Cuáles son las condiciones? Plan de clase (1/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el tercer lado. Consigna. Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades. 1. Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con un mismo número entero de palillos? Para saberlo, van a construir triángulos y completar la siguiente tabla. Los palillos serán usados todos a la vez en el perímetro. 2. Cada integrante del equipo debe, a. Escoger cinco triángulos de los que formaron para completar la tabla de la actividad 1 y trácenlos utilizando regla y compás (cambien la unidad de medida: si un lado mide 5 palillos, trácenlo de 5 centímetros). b. Traten de trazar cinco de los triángulos que no se pudieron hacer en el inciso anterior; demuestren que no existen triángulos con esas medidas (con 10 palillos por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 6-3-1). c. Validen las respuestas que obtuvieron individualmente con el equipo. 3. En equipo, a. Por turno cada alumno lanza los tres dados. b. Si con los números de los dados es posible formar un triángulo, el jugador debe sumarlos y anotar ese puntaje a su favor. Si no es posible formar un triángulo, el puntaje para esa tirada es cero.
c. Gana quien haga más puntos en 10 tiradas. Consideraciones previas: Para realizar las actividades correspondientes a este desafío es necesario que los alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en especial para este plan se necesitan palillos u otro material que sustituya los palillos. Para el caso de la primera actividad es posible que los alumnos exploraren la forma de construir triángulos usando palillos. Notarán que con uno o dos palillos, por ejemplo, es imposible formar un triángulo, y que con tres palillos se puede formar sólo un triángulo: Mientras que con 11 palillos pueden formarse cuatro triángulos diferentes. Después de un tiempo suficiente, algunos equipos pasarán al frente a mostrar sus resultados (pueden hacer sus tablas en pliegos de papel bond y pegarlas en el pizarrón). Una vez que se tengan varias tablas, deben compararlas, y en aquellos renglones donde haya resultados diferentes los equipos implicados validarán su solución ante el grupo. Es probable que no todos los equipos encuentren todos los triángulos que pueden formarse con cierto número de palillos, pero de manera grupal pueden formar y completar llegando a formar una tabla como la siguiente: Además de la exploración de los diferentes triángulos, lo importante de la actividad es que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no. Haciendo preguntas como: por qué con 15 palillos no pudieron formar un triángulo cuyos lados
midieran 8, 4 y 3?, se pretende que los alumnos lleguen a enunciar (con sus propias palabras) que la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la medida del tercer lado, o bien que la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor. De la actividad 2 se espera que los alumnos consoliden la técnica para trazar triángulos con regla y compás, y de la actividad 3 que los alumnos reafirmen la conclusión a la que llegaron en la actividad 1. Una actividad adicional que se puede plantear a los alumnos es la siguiente: De manera individual dibujen, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesten las preguntas. a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm a) En cuáles casos no se construyó el triángulo solicitado? Argumenten. b) Den dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y expliquen por qué. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Con qué criterio? Plan de clase (2/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de sus tres lados (LLL). Consigna. Organizados en equipos realicen la actividad. Cada integrante del equipo construya en una hoja un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus compañeros de equipo. Después contesten las preguntas. a) Los triángulos que trazo cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo? b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron. c) Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo? Por qué? d) Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales? Consideraciones previas: Para realizar la actividad es necesario el juego de geometría y tijeras. En esta actividad es importante que los alumnos observen que sus triángulos son iguales, no importa la posición en que los hayan dibujado (aquí se puede insistir que la posición no determina la igualdad o no de dos o más figuras). Asimismo, será necesario que todos los alumnos concluyan que si los tres lados de dos triángulos tienen la misma medida, entonces ambos triángulos son congruentes. Antes de llegar a esta conclusión el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que sea posible obtener un triángulo diferente, dadas las medidas de los tres lados. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
En qué fijarse Plan de clase (3/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL). Consigna 1. Organizados en equipos realicen las siguientes actividades. 1. Cada integrante del equipo construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió. 2. Con los mismos datos tracen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué. Consideraciones previas: Tal vez los alumnos digan que si el ángulo señalado se traza del lado izquierdo es diferente que si se traza del lado derecho. Será necesario cuestionarlos hasta que lleguen a la conclusión de que este hecho no importa. Una vez realizado este ejercicio será necesario que concluyan que dadas estas tres condiciones (la medida de dos lados y el ángulo que forman entre ellos) siempre se obtendrán triángulos iguales. Éste es otro criterio de congruencia. En caso de que el ejercicio se realice rápido y haya tiempo, se les puede pedir que un alumno dé la medida de dos segmentos y el ángulo que forman entre ellos, para que sus compañeros tracen el triángulo correspondiente y lo comparen. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
En qué son iguales Plan de clase (4/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA). Consigna 1: Organizados en parejas realicen la siguientes actividades. 1. Construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz. A C A = 40 C = 70 2. Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales. Consideraciones previas: De la primera actividad, es probable que algún alumno no sepa dónde y cómo trazar los ángulos que se indican, así que se les puede ayudar indicándoles cómo hacerlo, posiblemente consideren que si cambian de posición los ángulos que están en los extremos del segmento dado, es decir que A = 70 y C = 40, obtengan un triángulo diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario pedirles que recorten el triángulo y lo comparen con el anterior. De esta manera se debe llegar a la
conclusión de que dada la medida de dos ángulos y el segmento entre éstos, se obtienen triángulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometría y tijeras. La segunda actividad es para que concluyan que con tres medidas de un triángulo dado, en este caso la medida de dos ángulos y la medida del lado en tres dichos ángulos se puede construir otro triángulo congruente, siempre y cuando las tres medidas que se proporcionen del triángulo no sean los tres ángulos. Si es necesario hay que ayudarlos a formular esta conclusión. Se anexa la hoja de trabajo de Emat Figuras directa o inversamente congruentes, páginas 124 y 125, para trabajar con al software de geometría dinámica. ANEXO 2 Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre ANEXO 2 DEL PLAN (4/6)
Por qué es único Plan de clase (5/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad. Consigna: De manera individual realiza la siguiente actividad. Traza sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica. a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. A qué se debe que todos son semejantes? b) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas: Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? Cuál es la razón entre sus perímetros? Cuál es la razón entre sus áreas? c) Trace cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas: Consideran que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente: Cuál es la razón entre sus lados? Cuál es la razón entre sus perímetros? Cuál es la razón entre sus áreas? Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este contenido con el análisis de dos figuras regulares (lados y ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante lo cual hay que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un triángulo equilátero A mide 3 cm y el lado correspondiente del triángulo equilátero B mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3, dependiendo de cuál triángulo se toma como punto de partida.
Es posible que a los alumnos les llame la atención el hecho de que la razón entre los perímetros sea la misma que la razón entre los lados, pero no sucede lo mismo con la razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Cuál es la relación? Plan de clase (6/6) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes. Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80, 60 y 40. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida. a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos. b) Consideras que resultaron semejantes? c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras. B B AB = A' B' BC = B'C' A C A C CA = C' A' d) Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? e) Cuál es la razón entre los perímetros? f) Cuál es la razón entre las áreas? Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en común se explicite el hecho de que, en dos o más triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes: Primera: Los ángulos correspondientes son iguales. Segunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante. Esta segunda propiedad puede expresarse de la siguiente manera:
AB = A' B' BC CA = B'C' C' A' Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre