GRADO en INGENIERIA de TELECOMUNICACION (Sistemas de comunicaciones, audiovisuales y telemática) ESTADISTICA 2008-2009 PRACTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS OBJETIVOS: Introducción a las variables aleatorias: generación de variables aleatorias. Método de la transformación inversa. 1. Variables aleatorias La siguienta tabla resume algunas de las funciones más importantes para la generación de números aleatorios en MATLAB/Octave: Función Descripción Sintaxis rand n o aleatorios [0, 1] rand(m,n) unifrnd n o aleatorios [a, b] unifrnd(a,b,m,n) unidrnd n o aleatorios discretos {1, 2,..., N} unidrnd(n,m,n) donde m y n, son respectivamente en n o de filas y columnas a generar. 1.1. Funciones preliminares útiles 1. Genera 100 datos de la distribución uniforme contínua U(0, 1). >> x=rand(100,1) % ó x=unifrnd(0,1,100,1) 2. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de un dado. >> x=unidrnd(6,5,1) % generamos los 5 lanzamientos % a partir de una uniforme discreta entre 1 y 6 % otra manera: >> u=rand(6,1) >> x=floor(6*u+1) Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 1
3. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de 3 dados. >> x=unidrnd(6,5,3) % generamos los 5 lanzamientos de los 3 dados % a partir de una uniforme discreta entre 1 y 6 % otra manera: >> u=rand(5,3) >> x=floor(6*u+1) 4. Comenta el siguiente código de MATLAB/Octave: 1:>> n=1000000; 2:>> x=rand(n,1); y=rand(n,1); 3:>> c=sum(x.^2+y.^2<=1) 4:>> a=(4/n)*c; El código está generando n pares de puntos (x, y) en el cuadrado unidad (ĺıneas 1 y 2). La ĺınea 3, nos indica cuántos de éstos pares están dentro del círculo unidad, definido por la ecuación x 2 + y 2 1. Finalmente, por un razonamiento de áreas proporcionales en la ĺınea 4, se obtiene a como una aproximación al número π. 5. Calcular mediante simulación la integral dada por: 3 2 x 2 dx Dado que la función f (x) = x 2 en el intevalo [2, 3] verifica que su valor está entre 0 y 9. Generaremos puntos aleatorios en el rectángulo [2, 3] [0, 9] y veremos la proporción de estos puntos que caen por debajo de la gráfica. El código en MATLAB/Octave es: % creamos la función f(x) en un fichero *.m function f = f(x) f = x.^2; % En el Command Window: >> n=1000000; >> x=unifrnd(2,3,n,1); y=unifrnd(0,9,n,1); >> area=9*sum(y<f(x))/n >> area= 6.3212 % podemos compararlo con el valor teórico: >> int( x^2, x,2,3) ans= 19/3 Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 2
1.2. Generación de variables aleatorias 1. Supongamos el experimento del lanzamiento de dos monedas. Sea X, la variable aleatoria número de cruces. Determina con MATLAB/Octave la función de probabilidad de X. >> n=10000; >> u1=rand(n,1); >> u2=rand(n,1); >> m1=1*(u1<=1/2)+0*(u1>1/2); % generamos los n lanzamientos de las >> m2=1*(u2<=1/2)+0*(u2>1/2); % monedas 1 y 2, con probabilidad % 1/2 de cruz (=1) y de cara (=0) >> x=m1+m2; % x es la suma de las cruces de ambas monedas >> tabulate(x) % con tabulate, obtenemos la tabla de frecuencias % absoluta y relativa Value Count Percent 0 2483 24.83% 1 5006 50.06% 2 2511 25.11% De este modo hemos aproximado la función de probabilidad teórica: p(x) = P (X = x) >> tab=tabulate(x) % guardamos la tabla en una matriz tab >> bar(tab(:,3)) % representamos el diagrama de barras de las % frecuencias relativas 60 50 40 30 X p(x) 0 1/4 1 1/2 2 1/4 20 10 0 1 2 3 2. Dada la variable aleatoria X, del ejercicio anterior, comprueba los valores teóricos E[X] y Var[X]. Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 3
