utilizando menos de cien palabras. (Este conjunto es no vacío porque el número de posibles definiciones en español que poseen menos de 100 palabras, es finito). Sea n el mínimo de dicho conjunto. Entonces n es el menor número natural que no puede definirse (en español) utilizando menos de cien palabras y, como lo hemos definido con menos de 100 palabras, ordenado., pero esto contradice que N está bien Esta paradoja es interesante porque su formulación no requiere (a primera vista) una alusión directa a conjuntos demasiado grandes... ya que se basa completamente en la aritmética clásica. 106

Russell propuso una teoría para evitar las paradojas anteriores: la teoría de los tipos. Se trata de un argumento un tanto enrevesado, que permite clasificar los diferentes conjuntos que se puedan definir en términos de tipos, de manera que se eviten definiciones que den lugar a círculos viciosos (las definiciones circulares tienen como efecto aumentar el tipo de los conjuntos que definen)... Pero a pesar de que, con la ayuda de Whitehead, Russell desarrollo su teoría bastante en sus famosa obra Principia Mathematica, ésta siempre despertó cierta desconfianza en la comunidad matemática. La verdadera solución al problema de las paradojas ha sido la creación de las diferentes Teorías axiomáticas de conjuntos, desarrolladas a principios del S. XX por Zermelo, Fraenkel, y luego por Neumann y Gödel. 2-. ESCUELAS DE PENSAMIENTO MÁS INFLUYENTES. La aparición de las paradojas tuvo como consecuencia una nueva revisión de los fundamentos de la matemática, y se llegó a la conclusión de que el camino mas firme para avanzar en matemáticas pasaba por el establecimiento de una axiomática. En Teoría de Conjuntos, paradojas como la de B. Russell obligan a utilizar dos caminos: 1) Hay que fijar condiciones sobre que propiedades son admisibles para determinar conjuntos. 2) Ensayar, como ocurre en las teorías axiomáticas de conjuntos, la creación de un sistema de principios a través de los cuales la noción primitiva de conjunto sea en cierta forma iluminada ( definida implícitamente, como se dice en ocasiones). Este segundo camino conlleva la obligación de dar una prueba de consistencia del sistema axiomático en cuestión. Dos de tales sistemas son cultivados hoy día preferentemente: Zermelo-Fraenkel (abreviado, ZF) y Von Neumann-Bernays-Gödel (abreviado, NBG). Para ninguno de los dos ha sido dada una prueba tal de consistencia. Todo lo más que puede decirse es que en ellos no ocurren las paradojas de tipo ruselliano por evitarse en ellos la posibilidad de afirmar como existentes los conjuntos omnicomprehensivos (el conjunto de todos los conjuntos que...). Pero ello no significa que tales sistemas se hayan librado en general de paradojas. Esta vía es la fundamental seguida por la escuela Logicista. Por otra parte, D. Hilbert (que en 1899 había publicado una axiomática completa para la Geometría Euclídea, mucho mas sólida que la ofrecida por Euclides en la antigua Grecia), desarrolló los conceptos necesarios para el estudio de las propiedades formales de las axiomáticas: es lo que entonces se llamo teoría de la prueba y actualmente conocemos como metamatemática. Siendo el principal representante de la escuela Formalista. 2.1-. El Logicismo. El Logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática que considera la lógica como anterior o más fundamental que la matemática, y efectúa la 107

reducción de los conceptos y métodos de inferencia matemática a los correspondientes de la lógica, concluyendo que la matemática no es más que una rama de la lógica, sin duda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de la lógica. El primero en desarrollarla con considerable extensión y con todo rigor fue G. Frege (1848-1925), en su obra La fundamentación de la Aritmética (1884), en la que construye toda la aritmética en términos puramente lógicos. Frege introduce los números naturales en términos puramente lógicos: el 0 corresponde al concepto no idéntico a sí mismo (a a); el 1 es el número correspondiente al concepto idéntico a cero (1={0}); el 2 es el número correspondiente al concepto idéntico a cero o a uno (2 ={0,1}), etc. En esta obra Frege hace frecuente uso de la noción de conjunto de todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propósitos, debido a la aparición de la paradoja de Russell. Esta paradoja estaba enraizada directamente en la suposición por parte de Frege de que dado un concepto (o propiedad), éste delimita perfectamente un conjunto, que es llamado su extensión y que consta