Tema III Cálculo de probabilidades y variables aleatorias 3.1. Introducción La teoría de probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad. En este capítulo se tocan los conceptos y principios básicos de la teoría. Para introducirnos a los aspectos técnicos de la misma, empezamos mencionando los conceptos de espacio de muestra, resultado y evento, los resultados matemáticos de la teoría de probabilidad, los principios matemáticos básicos que sustentan los cálculos más complejos y la importante idea de independencia estadística. Finalizamos describiendo algunas técnicas que se pueden utilizar para combinar los principios matemáticos básicos en la solución de problemas más complicados. 3.2. Experimentos aleatorios. Espacio de muestra. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si lanzamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria. Definición 3.2.1. Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. Definición 3.2.2.2. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Definición 3.2.3. Espacio de muestra es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, el cual lo designaremos por E. Para introducirnos en el tema y visualizar los conceptos más facilmente, vamos a considerar experiencias aleatorias sencillas tal como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,... 54
Ejemplo 3.1. En el lanzamiento de un dado, E ={1,2,3,4,5,6}. Ejemplo 3.2. En el lanzamiento de una moneda E = {A, S} Ejercicio 3.1: Describe el espacio de muestra asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. 3.3. Sucesos. Operaciones con sucesos. El espacio de muestra asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: {Obtener múltiplo de 5}: A ={5,10,15} {Obtener número primo}: C ={2,3,5,7,11,13,17} {Obtener número mayor o igual que 12}: D ={12,13,14,15,16,17,18} Todos estos subconjuntos del espacio de muestra E los llamamos sucesos. Definición 3.3.1 Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio de muestra E. A los elementos de E se le llaman sucesos individuales o sucesos elementales. Es importante hacer notar que también son sucesos, el vacío llamado suceso imposible denotado por Ø y el propio E, denominado suceso seguro. Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2 n. Ejemplo 3.3. {1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. Ejemplo 3.4. En un dado hay 2 6 = 64 sucesos. 55
Ejemplo 3.5. En una moneda hay 2 2 = 4 sucesos, que son: Ø, {A},{S}, {A, S}. Es decir, S = {Ø,{A},{S},{A, S}} Ejercicio 3.2. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es mujer, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. Cuáles son los elementos de A y B? 3.3.1. Operaciones con sucesos. Definición 3.3.2. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Unión de A y B indicada por formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Gráficamente tenemos A B como el suceso Definición 3.3.3. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Intersección de A y B denotada por suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Gráficamente se tiene A B como el Definición 3.3.4. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Diferencia de A y B indicada por suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Gráficamente se tiene: A B como el Definición 3.3.5. Dados un suceso, A, se define el Suceso contrario o complemento de A indicado por A como A E A. Gráficamente se observa: 56
Definición 3.3.6. Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando A B (A y B son disjuntos o ajenos). Gráficamente se tiene A B Se dice que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Ejemplo 3.6. Si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E. De manera análoga, decimos que: a) El suceso A B se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos. b) El suceso A B se cumple cuando se verifican simultáneamente A y B. c) El suceso A, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. d) Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente. Ejemplo 3.7. En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: A = sacar un número par. B = {1,2,3,5}=obtener un 1, 2, 3ó 5 ". C = {4, 6} = {obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = {obtener un 2, 4 ó 6}. F = {1,3} = {obtener un 1 ó un 3}. G = {obtener un múltiplo de 3}. A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. C está contenido en A. Luego C A = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par. B y C son incompatibles, ya que B C y complementarios, al cumplirse B C E. 57
A B sacar un número par {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E. A G {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos sacar un número par un múltiplode tres sacar un 6. obtener es B D B D {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = obtener un número impar A C y F son incompatibles puesto que C F. y Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las siguientes propiedades: Propiedad Unión Intersección 1. Conmutativa A B B A A B B A 2. Asociativa A ( B C) ( A B) A A ( B C ) ( A B) C 3. Idempotente A A A A A A 4. Simplificación A ( B A) A A ( B A) A 5. Distributiva A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) 6. Elemento neutro A A A 7. Absorción A E E A E A A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. En el álgebra Booleana se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan: 1) El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: A B A B 2) El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios: A B A B Ejercicio 3.3. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A ={ salir un número primo} y B = { salir un número cuadrado}. Responda a las siguientes cuestiones: a. Calcula los sucesos A B y A B 58
b. Los sucesos A y B, son compatibles o incompatibles?. c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B. 3.4. Definición de Probabilidad. Propiedades. Definición 3.4.1. La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que crece el número de veces que se realiza el experimento. Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernoulli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable. La frecuencia relativa del suceso A denotada por f r ( A) se obtiene mediante la fórmula: f r ( A) número de veces que aparece número de veces que se realiza el experimento A 3.4.1.1. Propiedades de la frecuencia relativa. 1. 0 f r (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. f r ( A B ) = f r (A) + f r (B) si A B. 3. f r (E) = 1 f r (Ø) = 0. Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad. Definición 3.4.2. Definición axiomática. Sea E el espacio de muestra de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica: 4. Cualquiera que sea el suceso A, A) 0. 5. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. 6. La probabilidad total es 1. E) = 1. A B A B) A) B) 59