La esperanza de X es: µ = E[X] = n x i P (X = x i ) = 0 1 2 + 11 4 + 2 1 2 = 1 i=1 Y la varianza: σ 2 = Var[X] = n (x i µ) 2 P (X = x i ) i=1 = (0 1) 2 1 2 +... + (2 1)2 1 2 = 1 2 Recuerda: Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 >> mean(x) % es aproximadamente 1 >> var(x) % es aproximadamente 0.5 3. El método de la inversa 1 de la función de distribución, F X (x), afirma que si una variable aleatoria X tiene una función de distribución F X (x) que admite inversa, entonces se verifica que la variable transformada U = F X (X) sigue siempre una distribución uniforme continua U. Este resultado se aplica en la vida real considerando la igualdad u = F X (x) y despejando x en función de u, que vendrá dado por x = F 1 X (u), con lo que si se genera u U(0, 1) se tiene que x = F 1 X (u) sigue la distribución de X. Para generar u U con MATLAB/Octave podemos utilizar rand ó unifrnd. a) Sea X una variable aleatoria con función de distribución F X (x), dada por: { 0 x < 0 F X (x) = 1 e 2x 0 x Cómo simularías valores de la v.a. X? b) Comprueba con MATLAB/Octave los valores de E[X] y de Var[X]. a) Por el método de la inversa tenemos que considerando la igualdad u = F X (x), tenemos que para 0 x, se verifica que: 1 Para más detalles: link 1 e 2x = u 1 u = e 2x 1 log(1 u) = x 2 Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 4
Con lo que si generamos u U(0, 1), obtendremos que x f(x). El pseudocódigo sería: 1: Fijar n = 100 2: Generar n datos u U(0, 1) 3: Aplicar transformación inversa (x = 1 2 4: Tenemos que x f(x) log(1 u)) 45 40 En MATLAB, sobre el Command Window: >> n=100000; >> u=rand(n,1); >> x = (-1/2)*log(1-u); >> hist(x) 35 30 25 20 15 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 NOTA: El método de la inversa permite simular variables aleatorias de manera sencilla a partir de v.a. s uniformes. En este ejercicio se han simulado v.a. s Exponenciales de parámetro λ = 2. b) Dada la función de distribución de X, F X (x), podemos obtener la función de densidad f(x), sabiendo que f(x) = df X(x) dx y por tanto: { 2e 2x x 0 f(x) = 0 en otro caso µ = E[X] = σ 2 = Var[X] = xf(x)dx = 1 2 (x µ) 2 f(x)dx = >> mean(x) % es aprox. 0.5 >> var(x) % es aprox. 0.25 ( x 1 ) 2 f(x)dx = 1 2 4 NOTA: como se indicó en el apartado anterior, X Exp(λ = 2), donde E[X] = 1/λ y Var[X] = 1/λ 2. 4. Sea X una variable aleatoria Rayleigh de parámetro cuya función de densidad f (x) viene dada por { ( x exp f(x) = 2 x2) x > 0 0 resto Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 5
con media y varianza dadas por µ = E [X] = π 2 σ 2 = V [X] = 4 π 2 a) Cuál sería el código para generar 50 valores X con = 0, 17? b) Qué procedimientos numéricos se podría usar para ver que se ha generado de forma correcta la v.a. X en el apartado anterior? a) La forma de generar X es a través del método de la función inversa de la función de distribución. Para ello en primer lugar hay que calcular la función de distribución. { x F (x) = 0dt = 0 x 0 x t exp ( 2 t2) dt = x 0 t exp ( 2 t2) dt x > 0 con lo que { F (x) = [ ( 2 1 2 0 x 0 ) ( exp 2 t2)] t = ( exp ( 0 2 x2) 1 ) = 1 exp ( 2 x2) x > 0 que cumple las cuatro propiedades para ser función de distribución (F ( ) = 0, F (+ ) = 1, monótona no decreciente y continua por la derecha). En segundo lugar se utiliza el resultado teórico de que Y = F (X) sigue, siempre que F admita inversa, una U (0, 1). A efectos prácticos este resultado se utiliza generando una u según una U (0, 1) igualando a F (x) y despejando x en función de u. Dado que u > 0 se invierte F según la expresión: ( 1 exp 2 x2) = u 1 u = exp ( 2 x2) x 2 = 2 Ln (1 u) 2 x = ± Ln (1 u) De la expresión anterior se toma la raíz positiva para que x > 0 que es donde se ha invertido F. El pseudocódigo sería: - Generar u según una U (0, 1). 2 - Concluir que x = Ln (1 u) sigue la v.a. requerida (en este caso Rayleigh). >> y=rand(50,1); >> alpha=0.17; >> x=sqrt((-2/alpha)*log(1-y)); Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 6