precisamente de los objeto que poseen dicha propiedad. Al final de su vida, Frege representante del logicismo- escribía: Me he visto obligado a abandonar la idea de que la aritmética sea una rama de la lógica y por tanto que todo pueda ser demostrado lógicamente. Con mayor extensión aun, lo hizo J. Peano (1858-1932), y finalmente también Whitehead (1861-1947) y B. Russell (1872-1970): en su importante obra Principia Mathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que la Matemática es reducible a un pequeño número de conceptos y de principios lógicos fundamentales. Según estos autores: Toda matemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número muy reducido de conceptos fundamentalmente lógicos, tales que todas sus proposiciones son deducibles de un número muy reducido de principios lógicos. 2.1.1-. El principio de círculo vicioso. B. Russell. Un somero examen de las paradojas nos sugiere inmediatamente que no se ha de poder permitir utilizar, por lo menos en matemáticas y lógica, conjuntos tan grandes y con elementos tan arbitrarios como los conjuntos U y W de Cantor y Russell, que sin embargo satisfacen las precisas condiciones de conjuntos, que estableció Cantor. Sin duda alguna, el análisis del concepto de conjunto, de sus estrictas y justas limitaciones para su empleo en lógica y matemáticas parece ser un problema más difícil que el de evitar las paradojas. Poincaré y Russell vieron que en todas las paradojas hay una especie de círculo vicioso en cuanto que, en todas ellas, hay una definición que contiene lo definido. Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso, que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad de un conjunto no debe formar parte del conjunto», el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos conceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto 108

(cuya definición exige la consideración de todos los elementos del conjunto). Lo que, en la lógica, se diría: una función lógica no puede tener, como uno de sus argumentos, nada que esté definido en términos de la función misma. Para atenuar el alcance del principio del círculo vicioso, Russell introduce el llamado principio de reducibilidad, que ha sido muy combatido por su carácter artificial. 2.1.2-. La reducción de los términos matemáticos en términos lógicos. Los logicistas, en su afán de aislar los elementos lógicos del razonamiento, crearon la lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial se traduce el discurso en fórmulas análogas a las matemáticas, las cuales ponen de relieve las estructuras lógicas. Los símbolos más importantes, de frecuente uso hoy día aún en libros no especializados de lógica matemática, son los siguientes: Como se indica precedentemente, en la obra Principia Matemática de Russell y Whitehead, se establece un sistema axiomático formalizado de la lógica bivalente, constituido por un conjunto de axiomas, definiciones, reglas y teoremas. Sin restar la importancia de precisar, previamente, el lenguaje apropiado y característico del sistema. Las entidades primitivas en las que termina la reducción lógica son en primer lugar las del cálculo proposicional, es decir: Proposición : cualquier sentencia que afirma un estado de cosas o una relación, y que tiene el valor de verdadero o falso. Función proposicional : expresión que contiene, al menos, una variable, de modo que al sustituirla por un valor se obtiene un proposición. Conectivas lógicas de conjunción p p, disyunción, negación p e implicación y variables proposicionales; luego los cuantificadores y las variables del cálculo funcional, es decir, propiedades y relaciones con sus argumentos y finalmente la relación de igualdad. Axiomas del sistema: 1. ( p p) p 2. q ( p q) 3. ( p p) ( q p) 4. [( q r) ] [( p q) ( p r) ] 109

Definiciones del sistema: 1. p q = p q 2. ( p q) = ( p q) 3. p q = [( p q) ( q p) ] Reglas del Sistema: A-. Regla de estructura de expresiones bien formadas 1. p es una expresión bien formada 2. Si p es una expresión bien formada entonces p es una expresión bien formada 3. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p q es una expresión bien formada 4. Si p, q,.., son expresiones bien formadas entonces p q es una expresión bien formada 5. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p q es una expresión bien formada 6. Si p, q,..., son expresiones bien formadas entonces p q es una expresión bien formada B-. Regla de sustitución Si p es una variable, que aparece en una expresión bien formada, p puede sustituirse, toda vez que aparece p en la expresión, por una expresión bien formada en toda y cada aparición de p. C-. Regla de derivación i-. Modus ponens (lógica clásica). Esta se esquematiza de la manera siguiente: Si p q es una expresión que representa un enunciado válido y además se tiene que p es un enunciado válido entonces q es un enunciado válido. También suele utilizarse la siguiente regla esquemática y que es derivable de la anterior: Si p q es una expresión que representa un enunciado válido y además se tiene que q es un enunciado válido entonces p es un enunciado válido. ii-. Modus Tollendo Tollens. (lógica clásica). Una manera de presentar el modus tollens es: Los autores de Principia pretenden logificar todos los teoremas matemáticas en el sentido de reducirlos a proposiciones lógicas verdaderas, formadas exclusivamente por símbolos primitivos lógicos y por otros signos definidos explícitamente, los cuales a su vez pueden ser sustituidas por otras y así sucesivamente hasta poder conseguir que las 110

proposiciones lógicas equivalentes a los teoremas matemáticos contenga solamente los símbolos lógicos primitivos. Es precisamente en el cálculo de funciones proposicionales en donde Russell introduce su discutido axioma de reducibilidad; en su Introducción de 1918 así lo formula: Existe un tipo de funciones -a tal que, dada cualquier función a, ella es formalmente equivalente a una función del tipo en cuestión. Para sortear la paradoja, Russell y Whitehead eligen la teoría (simple o ramificada) de los tipos creando una jerarquía acumulativa, en cuya base se encuentran los individuos, en el segundo nivel los conjuntos, en el tercero los conjuntos de conjuntos, etc. Mediante este artilugio pueden establecerse predicados que se cumplan, pero sólo para objetos dentro de un mismo nivel jerárquico, evitando así las contradicciones. En definitiva, lo que hacen Russell y Whitehead es definir lógicamente los números como clases de clases y, de esta manera, pueden reducir todas las proposiciones numéricas a cuantificadores e identidad. Habiendo separado las funciones proposicionales en tipos de acuerdo con los valores permisibles de x, se postula ahora que cada función proposicional en cualquiera de los tipos mencionados es equivalente a alguna función proposicional de un tipo inferior. El mejor argumento en favor del axioma de reducibilidad es el haberse logrado evitar con él las antinomias. Aquí es claro que no se trata de un axioma lógico, pero podría muy bien ser expresado como una hipótesis cada vez que se lo emplea, en lugar de admitirlo como realmente verdadero. Por sus numerosas críticas, el axioma de reducibilidad fue abandonado posteriormente por Russell y Whitehead. El sistema lógico de los Principios ha sufrido modificaciones varias en los últimos años, sin que se haya logrado establecer su consistencia, la cual muchos consideran improbable. 2.2-. El Formalismo. La doctrina Formalista trata esencialmente de conseguir una completa formalización de la matemática (en particular, de la TC o de la Aritmética), de manera que, al unir al cálculo lógico una correcta interpretación formal de los axiomas de una teoría matemática concreta, podríamos formalizar completamente cualquier afirmación de dicha teor ıa (en particular, cualquier demostración) como una ristra finita de fórmulas abstractas, cuyos símbolos, aislados y sin interpretación, carecen de significado por sí mismos. La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de París de 1900, en la que planteó los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Hilbert no se propone demostrar que la Matemática sea verdadera, sino consistente. De haber triunfado el programa de Hilbert la Matemática y la Lógica habrían quedado como disciplinas autónomas, independientes de la Filosofía. Este ideal 111

parece hoy inasequible, debido a los trabajos recientes de K. Gödel acerca de los cuales trataremos más adelante. Hilbert era platónico, al considerar el ente matemático como existente en sí, como una idea que existe aparte de lo real, independiente de los procesos a partir de los cuales se conoce (por el contra, el resto de escuelas de pensamiento son de corte totalmente empirista). Para él, la Lógica es simplemente una herramienta al servicio de la Matemática. Llevó a cabo la fundamentación de la geometría euclídea en su obra Fundamentos de la Geometría, especificando claramente su axiomatización, y haciendo patente su consistencia relativa respecto de la aritmética y el análisis. En esta obra establece los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclídeas como no euclídeas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completad del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga, pero está claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También está presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros. Todas las dificultades en los fundamentos de la matemática nacen del hecho de que en las matemáticas a menudo se hace uso del infinito actual, es decir, que se suponen como existentes y manejables conjuntos que contienen infinitos elementos. No obstante, en la deducción de los teoremas matemáticos si bien es verdad que se maneja el infinito el número de pasos lógicos que se realizan en cualquier demostración de cualquier teorema es necesariamente finito. 2.2.1. El programa de Hilbert. Elaboración del sistema formal. La idea fundamental de Hilbert al crear la teoría formalista para la fundamentación de la matemática consiste en el concepto de sistema formal, es decir, el establecimiento de un conjunto de teoremas engendrados mediante reglas precisas y objetivas dando leyes constructivas y/o deductivas. Cada uno de estos sistemas contará con sus propios conceptos primitivos, axiomas, reglas deductivas, teoremas, etc. Luego, mediante el establecimiento de un criterio, a saber, la consistencia del sistema formal, se establecerá a través de razonamientos finitos y, por tanto, fuera de toda duda, la validez del contenido de todos los teoremas matemáticos. Hilbert y la escuela formalista pretendían crear un nuevo orden matemático para alcanzar dos objetivos: 1-. Que la reglamentación de los métodos usados sea tan rígida que evite toda discusión. 2-. Que no se tropiece con contradicciones ni paradojas. 112

En un sistema axiomático formal los elementos primitivos (símbolos o términos) carecen en absoluto de contenido esencial explícito y son las piezas de un puro juego sin sentido material en sí mismo, cuyo manejo o único sentido formal viene definido implícitamente por las reglas del juego constituidas por los axiomas y las reglas de inferencia. Por tanto, en un sistema formal tendremos términos, fórmulas, demostraciones, teoremas que son diversas combinaciones de los elementos primitivos de acuerdo con ciertas reglas fijas, pero carece de sentido hablar de verdad o falsedad. En la elaboración de un sistema formal en orden a demostrar la validez de los métodos matemáticos clásicos, podemos distinguir tres etapas que podemos caracterizar con estas tres palabras: axiomas, fórmulas y teoremas del sistema. El método de Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos: 1) Axiomatización. Las propiedades primeras no se demuestran sino se postulan y este sistema de axiomas o postulados proporciona al mismo tiempo una definición indirecta de los conceptos primarios que intervienen en ellos. Los axiomas tienen un carácter puramente arbitrario o convencional (como las reglas del ajedrez), estando sujetos únicamente a una condición esencial: su consistencia o compatibilidad (es decir, no deben ser contradictorios). Hay que determinar en primer lugar cuales son los símbolos a emplear. Podrán ser de diversas clases: símbolos que representan variables o constantes, funciones y predicados que corresponden a entidades matemáticas y luego símbolos que correspondan a las conexiones lógicas del discurso matemático y a los cuantificadores. Con estos símbolos formales se podrán formar sucesiones finitas que llamaremos expresiones formales. 2) Formulación. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simbólico, con objeto de desarrollar la teoría con los métodos de la lógica matemática, métodos que permiten asegurar que en estas deducciones no se apela a recursos extraños al sistema. Las fórmulas constituyen una parte de las expresiones formales. Son aquellas en las que la sucesión de símbolos guarda ciertas reglas. Pero dichas fórmulas no siempre serán expresiones verdaderas (Ej.: = + + =). 3) Demostración de la compatibilidad de los axiomas. Esta es la cuestión fundamental en el formalismo, la cual permite decidir si el sistema construido es legítimo o si carece de sentido. Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemática o doctrina destinada a establecer la compatibilidad de la Matemática mediante un limitado número de proposiciones. Evidentemente sería ilegítimo intentar establecer la compatibilidad haciendo uso de toda la Lógica y toda la Matemática, pues se estaría entonces dando por probada la compatibilidad que se trata de demostrar. Finalmente, tras especificar los axiomas y reglas de inferencia, obtendremos sucesiones de fórmulas de modo que cada una sea un axioma o una inferencia lógica de fórmulas precedentes. A tales sucesiones de fórmulas formales las 113