Esta definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande. Definición 3.4.3. Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio de muestra E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento. Si E x x,, x x ) x ) x ) entonces : 1, 2 k y 1 2 k, número A) de casos favorables al suceso número de casos posibles A Ejemplo 3.8. Consideremos el experimento { lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado }. El espacio de muestra es E = {1,X,2}. Las probabilidades de cada uno de los sucesos son: 1. Ø) = 0 2. {1}) = 1/3 {X}) = 1/3 {2}) = 1/3 3. {1,2}) = {1}) + {2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 {1,X}) = 2/3 {2,X}) = 2/3 4. {1,X,2}) = E) = 1. 3.4.1.2. Propiedades. 1. A ) = 1 - A ) 2. Ø ) = 0 3. Si A B entonces B ) = A ) + A B ) 4. Si A B entonces A ) B ) 5. Si A 1, A 2,..., A k, son incompatibles dos a dos, entonces: A 1 A 2... A k ) = A 1 ) + A 2 ) +... + A k ) 6. A B) = A ) + B ) - A B ) 7. Si el espacio de muestra E es finito y un suceso es A = {x 1, x 2,..., x K }, entonces: A ) = x 1 ) + x 2 ) +... + x K ) Ejercicio 3.4.1. En una baraja de 40 cartas, cuál es la probabilidad de AS?, Y de OROS Ejercicio 3.4.2:En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: 60
REY) = 0.15, BASTOS) = 0.3, "carta que no sea REY ni BASTOS") = 0.6. a. Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad. b. Cuántas cartas hay? Ejercicio 3.4.3. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide: a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. b. Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos? Ejercicio 3.4.4. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color? Ejercicio 3.2.5. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13. Ejercicio 3.2.6. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que: a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8. 3.5. Probabilidad condicionada. En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad será en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Por ejemplo, si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera. Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar. Definición 3.5.1. Sean A y B dos sucesos tal que A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, indicada por B/A), a la probabilidad de B tomando a A como espacio de muestra, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. B A) B / A) A) De esta igualdad se deduce que: B A ) = B/A ) A ) La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C: A B C ) = A ) B/A ) C/A B ) O bien por la fórmula equivalente A B C ) = A/ (B C) ) B/C ) C/A ) 61
Estas dos fórmulas admiten una generalización para un número cualquiera de sucesos. Ejemplo. 3.9 Consideremos el experimento de {lanzar un dado al aire}. Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos los sucesos A = {sacar 3} y B = {1,3,5}; entonces, A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1. Ejercicio 3.5. Se lanzan dos dados: a. Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? 3.6. Sucesos dependientes e independientes. El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí. Definición 3.6.1. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si B/A ) = B ) ó A/B ) = A ) Definición 3.6.2. Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: B/A ) B ) ó A/B ) A ) 1. Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: A B ) = A ) B ) 2. Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: a) A B ) = A ) B ) b) A C ) = A ) C ) c) B C ) = B ) C ) d) A B C ) = A ) B ) C ) 62
Ejercicio 3.6. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con A)=0.7; B)=0.6; )=0.58. a. Son independientes A y B? b. Si M A, cuál es el valor de / )? 3.7. Tablas de contingencia y diagramas de árbol. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema. 3.7.1 Conversión de una tabla en diagrama de árbol. Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos. En el caso de los sucesos A, A, B y B, expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta. Suceso A A TOTAL B A B ) A B ) B ) B A B ) A B ) B ) TOTAL A ) A ) 1 Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A se les ha asociado los sucesos B y B. Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a: 63
B A) B / A) A) 3.7.2. Conversión de un diagrama en tabla de contingencia. De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente utilizando la expresión B A ) = B/A ) A ), para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla. Ejercicio 3.7.1. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Ejercicio 3.7.2. Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos: El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. a. Haga una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos. b. Calcule qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla. c. Determine la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? 3.8. Probabilidad total. Definición 3.8.1. Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A 1, A 2,...,A n que cumplen: 64
1. Son incompatibles dos a dos, A i A j = Ø para i j. 2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, 3.8.1. Teorema de la probabilidad total. Sea A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales B/A i ), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: P B) A ) B / A ) A ) B / A ) A ( 1 1 2 2 n ) B / An ) Ejercicio 3.8.1. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. Ejercicio 3.8.2. Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F 1, F 2, F 3 y F 4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? Ejercicio 3.8.3. Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? Ejercicio 3.8.4: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola? 3.9. Teorema de Bayes. En el año 1763, dos años después de la muerte del Rev. Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han 65
podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. [Debido a que fue desarrollado inicialmente por Bayes en un intento por probar la existencia de Dios] Definición 3.9.1. Teorema de Bayes Sea A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales B/A i ). entonces la probabilidad A i /B) viene dada por la expresión A i Ai ) B / Ai ) / B) A ) B / A ) A ) B / A ) A ) B / A 1 1 2 2 n n ) En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol. Ejercicio 3.9.1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Ejercicio 3.9.2. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? 66