New Jersey Center for Teaching and Learning Slide 1 / 130 Inciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en www.njctl.org y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento por escrito de sus propietarios. NJCTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otros personas el acceso a los materiales de los cursos. Click para ir a nuestro sitio web: www.njctl.org 7º Grado Matemática Slide 2 / 130 Porcentaje 2012-12-07 www.njctl.org Tabla de Contenidos Haga click en el tema para ir a esa sección Slide 3 / 130 Relaciones de fracciones, decimales y porcentajes. Tres tipos de problemas de porcentajes Porcentaje de cambio Representaciones de porcentajes - Ecuaciones algebraicas Porcentaje aplicado al decrecimiento Porcentaje aplicado al crecimiento Problemas aplicados a la vida real Núcleos comunes: 7.RP.3, 7.EE.2, 7.EE.3
Slide 4 / 130 Relaciones de fracciones, decimales y porcentaje Volver a la tabla de contenidos Para ayudarte a recordar... Slide 5 / 130 Llenar cada cuadro de los de abajo con un ejemplo del proceso descripto. % en una fracción % en decimales fracciones en % decimales en % Ordenar los números de menor a mayor. Slide 6 / 130 0.15 12.5% 0.095 Para hacer esto, deben estar todos con la misma forma. Cambiemos a todos en porcentajes: 15% 12.5% 16% 9.5% Así de menor a mayor: 9.5% 12.5% 15% 16% 0.095 12.5% 0.15
1 Encuentra el menor valor Slide 7 / 130 A 5% B 1/2 C.5% D.05 2 Encuentra el mayor valor Slide 8 / 130 A 120% B 1.02 C.2% D 1.19 3 Encuentra el mayor valor Slide 9 / 130 A 6% B.6 C 60 D 6
4 Encuentra el valor más pequeño Slide 10 / 130 A 2% B.2 C.02 D.2% 5 Encuentra el valor más pequeño Slide 11 / 130 A 50% B 500% C 50.0 D 50.01 Expresa cada decimal o porcentaje en una fracción en su mínima expresión: 1) 18% 2) 0.85 3) Slide 12 / 130 4) 5) 5.008 6) 0.0001
Expresar cada fracción como porcentaje: Slide 13 / 130 1) 2) 3) 6 Expresala como una fracción. Slide 14 / 130 7 Exprésalo como un decimal. Slide 15 / 130 Answer
8 Exprésalo como porcentaje Slide 16 / 130 9 Exprésalo como un decimal Slide 17 / 130 10 Exprésalo como porcentaje. Slide 18 / 130
11 Exprésalo como porcentaje Slide 19 / 130 Slide 20 / 130 Tres clases de problemas de porcentajes Volver a la tabla de contenidos Recuerda, los porcentajes son "partes del entero". La parte es el numerador y el entero es el denominador. Slide 21 / 130 17% significa 17 partes por 100 o Vamos a resolver los problemas de porcentajes. Hay 3 clases de problemas: 1. Encontrar la parte Qué número es el 54% de 34? 2. Encontrar el entero 4 es el 60 % de qué número? 3. Encontrar el porcentaje Qué porcentaje es 18 de 28?
Dos palabras que aparecerán en este tipo de problemas es "es" y "de". Estas palabras tienen su significado específico en matemáticas. "Es" significa igual (=) "De" significa multiplicación Slide 22 / 130 Para resolver los problemas de porcentaje, traduce las palabras en una ecuación. Cambia lo siguiente: 1. El porcentaje en un decimal 2. "es" en "=" 3. "de " en " " 4. Lo que no conozcas en "x" Después, resuelve la ecuación. Slide 23 / 130 Encontrando las partes... Ejemplo: Encuentra Slide 24 / 130 40% de 60 Escribe el enunciado matemático..40 60 = 24 Click 20% de 90 Escribe el enunciado matemático..20 90 = 18 Click
Escribe el enunciado matemático Cuál es el 10% de 88? X =.10 88 Slide 25 / 130 X = 8.8 Intenta esto: Encuentra el 12% de 70 Cuál es 40% de 28? TIRE TIRE Otro método: Slide 26 / 130 También puedes resolver los problemas de porcentajes mediante la creación de una proporción. Dado que los porcentajes son partes de un todo, puedes crear la siguiente proporción: Al averiguar cual es "la parte" y cual es "el entero", recuerda que tomas un pocentaje de la totalidad y la respuesta (incógnita) es la parte. En otras palabras, el entero es con la palabra "de" y la parte es con la palabra "es". Slide 27 / 130
Método de las proporciones. Slide 28 / 130 Pasos 1. Establecer la proporción como se muestra. es de = % 100 Nota: Puedes usar este cuadro para resolver muchos problemas de porcentajes! 2. Sustituir los valores dados en la proporción. Nota: Intenta encontrar los números que se adjuntan a las palabras o a los símbolos:es, de, o porcentaje. 3. Resolver la proporción. Slide 29 / 130 Ejemplo: Cuál es el 25% de 400? Pasos 1. Establecer la proporción. es de? 400 = 25 100 % 100 2. Sustituir. Cuál es el 25% de 400? Hacé click en el cuadro para ver si sustituiste correctamente. 3. Resolver. 400 x 25 = 100 enteros 10,000 = 100 enteros 10,000/100 = entero 100 = entero Slide 30 / 130 Ejemplo: Cuál es el 32% de 300? Pasos 1. Establecer la proporción. es de? 300 = 32 100 % 100 2. Sustituir. Cuál es el 32% de 300? 3. Resolver. Hacé click en el cuadro para ver si sustituiste correctamente 300 x 32 = 100 enteros 9,600 = 100 enteros 9600/100 = entero 96 = entero
Slide 31 / 130 Intenta esto: Cuál es el 20% de 180? Pasos 1. Establece la proporción. es de = % 100 2. Sustituye. 3. Resuelve. 12 Encuentra el 30% de 45 Slide 32 / 130 13 Cuál es el 15% de 90? Slide 33 / 130
14 Encuentra el valor más alto. Slide 34 / 130 A 20% de 16 B 10% de 90 C 25% de 40 D 100% de 7 15 Encuentra el valor más alto. Slide 35 / 130 A 2% de 1000 B 5% de 500 C 10% de 300 D 15% de 100 16 Identifica los valores que sean iguales. Slide 36 / 130 A Cuál es el 40% de 80? B 60% de 70 C 25% de 128 D 200% de 16
Slide 37 / 130 Buscando el entero... Recuerda, puedes resolver esto por: 1. Traducción a una ecuación 2. La creación de una proporción Slide 38 / 130 el 40% de qué número es 50?.40 X = 50 X = 50.40 X = 125 Intenta esto: Slide 39 / 130 100 es 20% de qué número? 100 =.20 x 100 = x.20 x = 500
17 56 es el 70% de qué? Slide 40 / 130 18 el 12% de qué número es 6? Slide 41 / 130 19 el 65% de qué número es 10? Slide 42 / 130
20 27 es el 150% de qué número? Slide 43 / 130 21 el 1% de qué número es 12? Slide 44 / 130 Slide 45 / 130 Buscando los porcentajes...
Recuerda, puedes resolver esto por: 1. Traducción a una ecuación 2. La creación de una proporción Slide 46 / 130 Qué porcentaje de 80 es 24? x 80 = 24 X = 24 80 X =.30 X = 30% Slide 47 / 130 60, qué porcentaje es de 15? 60 = X 15 60 = X 15 4 = X 400% = X 22 Qué porcentaje de 3 es 12? Slide 48 / 130
23 30 qué porcentaje es de 36? Slide 49 / 130 24 Qué porcentaje de 18 es 180? Slide 50 / 130 25 2 qué porcentaje es de 1? Slide 51 / 130
26 Qué porcentaje de 25 es 20? Slide 52 / 130 Ya has estudiado tres clases diferentes de problemas de porcentajes. Prueba los tres: Slide 53 / 130 24, es el 40% de qué número? 42 es qué porcentaje de 840? TIRE Cuál es el 30% de 45? 27 Encuentra el mayor valor. Slide 54 / 130 A Cuál es el 50% de 50? B Qué número es el 45% de 60? C 30 es el 60% de qué número? D 25% de qué número es 150?