llamaremos demostraciones (formales) de la última fórmula de la sucesión, la cual se llamará teorema (formal). Dicho todo lo anterior de manera más exacta, un sistema formal consta de: Un sistema formal se dice que es consistente si en él no se pueden derivar (sintácticamente) proposiciones contradictorias. El sistema se dice coherente si las consecuencias sintácticas de éste son tanbien consecuencias semánticas. El sistema se dice adecuado si todas las consecuencias semánticas son a su vez consecuencias sintácticas (i.e., si todas las verdades son deducibles) Finalmente, el sistema se dice completo si para cada proposición p de éste se tiene que bien p es deducible o bien es deducible. 2.2.2-. Teoría de la prueba. Hilbert admite que el empleo del infinito actual en las matemáticas puede, en efecto, representar un salto en lo incomprensible y carecer de evidencia y ser la razón primitiva de la aparición de paradojas. Por consiguiente hay que emplear una teoría de la demostración que, empleando exclusivamente razonamientos evidentes y, por tanto, finitarios, demuestre teóricamente que los métodos de las matemáticas conducen a teoremas verdaderos y son por tanto métodos válidos. Hilbert utilizaba razonamientos concretos y finitos muy sencillos, sin aplicar principios cuestionables como la reducción al absurdo, la inducción transfinita o el axioma de elección. Por tanto, las demostraciones debían ser constructivas. De este modo, la pieza fundamental de la teoría de la pruebaes la noción de consistencia de un sistema formal. Supongamos que, en efecto, se ha construido un 114

sistema formal, cuyos teoremas formales se corresponden mutuamente con los teoremas matemáticos de una cierta rama de la matemática. Si los teoremas matemáticos son verdaderos y tienen un sentido objetivo innegable y el método empleado para obtenerlos es válido, entonces será necesario que el sistema formal sea consistente. Pues a cada teorema matemático deberá corresponder uno formal y a la fórmula contradictoria de la que expresa un teorema tendrá que corresponder una fórmula formalmente indemostrable, de tal manera que en el sistema formal no sea posible que una fórmula y su negación sean al mismo tiempo formalmente indemostrable (condición de consistencia). Inversamente, Hilbert estima que si se demuestra que un sistema formal es consistente y en dicho sistema formal son demostrables formalmente las fórmulas que corresponden a los teoremas de una rama de las matemáticas, ello es suficiente garantía de que los teoremas de esta rama de la demostración de consistencia del sistema formal constituye la clave de la fundamentación formalista de las matemáticas. De lo dicho se desprende el propósito de la teoría de la demostración: demostración de la absoluta veracidad de las matemáticas. Hoy día hay que admitir que la teoría de la demostración de Hilbert no ha conseguido sus fines. Ello ha contribuido a quitar importancia a la propiedad de consistencia de un sistema formal, más a partir de los resultados de Gödel. 2.3-. El Constructivismo. El máximo exponente del constructivismo es el matemático Leopold Kronecker quien, a pesar de haber muerto en el siglo XIX, seguirá manteniendo una notable in.uencia en los periodos posteriores. Dos son las tesis funda mentales del constructivismo de Kronecker: la posibilidad de aritmetización estricta de toda la matemática y la no admisión de definiciones que no permitan decidir lo definido. Esta segunda tesis le había llevado a rechazar, no solo la teoría de conjuntos de Cantor, sino también la caracterización del análisis de Weierstrass y la teoría de los números de Dedekind ya que en ninguno de ambos casos existe un procedimiento para decidir si un número, construido mediante un conjunto infinito, es o no es irracional. Su oposición a Cantor tenía la misma base, ya que no aceptaba el principio de inducción transfinita. 1 Pocos matemáticos de su tiempo siguieron las ideas de Kronecker; sin embargo, sus planteamientos pasaron a una nueva escuela matemática: el intuicionismo que afirmará que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción. Bien conocida es la frase de Kronecker: "Dios creó los naturales, todo lo demás es obra del hombre", es decir, los objetos de la aritmética y del álgebra, los números enteros positivos, son entidades que.existen.; mientras que los objetos del análisis matemático, los racionales, los irracionales, los imaginarios, los trascendentes, etc. son meros símbolos. 1 Extensión de la inducción matemática a (grandes) conjuntos bien ordenados, tales como conjuntos de ordinales o cardinales. 115

