1 NÚMEROS REALES 1.1 NÚMEROS RACIONALES ( Q ) Contiene a los Naturales ( N ), que son los números usados para contar, y a los enteros ( Z ), que son los naturales y sus opuestos, y se pueden representar por una fracción de números enteros. 1.1.1 Representación sobre la recta Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. 1.2 NÚMEROS IRRACIONALES No se pueden expresar como cociente de números enteros. 1.2.1 Algunos números irracionales: Radicales: n p si p no es una potencia enésima (es decir, p q n : q Q ). Número áureo ( ): en un pentágono regular, Φ= Diagonal lado Número : π = L =3,14159... 2R Número e: e = 2,71828 1.3 NÚMEROS REALES. RECTA REAL : Φ= 1+ 5 2 Los números reales ( R ) contienen a los Racionales y los Irracionales. 1.3.1 Aproximación decimal de un número real Los números racionales se escriben mediante una expresión decimal finita o periódica. Los números irracionales se expresan mediante una expresión decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. 1.4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL a = a si a 0 a = a si a < 0 1
1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA Es útil para expresar números muy grandes o muy pequeños ya que, al tener una sola cifra en la parte entera y una potencia de base 10, el orden de magnitud es evidente. N = a,bcd 10 n 1.6 RADICALES. PROPIEDADES n a=b a=b n n a. Radical a. Radicando n. Índice n a existe sólo para n impares 1.6.1 Propiedades de los radicales Recordemos que los radicales son potencias de exponente fraccionario, por lo cual se aplican las mismas propiedades que en las potencias. a n m m n =a 1) np a p = n a 2) ( n a ) p = n a p 3) m n a= mn a 4) n a b= n a n b 5) n a n b = a n b Suma de radicales: sólo pueden sumarse radicales idénticos. n a+ n a=2 n a 1.6.2 Racionalización de denominadores La racionalización consiste en eliminar los radicales del denominador multiplicando la fracción por una fracción unitaria. Para suprimir una raíz enésima se multiplica por otra raíz enésima tal que se complete en el radicando una potencia enésima. Ej: 1 3 5 = 1 3 3 3 2 3 5 5 2 3 5 = 5 3 5 = 5 3 5 Para suprimir una suma de raíces cuadradas se multiplica por la diferencia de ellas. 1 a+ b = 1 a+ b a b a b = a b ( a+ b) ( a b) = a b a 2 b 2= a b a b 2
Si es una diferencia se multiplica por la suma. 1 a b = a+ b ( a b) ( a+ b) = a+ b a 2 b 1.7 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS 2= a+ b a b NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO Intervalo abierto (a, b) a < x < b Intervalo cerrado [a, b] a x b Intervalo semiabierto (a, b] a<x b [a, b) a x<b a) x < a Semirrecta a] x a a, + ) x > a a, + ) { x a } 1.8 LOGARITMOS Si a > 0 y a 1, logaritmo en base a de p (log a p) es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener p. log a p=x a x = p 1.8.1 Propiedades 1) P Q log a P log a Q Si a > 1 y P < Q => log a P < log a Q 2) log a a = 1 3) log a 1 = 0 4) log a (P Q) = log a P + log a Q 5) log a (P/Q) = log a P log a Q 6) log a P n = n log a P 7) log a n P= log a P n 8) log a P= log b P log b a 1.8.2 Logaritmos decimales (log) Log K = log 10 K 1.8.3 Logaritmos neperianos (Ln) Ln K = log e K 3