28 Encuentra el máximo valor de porcentaje. Slide 55 / 130 A Qué porcentaje de 30 es 18? B 60 es qué porcentaje de 90? C Qué porcentaje de 70 es 210? D 1,000 es qué porcentaje de 100? 29 Encuentra 20% de 78. Slide 56 / 130 30 8, es qué porcentaje de 28? Slide 57 / 130
31 Qué número es el 3% de 17? Slide 58 / 130 32 Encuentra el 27% de 54. Slide 59 / 130 33 23 es qué porcentaje de 200? Slide 60 / 130
34 Qué porcentaje de 35 es 20? Slide 61 / 130 35 el 56% de qué número es 40? Slide 62 / 130 36 45 es el 30% de qué número? Slide 63 / 130
37 cuál es el 62% de 40? Slide 64 / 130 A 24.8 B.0155 C 24.8% D 15.5 Slide 65 / 130 Porcentaje de cambio Volver a la tabla de contenidos Porcentaje de cambio: La relación de cantidad de aumento o disminución de la cantidad original. Slide 66 / 130 Se trata de un incremento cuando la cantidad nueva es superior a la original y de disminución cuando la nueva cantidad es menor que la original. Para encontrar el porcentaje de cambio, usar la siguiente proporción: Porcentaje de cambio: Cantidad de crecimiento o disminución = % Cantidad original 100
Encuentra el porcentaje de cambio (asegurate de marcar si la respuesta es incremento o disminución). Slide 67 / 130 Ejemplo: Cantidad original: 20 Cantidad original: 40 Nueva cantidad: 30 Nueva cantidad: 10 Porcentaje de cambio= Porcentaje de cambio= Identifica el porcentaje de cambio con aumento o disminución. Luego encuentra el porcentaje de cambio. Slide 68 / 130 1. Original: 45 Nuevo: 75 2. Original: 100 Nuevo: 42 TIRE 3. Original: 58 Nuevo: 75 Intenta esto! Slide 69 / 130 Un CD original costaba $12.99. Ahora está a la venta por $10.99. Cuál es el porcentaje de cambio? TIRE
Intenta esto! Slide 70 / 130 Un alumno en su primera prueba tuvo un 60 y en la segunda evaluación un 85. Cuál es el porcentaje de cambio? TIRE 38 En 2005, el precio de la hamburguesa en McDonald's fue de $0.89. En 2010, el precio de la hamburguesa en McDonald's fue de $1.19. Cuál es el porcentaje de cambio? Slide 71 / 130 39 Cantidad original: 500 Nueva: 700 Calcula el porcentaje de cambio. Slide 72 / 130
40 Cantidad original: 52 Nueva: 17 Encuentra el porcentaje de cambio. Slide 73 / 130 6 41 El número de estudiantes que asistieron a FHS en 2010 fue de 1405. En 2011, asistieron 1380 alumnos a FHS. Cuál fue el porcentaje de cambio en cuanto a la inscripción de los alumnos? Slide 74 / 130 Slide 75 / 130 42 Encuentra el porcentaje de cambio. Precio original: $125 Precio para la venta: $75
43 Encuentra el porcentaje de cambio. Precio original: $80 Precio para la venta: $50 Slide 76 / 130 37. 44 44 42 Un estéreo salía originalmente $360, ahora está de oferta en $200. Cuál es el porcentaje de cambio? Slide 77 / 130 44 Slide 78 / 130 Representaciones de porcentajes - Ecuaciones Algebraicas Volver a la tabla de contenidos
Ya empezaste con la traducción de problemas de porcentajes en ecuaciones. Slide 79 / 130 Recuerda... Para resolver los problemas de porcentajes, cambia las palabras en ecuaciones. Cambio: 1. Porcentajes en decimales 2. "es" en "=" 3. "de" en " " 4. Lo que no conozcas en "x" Luego, resuelve la ecuación. Piensa en esto... Slide 80 / 130 100% + 5% = 105% Cómo es la ecuación en la forma decimal? 1 + 0.05 = 1.05 Por lo tanto, si aumenta el precio de una remera un 5%, el nuevo precio es el 105% del precio original. Para representar la forma algebraica, podrías escribirlo de esta manera: s = el precio original de la remera 1s + 0.05s = 1.05s Ejemplo: Slide 81 / 130 Vendes una remera por $15.50. Este precio representa un 5% de incremento del precio que la pagaste. Cuánto te salió comprar la remera? s = el precio original de la remera 1s + 0.05s = 15.50 1.05s = 15.50 s = $14.76 La remera te costó $14.76.