2.4-. El intuicionismo. Las aspiraciones de los logicistas y formalistas fueron vigorosamente combatidas por Poincaré, Borel, Lebesgue, Klein, Enriques y otros distinguidos matemáticos de la escuela intuicionista. Aunque en general la filosofía kantiana no tiene más que interés histórico en la matemática actual, debe, sin embargo, hacerse remontar a Kant el origen de la tendencia intuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de los fundamentos de la Matemática. Aunque ninguno de ellos formulará una filosofía coherente de las matemáticas, sí que pondrán a debate algunos conceptos básicos, que encon traremos en la raíz del intuicionismo matemático. En primer lugar la clara distinción entre lógica y matemáticas (en abierta oposición a Russell): Si las matemáticas están enlazadas con la realidad, el papel de la lógica se reduce a proporcionar un número ilimitado de posibilidades entre las que elegir. En segundo lugar la existencia de los objetos matemáticos: no aceptan que la consistencia sea un requisito suficiente (aunque sí necesario) de la existencia; no obstante, tampoco definen con claridad cuál debiera ser la condición de suficiencia Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existen ciertas nociones y proposiciones provenientes de la intuición (intelectual), e irreductibles a la Lógica. Tales son la intuición de la iteración o aptitud de nuestra mente para concebir la repetición indefinida de los actos del pensamiento, y el llamado principio de inducción completa, considerado por Poincaré como un juicio sintético a priori ( La Science et l Hypothese, cap. I), de carácter matemático, no demostrable experimentalmente ni por procedimientos lógicos. Otra objeción que ponen los intuicionistas a diversas partes de la matemática, es que no se dan reglas o criterios constructivos para determinar, en un número finito de pasos, los objetos que se manejan. Por ejemplo, Poincaré rechazaba los conceptos que no se pueden definir con un número finito de palabras: con el axioma de elección en la teoría de conjuntos ( si X es una colección arbitraria de conjuntos {A, B, C }, no vacíos, existe un conjunto formado por un elemento tomado de cada uno de los conjuntos A, B, ) surgen problemas sobre su validez al considerar X como colección infinita. Para los intuicionistas, la Matemática es una libre creación del hombre, el cual no descubre sino crea la Matemática. No se desestima el papel de la Lógica como legitimadora del razonamiento matemático pero es impotente ella sola para establecer la compatibilidad de los axiomas fundamentales y para llegar a las generalizaciones y abstracciones que caracterizan a la Matemática actual. Brouwer, fundador del Intuicionismo con su obra Sobre los fundamentos de las matemáticas (1907), estableció el principio de construcción o de constructibilidad, que es el principio básico del intuicionismo matemático: la matemática es el estudio de un cierto tipo matemático de construcción mental; no pueden existir matemáticas, si no han sido construidas intuitivamente. Brouwer defiende que las matemáticas son una li bre creación mental, desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia; cualquier construcción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística que nunca podrá identificarse con las matemáticas reales. 116

El trabajo del intuicionista consiste en desarrollar esa construcción mental, descubrirla, suscitarla en otras, incluso estructurarla y formalizarla lo mejor posible, pero a sabiendas de que todo eso no es más que un proceso de aproximación. La construcción mental matemática no puede ser reducida o fundada en algo matemático anterior, que sea más radical o primitivo.partiendo del número entero, Brouwer construye una definición de continuidad y de conjunto, que le permite interpretar ciertas partes del Análisis clásico y de las Teorías de Conjuntos de Cantor. Concibe el pensamiento matemático como un proceso constructivo limitado por la obligación de reconocer con sumo cuidado qué tesis son aceptables y cuáles no. Pero lo que ofrece más novedad en la posición filosófica de Brouwer es su ataque a la Lógica clásica al negar validez universal al principio del tercero excluido (PTE) (tertium non datur). Según este principio, toda proposición con significado es verdadera o falsa; Brouwer encontró un contraejemplo al hallar un número real que no es ni positivo, ni negativo ni nulo (contra la ley de tricotomía): 2.4.1. La lógica intuicionista. En primer lugar recordemos que la lógica clásica es la lógica de lo verdadero y lo falso; en ella se impone la alternativa entre lo verdadero y lo que no lo es, o dicho de otro modo, una proposición es siempre verdadera o falsa. La lógica brouweriana es la lógica de lo verdadero y lo absurdo, sin que se imponga una alternativa entre una y otra cosa. En la nueva lógica lo verdadero es lo efectivamente demostrable y lo absurdo es lo efectivamente reducible a una contradicción. Lo absurdo implica lo falso pero lo falso no implica necesariamente lo absurdo. De ahí que la ausencia de contradicción en una teoría no implique su verdad pues, como dice Brouwer utilizando un símil, la imposibilidad de demostrar la culpabilidad de un acusado no prueba su inocencia. Si A y B son dos proposiciones, la notación A B se lee: A implica B, y significa: si A es verdadera, B es verdadera. Se dice que dos proposiciones son equivalente (A B) cuando se implican mutuamente. A continuación enumeramos los principios fundamentales de la lógica brouweriana: 1. Principio del silogismo. Si A B y B C, entonces A C. 2. Principio de la deducción. Si A es verdadera y A B, se puede afirmar que B es verdadera aisladamente. 117

3. Principio de contradicción. Una proposición no puede ser verdadera y absurda. (El enunciado clásico es: una proposición no puede ser verdadera y falsa). 4. Principio de implicación de lo absurdo. Lo que implica lo absurdo es absurdo. (El enunciado clásico es: lo que implica lo falso es falso). Representando por A la verdad de una proposición, por à su falsedad y por A* su absurdidad. El cuarto principio de lógica brouweriana se puede interpretar en la siguiente forma: (A B) (B* A**) (γ) es decir, si A implica B, entonces la absurdidad de B implica la absurdidad de A. Como A A** según (α), en virtud de (γ) resulta: (A A**) (A*** A*) y como la implicación A*** A* se puede considerar aisladamente (2º principio) y además A* A***, se obtiene la siguiente conclusión interesante: en la lógica brouweriana la absurdidad tercera equivale a la absurdidad primera. 5. Principio del predicado de la absurdidad. La verdad de una proposición implica la absurdidad de la absurdidad de esta proposición. (El enunciado clásico es: la falsedad de la falsedad de una proposición implica la verdad de esta proposición). Este principio puede expresarse así en lógica brouweriana: A A** (α) En la lógica brouweriana no son aceptados los principios siguientes: 1. Una proposición es verdadera o absurda. 2. La absurdidad de la absurdidad de una proposición implica la verdad de esta proposición: A** A 3. Una proposición es absurda, o bien, es absurdo que ella sea absurda. 2.4.2. Comparación con el logicismo. El logicismo presenta la lógica como fundamento exclusivo de la matemática clásica. Pero para el intuicionismo, la lógica matemática desarrollada por Frege, Peano y Russell no es sino una continuación de la de Platón y Aristóteles. Y la reducción lógica de la matemática llevada a cabo por los logicistas conserva todavía una esencial referencia al mundo y a un realismo muy elaborado, pero conservando rasgos de ingenuidad. Russell llegó a escribir: 118

La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología, aunque de sus rasgos más abstractos y generales Por el contrario, el intuicionismo, lejos de reducir la matemática a la lógica, considera esta como una elaboración posterior. Para la matemática intuicionista, el mundo exterior no es sino ocasión o aplicación. 2.4.3. Comparación con el Formalismo. Para los formalistas, la matemática empieza en los símbolos, en el papel. En su aspecto esencial la matemática se identifica con la ciencia de los sistemas formales: El formalista desea como definición de la actividad matemática algo claro, bien definido y bien cortado. El intuicionista aplica su intuición, elabora con cierta imprecisión y oscuridad la noción de número natural y luego finalmente empieza su actividad. El intuicionista es impreciso y oscuro en sus primeras actividades todavía prematemáticas, pero nunca arbitrario. Busca lo que haya y descubre lo que encuentre en su actividad constructiva. 