2 MATEMÁTICA FINANCIERA 2.1 AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES C +r %= ( 1+ r 100 ) C r 1 100 (en forma decimal) es el índice de variación. Ej: C + 12% = 1,12 C (1,12 es el índice de variación) Para encadenar varios incrementos porcentuales se multiplican los índices de variación. C final =C inicial ( 1+ r 1 100 ) ( 1+ r 2 100 ) ( 1+ r 3 100) Si se incrementa el mismo porcentaje n veces: C final =C inicial (1+ r 100 ) n 2.2 INTERESES BANCARIOS Rédito es el tanto por ciento que paga un banco por depositar en él un dinero. Periodo de capitalización es el tiempo en que se abonan los intereses (suele se mensual o anual, pero también puede ser trimestral, semestral, bianual ) 2.2.1 Interés simple El interés producido en cada periodo de capitalización no genera intereses. Se calcula el interés siempre respecto del capital inicial. En n periodos de capitalización se obtendrá: C final =C inicial (1+ r n 100 ) 2.2.2 Interés compuesto El interés producido en cada periodo de capitalización se incorpora al capital para seguir produciendo nuevos intereses. Pago anual de intereses: C n añosal r anual =C ( 1+ r 100 ) n Pago mensual de intereses: C mmeses al r anual =C ( 1+ r 1200 ) m 4
Pago diario de intereses: C d díasal r anual =C ( r 1+ 36500) d 2.3 OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN Una operación de capitalización es una operación financiera en que se entrega un capital cada cierto periodo de tiempo de forma que, al final de la operación, se consigue un capital que es la suma de los capitales entregados más los interesese generados. Los planes de pensiones y las cuentas de ahorro son ejemplos de este tipo de operaciones. 2.3.1 Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números (términos de la progresión) en la cual cada uno se obtiene multiplicando la anterior por un número constante r (razón de la progresión). El término enésimo se obtiene multiplicando el primero por r n-1 veces: a n = a 1 r n-1 Suma de los términos de una progresión geométrica S n =a 1 a 2... a n S n r=a 1 r a 2 r... a n 1 r a n r=a 2 a 3... a n a n r S n r S n = a 1 0 0... a n r=a n r a 1 S n r 1 =a n r a 1 S n = a n r a 1 (r 1) 2.3.2 Capital final en una operación de capitalización La anualidad de capitalización (el capital ingresado cada año) es a, el interés es i y el número de años es n. Al final del 1 er año: Al final del 2º año:.. Al final del n año: C 1 = a (1+i) C 2 = a (1+i) + a (1+i)² C = a (1+i) + a (1+i)² + a (1+i)³ + + a (1+i) n C= a (1+i) (1+i)n a (1+i) (1+i) 1 C= a [(1+i)n+1 (1+i)] i 5
2.4 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Cada pago salda los intereses que produce la deuda pendiente desde el pago anterior, y el resto amortiza parte de esa deuda, hasta que se amortiza la totalidad de la deuda pendiente. Lo habitual es que todos los pagos sean idénticos (tipo francés). La anualidad de amortización (el capital pagado cada año) es a, el interés es i y el número de años es n. Pagando a el primer año, al final del periodo se habrá convertido en: a (1+i) n-1 Pagando a el segundo año, al final del periodo se habrá convertido en: a (1+i) n-2.. Pagando a el penúltimo año, al final del periodo se habrá convertido en: a (1+i) Último pago: a Por tanto, al final se ha pagado: a (1+i) n-1 + a (1+i) n-2 + a (1+i) n-2 + + a (1+i) + a = C (1+i) n Sumando los términos de la progresión geométrica y despejando a: Anualidades: a=c (1+i )n i (1+i) n 1 Mensualidades: m=c 1 i n i 1 i n 1 donde i= r 100 donde i= r 1200 y n es el número de meses 2.5 PARÁMETROS ECONÓMICOS 2.5.1 Tasa anual equivalente (T.A.E.) La TAE es el tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. Si el periodo de capitalización es menor que un año, la TAE es mayor que el rédito declarado. Además, en los préstamos se incluyen en ella los gastos fijos. TAE=[( 1+ i n) n 1] 100 Donde n es el número de periodos de capitalización en un año. 2.5.2 Índice de precios al consumo (I.P.C.) Es un número índice que se usa para medir la variación de los precios de productos que se consideran representativos del consumo habitual (cesta de la compra estándar). IPC = p i t 1 qi t 1 p i t 0 qi t 0 100 6