Ejemplo: Slide 82 / 130 La población de la escuela disminuyó un 13% este año con respecto al año anterior. Si hay 957 alumnos en la escuela este año, cuántos había el año pasado? 2 alumnos resolvieron el problema de forma diferente. Cuál es la correcta? Por qué? Es un método más fácil que el otro? Alumno 1: Alumno 2: 100% - 13% = 87% 1n -.13n = 957 87% de qué es 957? 0.87n = 957 0.87n = 957 n = 1,100 alumnos n = 1,100 alumnos Entonces, cuánto significa esto? Slide 83 / 130 m + 0.15m = 1.15m Esto significa el aumento de m en un 15% o multiplicar m por 1.15. Significan lo mismo! Del mismo modo, cuál es el significado de... w - 0.42w = 0.58w Esto significa que ambos disminuyeron w en 42% o multiplicaron w por 0.58. Intenta. Slide 84 / 130 1. Un smart phone sale $299, o 18% menos. Cuál es el precio original del teléfono? Escribe y resuelve una ecuación para representar la situación. 2. Qué significa esta ecuación? p + 0.02p = 1.02p 3. Qué significa esta ecuación? h - 0.1h = 0.9h
45 43 Escribe una ecuación para representar el problema, luego 44 resuelve. Está preparado para mostrarme tu ecuación! Slide 85 / 130 Cuando vas de shopping, debes pagar un adicional del 6% en impuestos de ventas. Cuál es el precio de las cosas antes de los impuestos si lo que te cobraron finalmente fue $25? 46 44 44 Elige una ecuación que represente la situación. Slide 86 / 130 La población de un pueblo se incrementó el 1%. A x + 0.01x = 1.01x B x + 0.1x = 1.1x C x - 0.1x = 0.9x D x - 0.01x = 0.99x 47 45 Escribe una ecuación para representar el problema, luego 44 resuelve. Está preparado para mostrarme tu ecuación! Slide 87 / 130 El número de los alumnos de la clase decreció un 12% desde septiembre. Cuántos alumnos fueron los que comenzaron si hay una concurrencia de 19 alumnos?
48 46 Elige que ecuación representa la situación. 44 Slide 88 / 130 Un 15% de rebaja. A x + 0.15x = 0.85x B x + 1.5x = 2.5x C x - 0.015x = 0.985x D x - 0.15x = 0.85x Slide 89 / 130 49 47 44 Escribe una ecuación para representar el problema, luego resuelve. Esta preparado para mostrarme tu ecuación! Cuando pagaste la factura en un restaurante, incluyó el 24% más por impuestos y propina. Si pagaste $55.80, cuánto fue la cantidad original del almuerzo? Slide 90 / 130 Porcentaje aplicado a la disminución Volver a la tabla de contenidos
Hay situaciones en las que el porcentaje de cambio va a sufrir una disminución. Los ejemplos son: Slide 91 / 130 Descuentos Ventas Reducción de población Cuando encuentras un descuento, hay dos métodos diferentes que puedes usar. Slide 92 / 130 Método 1: Encontrar el porcentaje del precio original (el descuento de la cantidad en $) Resta el descuento del precio original. Método 2: Resta el porcentaje de 100% (el porcentaje que tú estás pagando) Calcula el porcentaje del precio original. Ejemplos: Un sweater de $50 está a la venta con el 20% de descuento. Calcula ese precio. Método 1: Encontrar el porcentaje del precio original (el descuento de la cantidad en $) Restar el descuento del precio original. Slide 93 / 130 (Descuento) (Precio para la venta) Método 2: Restar el porcentaje de 100% (el porcentaje que tú estás pagando) Calcular el porcentaje del precio original. (Porcentaje que tú pagas) (Precio para la venta)
El gerente quiere ofrecer un 30% de descuento en todas las cosas del negocio. Calcular el precio a la venta de un pulover a $25. Slide 94 / 130 (Descuento) (Precio a la venta) (Porcentaje que pagaste) (precio de venta) Utilizando cualquiera de los métodos, la respuesta es $17.50 El vendedor tiene pantalones a un precio de $45, con rebajas del 35%. Cuál será el precio real de los pantalones? Slide 95 / 130 (Descuento) (Precio venta) (Porcentaje que pagas) (Precio venta) Los pantalones salen con la oferta $29.25 Mark quiere comprar un estéreo que está en oferta, pero quiere ahorrarse un 30%. Slide 96 / 130 El precio original del estéreo es $425. Cuánto dinero está dispuesto a pagar Mark? (Descuento) (Precio venta) (Porcentaje que pagas) (Precio venta) El está dispuesto a pagar $297.50.