3-. INDECIBILIDAD. TEOREMAS DE GÖDEL. Gödel (1906-1978) había dado a conocer poco antes lo que ha sido calificado como el resultado más decisivo de la lógica matemática moderna. Gödel demuestra por un procedimiento de carácter constructivo (es decir, no meramente existencial), que en ciertos sistemas (más concretamente, en el cálculo restringido de las funciones proposicionales) hay aserciones que no pueden ser demostradas o impugnadas. Utilizando un procedimiento original Gödel construye un teorema verdadero y tal que una demostración formal del mismo conduce a contradicción. El procedimiento de Gödel consiste en sustituir los símbolos del cálculo de proposiciones por los símbolos de los números enteros, resultando así un algoritmo numérico que aplicado a los teoremas de la Aritmética conduce a un círculo vicioso. Gödel ha obtenido resultados aun más generales de los cuales resulta la imposibilidad de demostrar la consistencia en ninguna teoría formal que comprenda la de los números naturales mediante un procedimiento cualquiera susceptible de ser expresado en términos de dicha teoría. La conclusión de Gödel, que ha valido a éste una cita obligada en todos los escritos recientes sobre lógica matemática, invalida el propósito principal de la obra de Hilbert, de tal modo que la compatibilidad de la Aritmética está todavía por demostrarse. Teorema de incompletitud de Gödel. No existe ningún algoritmo cuya salida contenga todos los enunciados verdaderos de la aritmética y ninguno falso. Si una teoría formal axiomatizable T, que incluya la Aritmética, es consistente, entonces T es incompleto (ie, existe una afirmación S tal que ni S ni No S son teoremas de T. Por tanto, la proposición P= o bien S o bien no S es verdadera pero indemostrable. 119

Por tanto, ningún sistema axiomático puede deducir todas las verdades relativas a la Aritmética, salvo que sea un sistema no coherente. 3.1-. Implicaciones en la Física. Por su cercanía a las matemáticas, la física, tan cuidadosamente axiomatizada es la más afectada por el teorema de Gödel. Los físicos han comprendido a la fuerza que sus mayores limitaciones no serán económicas o tecnológicas, ni siquiera las asociadas a la capacidad humana. Su mayor limitación radica en que nunca alcanzarán solución a todos los problemas que puedan plantearse, ya que todo sistema racional de conocimientos es esencialmente incompleto. Para entenderlo, consideremos que la física no existe a parte del universo, forma parte de él y su objeto es modelarlo. El hombre también forma parte del mismo. Dado que tanto el sistema como sus creadores forman parte del universo, parece evidente pensar que el universo trata de hacer un modelo de sí mismo. Por tanto, una pequeña parte del universo (el hombre y su sistema) tratan de modelar una realidad completa (el universo). Este es un claro ejemplo de autoreferencia, y como tal aparece una paradoja: el modelo como parte del universo tendría que ser mayor que el universo que pretende modelar. Una parte mayor que el todo? Junto al teorema de Gödel surgen una serie de teoremas cuya suma establece una gran limitación sobre el alcance del conocimiento científico. Muere por tanto el ideal, u objetivo esencial de la ciencia en sí, consistente en establecer un sistema axiomático que explique los fenómenos de la naturaleza/universales. Podemos relacionar el teorema de incompletitud con tres de los grandes principios o leyes fundamentales: la relatividad, la incertidumbre y la indecibilidad, estudiados por Albert Einstein,Werner Heisenberg y Alan Turing respectivamente. Expliquemos a grandes rasgos dichos principios: El principio de relatividad nos explica que no existen puntos de vista privilegiados para observar la realidad. Posición, tiempo y velocidad son relativos y según el punto de vista obtenemos resultados diferentes igualmente válidos. El principio de incertidumbre asevera: Medir implica interactuar y por tanto cierta alteración. Pero aunque la medida sea ideal, la posición de una partícula es sólo la probabilidad de obtener una medición, no una cantidad absoluta. Se antoja imposible por tanto conocer exactamente a la vez dónde está y a qué velocidad se mueve una partícula. El principio de indecibilidad: No es posible escribir un programa que decida si otro programa cualquiera está correctamente escrito (en el sentido de que nunca quedará colgado). La verificación algorítmica por tanto queda limitada. Una vez introducidos todos los principios, qué relación podemos encontrar entre ellos? Todos ellos supusieron el descubrimiento de diferentes limitaciones que existen en la lógica formal que empleamos para llegar a las verdades más profundas, ya sea en física, matemáticas, o cualquier otra aplicación. Pero éstas no son limitaciones a la ciencia en sí, sino a la forma en 120