3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 3.1 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que intervienen. Grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Suma y resta: Para sumar dos polinomios se suman los monomios del mismo grado de cada uno de ellos. Producto: se multiplica cada monomio de un polinomio por cada uno de los monomios del otro. 3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 3.2.1 Técnica de la división de polinomios Ejemplo: Para dividir P(x) = x 5 6x 3 25x entre Q(x) = x 2 + 3x procedemos así: Si en la división, además de cociente hay resto, se llama división entera, si no división exacta. 3.2.2 Regla de Ruffini Para dividir un polinomio por un binomio de primer grado (x a ). Ejemplo: para dividir (2x 3 15x 8) : (x 3) 1) Se ponen los coeficientes del dividendo (teniendo en cuenta que los coeficientes de los términos que no están son cero) y el término independiente del divisor cambiado de signo. 7
2) Se baja el primer coeficiente (2). 3) Se multiplica el divisor (3) por el coeficiente que se ha bajado (2) y se coloca el producto debajo del segundo coeficiente (6 debajo del 0). 4) Se suman y se pone el resultado debajo (6 + 0 = 6). 5) Se procede igual hasta terminar. 6) El cociente es un polinomio de un grado menor que el dividendo. Divisibilidad por x a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Teorema del resto: El valor que toma un polinomio P(x) cuando hacemos x = a (o sea P(a)) coincide con el resto de dividir P(x) entre x a. 3.3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS P(a) = r Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios del menor grado posible. 1) Intentar sacar algún factor común. 2) Buscar algún producto notable o una ecuación de segundo grado. 3) Usar la regla de Ruffini, buscando entre los divisores perfectos del término independiente, de forma que el resto sea 0. Ej: x ⁴ + 2x³ x² 2x 1º) Factor común: x x x x + 2 x x x x x 2 x = x (x³ + 2x² x 2) 2º) x³ + 2x² x 2 es un producto notable? NO 3º) Dividimos por Ruffini probando en el divisor los números 1, -1, 2 y -2. x³ x² x x⁰ 1 2-1 -2 1 1 3 2 1 3 2 0 x² x x⁰ 1 3 2-1 -1-2 1 2 0 Es decir, hemos dividido el polinomio por (x 1) y por (x + 1), y nos ha quedado (x + 2). Luego, el polinomio factorizado queda: x ⁴ + 2x³ x² 2x = x (x 1) (x+1) (x+2) Un polinomio es irreducible cuando no tiene divisores. 8
Raíces de un polinomio: Son los valores que debe tener x para que el valor numérico del polinomio sea 0. Ej: x ⁴ + 2x³ x² 2x = 0 Si x = 0 ; x = 1 ; x = 1 ; x = 2 Se ve fácilmente porque x ⁴ + 2x³ x² 2x = x (x 1) (x+1) (x+2) = 0 x = 0 o bien x 1 = 0 : x = 1 o bien x + 1 = 0 : x = 1 o bien x + 2 = 0 : x = 2 3.4 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Es decir: Un polinomio D(x) es divisor de otro P(x) si la división P(x) : D(x) es exacta. Entonces P(X) es múltiplo de D(x). 3.4.1 Máximo común divisor (M.C.D.) Un polinomio es M.C.D. de dos polinomios si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores que coincidan en ambos. 3.4.2 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Un polinomio es m.c.m. de dos polinomios si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común que tenga menor grado que él. Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores comunes o no, con los mayores exponentes que presentan. 3.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios. Simplificación: Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un mismo polinomio de grado igual o mayor que 1 (si se puede). Si dividimos numerador y denominador por su M.C.D. se obtiene una fracción irreducible. Dos fracciones son equivalentes si ambas, al simplificarse hasta la fraccion irreducible, dan lugar a la misma fracción. Común denominador: Para reducir a común denominador varias fracciones algebraicas, lo hacemos obteniendo fracciones equivalentes a las primeras y con el mismo denominador. 9
Suma: Para sumar fracciones algebraicas se procede igualq que con las fracciones numéricas. Se reducen a común denominador (que será el denominador de la suma), se multiplican los numeradoes por el mismo polinomio por el que se hayan multiplicado los denominadores y se suman los numeradores. Producto: Es el producto de los numeradores dividido por el producto de los denominadores. Una fracción es la inversa de otra cuando el producto de ambas es igual a 1. División: Es el producto de una por la inversa de la otra. 10
4 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 4.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Ecuación de segundo grado: ax 2 + bx +c = 0 con a 0 Solución: x= b± b2 4 ac 2a Discriminante: = b 2 4ac > 0: la ecuación tiene dos soluciones = 0: la ecuación tiene una solución (doble) < 0: la ecuación no tiene solución real Ecuaciones de segundo grado incompletas: son aquellas en las que el término en x ó el término independiente son cero (b = 0 ó c = 0). Se pueden resolver con la fórmula general o bien: ax² + c = 0 : x=± c a ax² + bx = 0 : x (ax + b) = 0 ; x=0 y x= b a 4.2 ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax 4 + bx 2 +c = 0 Para resolverlas hacemos el cambio de variable: x 2 = t at 2 + bt + c = 0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x: x=± t 4.3 ECUACIONES CON RADICALES Cuando x está bajo una raíz cuadrada, aislamos la raíz en un miembro y elevamos ambos miembros al cuadrado. Pueden aparecer soluciones ficticias que habrá que rechazar, así que hay que comprobar todas las soluciones. Ejemplo: x+ x 1=3 ( x 1) 2 =(3 x) 2 x 1=9 6x+ x 2 0=x 2 7x+10 Verificamos ambas soluciones: x= 7± ( 7) 2 4 1 8 2 1 x=2 x=5 11
2+ 2 1=3 2+1=3 5+ 5 1=3 5+2 3 x=2 ES SOLUCIÓN x=5 NO es solución 4.4 ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Expresamos la ecuación de la forma P(x) = 0. Factorizamos el polinomio y hallamos sus raíces. Factorización: En una ecuación factorizada resolvemos cada uno de los factores como una ecuación independiente. Ejemplo: 2x ⁴ 5x³ 2x² + 5x = 0 x (2x³ 5x² 2x + 5) = 0 Factorizamos el polinomio usando la Regla de Ruffini x (x 1) (x+1) (2x 5) = 0 Hacemos cada factor igual a 0 x = 0 : x=0 x 1 = 0 : x=1 x + 1 = 0 : x= 1 2x 5 = 0 : x= 5 2 4 Soluciones 4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema es un conjunto de ecuaciones con varias variables (o incógnitas) cuya solución es el valor de las variables que hace que se verifiquen todas a la vez. Sistemas de ecuaciones lineales: Todas las ecuaciones que componen el sistema son polinomios de primer grado. Tipos de sistemas según sus soluciones: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Tiene una solución única. Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal) se cortan en un punto cuyas coordenadas (x, y) son la solución del sistema. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Tiene infinitas soluciones. Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal) coinciden. SISTEMA INCOMPATIBLE: No tiene solución. Interpretación gráfica: las rectas definidas por ambas ecuaciones (en un sistema lineal) son paralelas. 12