48 50 Disminución del 10% en 400 44 Slide 97 / 130 51 44 49 Una computadora de $710 está con un descuento del 30%. Cuál será el precio de la oferta? Slide 98 / 130 50 52 44 Un collar sale $120, está rebajado al 15%. Cuál será el precio de la oferta? Slide 99 / 130
53 51 44 La cantidad de alumnos de la escuela secundaria disminuirá un 5% el próximo año. La asistencia actual es de 1407 alumnos. Cuántos asistirán el año próximo? Slide 100 / 130 52 54 44 Un negocio tiene los productos con el 40% de descuento. Cuál es el porcentaje que pagarán los clientes? Slide 101 / 130 55 53 44 Las botas salen $80 pero tienen un descuento del 20%. Después de la venta, el vendedor aumenta el precio 20%. Cuál será el precio de las botas después de la venta? Slide 102 / 130
Slide 103 / 130 Porcentaje aplicado al crecimiento Volver a la tabla de contenidos Hay situaciones en las que el cambio de porcentaje es un aumento. Por ejemplo: Slide 104 / 130 Propina IVA Incremento de la población Cuando encuentras un aumento, hay dos métodos diferentes que puedes usar. Slide 105 / 130 Método 1: Encontrar el porcentaje del precio original(cantidad aumentada) Sumarle el incremento al precio original. Método 2: Sumarle el porcentaje al 100% (porcentaje que estás pagando) Encontrar el porcentaje del precio original.
Encontrando una nueva cantidad Slide 106 / 130 Aumento del 20% en 55 (Recargo) (Nuevo precio) (Porcentaje que pagas) (Nuevo precio) Encuentra el nuevo costo Slide 107 / 130 El aumento del 10% en 60 El aumento del 12% en 68 TIRE 56 Slide 108 / 130 44 54 El aumento del 25% en 36.