b) Podemos comprobar que la media observada y la desviación típica obervada para los x generados son parecidos a los valores teóricos: >> media_teorica = sqrt(pi/(2*alpha)); >> media_teorica = 3.0397 >> var_teorica = (4-pi)/(2*alpha); >> var_teorica = 2.5247 >> mean(x) % aprox. 3.0397 >> var(x) % aprox. 2.5247 5. Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo o su valor correcto: El código en MATLAB/Octave para generar 100 valores de una v.a Gompertz generalizada con función de distribución { 1 exp ( exp (x)) 0 < x F (x) = 0 resto es >> x=rand(100,1); >> g=-log(1-x); % log es logaritmo neperiano Es falsa. Para generar una v.a. continua cuya función de distribución admita inversa, se considera F (x) = u con u U (0, 1) y se despeja la x. Por lo que Por tanto el código en MATLAB sería: >> u=rand(1000,1); >> x=log(-log(1-u)); F (x) = 1 exp ( exp (x)) = u 1 u = exp ( exp (x)) ln (1 u) = exp (x) x = ln ( ln (1 u)) Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 7
6. En una caseta de una feria se nos propone el siguiente juego. Hay que elegir un número del 1 al 6. El feriante lanzará tres dados. Si sale el número elegido en los tres dados recibiremos 3 euros, si sale en dos recibiremos 2 euros, si sale en uno recibiremos 1 euro y si no sale en ninguno, pagaremos 1 euro. Es ventajoso el juego para nosotros? Resolverlo con una función MATLAB/Octave. Creamos la función juego3dados.m: %%% *.m file function esperanza = juego3dados(n,k) u=unidrnd(6,n,3); a=(u==k); s=sum(a,2); g=-1*(s==0)+1*(s==1)+2*(s==2)+3*(s==3); esperanza=sum(g)/n; %%% Utilizando esta la función juego3dados.m, observamos que para cualquier valor de k, la esperanza es negativa, y por tanto el juego no es ventajoso. Se puede observar que el valor obtenido es aproximadamente el valor teórico 0,08. >> esperanza = juego3dados(1000,k) 1.3. Ejercicios propuestos 1. a) Indicar el código MATLAB para resolver el problema Ex. JUN 2007 ITTel, C1b (link). b) En el apartado a), comprueba gráficamente mediante un diagrama de barras, que la generación de X 1 y X 2 es correcta. PISTA: Recordar Ejercicio 1.2.1 de la práctica 2. 2. Utiliza el método de la transformación inversa de la función de distribución para generar una variable aleatoria continua cuya función de densidad sea { 0 resto f(x) = 1 18 x 0 < x < 6 a) Calcular E [X]. b) Aplicar el método de la transformación inversa para generar valores de la v.a. X. PISTA: determinar en primer lugar la función de distribución F X (x). c) Escribir el PSEUDOCÓDIGO para generar valores de la v.a. X. d) Escribir el código MATLAB/Octave para genera valores de la v.a. X. e) Dada la v.a. Y = 1/X, determinar f Y (y) por el teorema de la transformación. Verificar que f Y (y) cumple las dos propiedades para ser función de densidad. Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 8
f ) Determinar F Y (y) a partir de f Y (y) y directamente a partir de la definición F Y (y) = P (Y y). Verificar que F Y (y) cumple las cuatro propiedades para ser función de distribución. g) Calcular E [Y ] a través de f Y (y) y directamente a través de f X (x). h) Comprobar con MATLAB/Octave el valor teórico de E [Y ] por el método de la inversa aplicado a F Y (y). i) Comprobar con MATLAB/Octave el valor teórico de E [Y ] generando directamente Y = 1/X, con valores X a partir del apartado d). j ) Comprobar con MATLAB/Octave, utilizando las v.a. X e Y anteriores que [ ] 1 E 1 X E [X] (es decir que la esperanza no es un operador no lineal). Grado en Ing. de Telecomunicación - Estadística (2008-2009), PRÁCTICA 2. VARIABLES ALEATORIAS 9