4.6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 4.6.1 Método de sustitución: Despejamos una variable de una ecuación y sustituimos su valor en la otra. Lo usamos cuando sea fácil despejar una variable de una ecuación pero no de la otra. Ejemplo: x y=3 x y=1} x 3 x =1 Despejo y de la primera ecuación: y=3-x Sustituyo su valor en la segunda y resuelvo la ecuación. 2x 3=1 x = 2 Ahora sustituyo el valor de x en la primera ecuación. y=3 2 : y = 1 4.6.2 Método de igualación: Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones e igualamos sus valores. Lo usamos cuando sea fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones o cuando queramos representar gráficamente el sistema. Ejemplo: x y=3 x y=1} Despejo y de las dos ecuaciones: y=3 x x 1= y} 3 x=x 1 Igualo los dos valores de y y resuelvo la ecuación 4=2x x = 2 Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. y=3 2 : y = 1 4.6.3 Método de reducción: Multiplico una o las dos ecuaciones por un número tal que, al sumarlas, una de las variables desaparezca. Lo usamos cuando veamos que esta operación es fácil. Es el método más rápido cuando se puede hacer. Ejemplo: x y=3 x y=1} x y=3 x y=1} 2x 0=4 Sumo las dos ecuaciones: 13
2x=4 Resuelvo la ecuación x = 2 x y=3 x y=1} 0 2y=2 Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. y=3 2 : y = 1 O bien vuelvo a aplicar el método de reducción, ahora restando: : y = 1 4.6.4 Método de GAUSS: Lo usamos para resolver sistemas lineales de más de dos ecuaciones. Consiste en operar las ecuaciones igual que en el método de reducción (esto es, hacer combinaciones lineales entre las ecuaciones) para eliminar todas las variables menos una de la última ecuación, todas menos dos de la penúltima... y así hasta la primera, en la que deben quedar todas las variables. A esto se le llama triangular el sistema. Ejemplo: 2x + y z=6 x+2y 3z=7 3x y z=6 } x+2y 3z=7 } 2x+ y z=6 3x y z=6 Ponemos la segunda ecuación en primer lugar (por comodidad) 2ª Ec. = 2ª Ec. 2 1ª Ec. y 3ª Ec. = 3ª Ec. 3 1ª Ec. x +2y 3z = 7 3y +5z = 8 7y +8z = 15} 3ª Ec. = 7 2ª Ec. 3 3ª Ec. x +2y 3z = 7 3y +5z = 8 11z = 11} Resolvemos la tercera ecuación: z = 1 Sustituimos en la segunda y resolvemos: -3y 5 = 8 : y = 1 Sustituimos en la primera y resolvemos: x + 2 + 3 = 7 : x = 2 4.7 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Son propuestas de desigualdad que se cumplen para determinados valores de la variable (o incógnita). Resolver una inecuación o un sistema de inecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones que lo verifican. Suelen ser infinitas y se agrupan en intervalos de R. Podemos hacer las mismas operaciones que con las ecuaciones, teniendo siempre en cuenta que la x debe quedar en el miembro en que sea positiva. 14
Ejemplo: 3 x 2 x 5 3 x 2 9 3x 2x 10 x 2 6 6 x 19 x 2 6 6 x 19 6x 12 7 5x 7 5 x : [ 7 5, 4.7.1 Inecuaciones de segundo grado x² 5x 6 0 Cambiamos la desigualdad por una igualdad y resolvemos la ecuación: x² 5x 6=0 x= 5 ± 5 ² 4 1 6 2 1 x=2 : x=3 2 Soluciones Estos dos valores dividen la recta Real en tres intervalos: (, 2 ), (2, 3) y ( 3, ) Damos a la x un valor en el primero de ellos (por ejemplo: x=0) y sustituimos 0² 5 0 + 6 = 6 > 0 Esto significa que: Si x,2, entonces x² 5x + 6 > 0 Si x=2, entonces x² 5x + 6 = 0 CAMBIA DE SIGNO Si x 2,3, entonces x² 5x + 6 < 0 Si x=3, entonces x² 5x + 6 = 0 CAMBIA DE SIGNO Si x 3,, entonces x² 5x + 6 > 0 Luego la solución es:,2] [3, 4.8 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Tienen esta forma: ax + by +c <0 ó ax + by +c > 0 El conjunto de soluciones es el semiplano que está a uno de los lados de la recta. Si en la desigualdad está incluido el signo igual, los puntos de la recta son también soluciones. 4.8.1 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas La solución de este tipo de sistemas es un recinto poligonal o un recinto abierto. Si los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones no tienen ningún punto en común, el sistema es incompatible y no tiene solución. 15