57 55 44 El aumento del 15% en 40. Slide 109 / 130 Propina: Un precio que se agrega a la factura por los servicios prestados. Los clientes tradicionalmente dan una propina del 18 hasta el 20% por un buen servicio en restaurantes y salones. Slide 110 / 130 Ejemplo: Si en un restaurante la factura es de $45 y quieres dejar un 20% de propina, cuánto dinero estás dejando? 45 +.20(45) = 54 or 45(1.20) = 54 El cliente dejará $54 en la mesa. El mozo recibirá una propina de $9 y el restaurante $45. Para calcular sólo la propina:.20(45) = 9 Slide 111 / 130 Calcula el 20% de propina en una factura de $75. TIRE Cuánto dinero está dejando el cliente en total? TIRE Por un mal servicio, mi amigo dejará una propina del 5%. Cuánto menos ganará el mozo que el del punto anterior? TIRE
I.V.A: La cantidad de dinero que se calcula aplicando un porcentaje a los precios de venta. Los impuestos a las ventas (IVA) son cobrados al comprador, quien le da el dinero al vendedor, que lo devuelve al gobierno. En Nueva Jersey el IVA es del 7%. Slide 112 / 130 Para calcular el IVA debemos encontrar el porcentaje (el impuesto) sobre el precio. Esa es la cantidad que debes más el costo del artículo. Para calcular el costo total de un artículo, debes sumar el impuesto al costo. Existen dos maneras de hacer esto: 1. Calcular el porcentaje del elemento y agregarle la cantidad original. 2. Calcular el 100% + % del IVA sobre la cantidad original. Precio de un auto $23,500. Cuánto tendrá que pagar el cliente de IVA? Slide 113 / 130 23,500(0.07) = $1645 Cuánto pagará en total por el auto? 23,500 + 1645 = $25,145 El precio total del auto, incluidos los impuestos, se puede calcular de la siguiente manera: 23,500 +.07(23,500) = 25,145 o 23,500(1.20) = 25,145 Para debatir: Son las propinas y los impuestos iguales? Slide 114 / 130
56 58 44 Cuánto es el precio total de un estéreo de $250 en Nueva Jersey? Slide 115 / 130 59 57 Calcular el IVA en una bicicleta de $125. 44 Slide 116 / 130 60 44 58 Mike quiere dejar el 20% para la propina. Gastó $35.50. Cuánto deja de propina? Slide 117 / 130
59 61 44 $65 cuesta un plato en un restaurante. Una pareja quiere dejar el 18% de propina. Cuánto deben dejar en total? Slide 118 / 130 60 62 44 Cuál es el costo total de un ipod de $123, incluidos los impuestos? Slide 119 / 130 Slide 120 / 130 Problemas de aplicación en la vida real Volver a la Tabla de contenidos
El dueño de un negocio paga $12 por una pulsera. Para cubrir los gatos, el propietario la vende al 150%. Calcular el precio de la pulsera para la venta. Slide 121 / 130 TIRE Un negocio tiene todos los CD's al 20% de descuento. Con la oferta, pagas $12 cada CD. Cuál es el precio original? TIRE 1 1 Slide 122 / 130 Una pareja le dejó al mozo el 20% de propina, $18. Cuál fue el costo de la comida? TIRE 20.2 $9 Tú y tres de tus amigos cenaron en un restaurante. El costo de las comidas es de $62. Quieren dejar el 15% de la propina. Calcula la propina. Slide 123 / 130 Cuando van a la caja el cajero calcula el IVA sobre el gasto de la comida en un 7%. Determinar cuánto es el IVA. TIRE (*Nota: nunca entra la propina en el impuesto) Calcula el costo total de la comida para cada uno de ustedes.
Un comercio tiene los ipods con 25% de descuento. Tú quieres comprar un ipod al precio original de $249. El IVA que se le aplicará al ipod es del 7%. Cuál es el precio total? Slide 124 / 130 Una notbook tiene un descuento del 10 % sobre su precio original de $ 325. Como no se vende, el gerente la pone con otro descuento del 20% sobre el precio de oferta. Cuál es el nuevo precio de la notbook? TIRE TIRE El nuevo precio de venta sería igual que si el gerente la hubiera puesto con un descuento del 30% sobre el precio original? Explica 63 44 61 Precio al por mayor: $56 Porcentaje adicionado para la venta: 50% Nuevo precio:? Slide 125 / 130 64 44 62 Las entradas salen $7 en la puerta. Por adelantado salen $5. Cuál es el porcentaje de descuento si uno compra el boleto por adelantado? Slide 126 / 130
65 63 44 De las 560 personas que fueron encuestadas, el 25% prefiere Coca-Cola. Cuántas personas prefieren Coca? Slide 127 / 130 66 64 44 El aumento del 25% en 50. Cuál es la nueva cantidad? Slide 128 / 130 67 44 65 Cuál es el precio original de un par de botas que se venden a $72 después de un descuento del 25%? Slide 129 / 130
66 44 Un ipod cuesta $176. Está a la venta con un 20% de descuento y se le agregará el valor del IVA del 7%. Cuál será el costo final del Ipod? 68 Slide 130 / 130