Factor. 8vo Grado Matemática. Ecuaciones con raíces y radicales. 1 Vocabulario. Slide 1 / 85. Slide 2 / 85. Slide 3 / 85. Slide 4 / 85.
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- Alejandro Moya Rey
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1 Slide 1 / 85 Slide 2 / 85 New Jersey enter for Teaching and Learning Iniciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en ww.njctl.org y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin consentimiento el por escrito de sus propietarios. NJTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otras personas el acceso a los materiales de los cursos. Nosotros, en la sociación de Educación de Nueva Jersey NJE) ( somos fundadores orgullosos y apoyo NJTL de y la organización independiente sin fines de lucro. NJE adopta la misión de NJTL de capacitar a profesores para dirigir el mejoramiento escolar para el beneficio de todos los estudiantes. lick para ir al sitio web: 8vo Grado Matemática Ecuaciones con raíces y radicales Slide 3 / 85 Slide 4 / 85 Tabla de ontenidos Expresiones radicales que contienen variables Simplificación de raíces cuadradas no perfectas Simplificación de raíces de variables lick sobre el tema para ir a esa sección Vínculos a preguntas PR de muestra Sin calculadora el N 9 Resolución de ecuaciones con cuadrados perfectos y raíces cúbicas Glosario ommon ore Standards: 8.EE.2 Slide 5 / 85 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. lgunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! uando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. uántos tercios es en un entero? uántos quintos hay en un entero? uántos novenos hay en un entero? (Haz click sobre el subrayado.) El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para armar una "pared de palabras". 1 Vocabulario Slide 6 / 85 Factor Un número entero que puede dividir a otro número sin dejar resto Ejemplos/ ontraejemplos El cuadro tiene 4 partes 3 es un factor de 15 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer número 5 R Su significado 3 no es un factor de 16 2 (ómo se utiliza en esta lección) Volver al tema Vínculo para volver a la página del tema.
2 Slide 7 / 85 Expresiones radicales que contienen variables Volver a la tabla de contenidos Slide 8 / 85 Raíces cuadradas de variables Para sacar la raíz cuadrada de una variable re-escribe su exponente como el cuadrado de una potencia. = = (x 12 ) 2 = x 12 (a 8 ) 2 = a 8 Slide 9 / 85 Raíces cuadradas de variables Si la raíz cuadrada de una variable es elevada a una potencia par tiene como respuesta una variable elevada a una potencia impar, la respuesta debe tener el signo de valor absoluto. Esto asegura que la respuesta será positiva. Ejemplos Slide 10 / 85 Por definición... Slide 11 / 85 Slide 12 / 85 Intenta éstos. uáles de estas expresiones necesitarán el signo del valor absoluto al ser simplificadas? = x 5 = x 13 sí sí no sí no sí
3 Slide 13 / 85 Slide 13 (nswer) / 85 Slide 14 / 85 Slide 14 (nswer) / 85 Slide 15 / 85 Slide 15 (nswer) / 85
4 Slide 16 / 85 Slide 16 (nswer) / 85 Slide 17 / 85 Slide 17 (nswer) / no tiene solución dentro del conjunto de los reales no tiene solución dentro del conjunto de los reales Slide 18 / 85 Slide 19 / 85 Simplificando cuadrados perfectos (Revisión) Simplificación de radicandos cuadrados no perfectos Volver a la tabla de contenidos Un número es un cuadrado perfecto si puedes tomar esa cantidad de 1x1 unidades cuadradas y formar con ellas un cuadrado. 4 es un cuadrado perfecto, porque tomas cuatro unidades cuadradas y formas con ellas un cuadrado de 2 x 2. (Observa que la raíz cuadrada de cuatro es la longitud de uno de sus lados, ya que ese lado multiplicado por sí mismo es igual a 4.) 4 = Unidad cuadrada 2
5 Slide 20 / 85 Qué sucede con los números que no son cuadrados perfectos? ómo podemos simplificar 8? Slide 21 / 85 Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto? 8 Re-escribe el radicando como un producto de su mayor factor click cuadrado perfecto. 8 no es un cuadrado perfecto, y no importa como organicemos las unidades cuadradas, no podremos formar con ellas un cuadrado. sí que, sabemos que no tendremos un número entero que pueda ser multiplicado por sí mismo y de igual al 8. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. click Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional Slide 22 / 85 Otro ejemplo Intenta éstos. Slide 23 / 85 Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto? 1. Re- escribe el radicando como un producto de su mayor factor cuadrado perfecto. 2. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. click click click Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional Slide 24 / 85 Slide 25 / 85 Identificar el mayor factor cuadrado perfecto al simplificar raíces nos hace ahorrar mucho trabajo. Ej: No simplifiques! delante! 6 Simplifica alcular el mayor factor cuadrado perfecto resulta en menos trabajo: ya está en forma simplificada Observa que las respuestas son iguales para ambos procesos.
6 Slide 25 (nswer) / 85 Slide 26 / 85 6 Simplifica 7 Simplifica ya está en forma simplificada ya está en forma simplificada Slide 26 (nswer) / 85 Slide 27 / 85 7 Simplifica 8 Simplifica ya está en forma simplificada ya está en forma simplificada Slide 27 (nswer) / 85 Slide 28 / 85 8 Simplifica 9 Simplifica ya está en forma simplificada ya está en forma simplificada
7 Slide 28 (nswer) / 85 Slide 29 / 85 9 Simplifica 10 Simplifica ya está en forma simplificada ya está en forma simplificada Slide 29 (nswer) / 85 Slide 30 / Simplifica 11 Simplifica ya está en forma simplificada ya está en forma simplificada Slide 30 (nswer) / 85 Slide 31 / Simplifica 12 uál de los siguientes no tiene una forma simplificada irracional? ya está en forma simplificada
8 Slide 31 (nswer) / uál de los siguientes no tiene una forma simplificada irracional? Slide 32 / La diagonal de un cuadrado puede ser expresada por la fórmula d= 2a, donde a es el largo del lado del cuadrado. Selecciona las opciones correctas para mostrar la longitud de la diagonal del cuadrado que se muestra. Tu respuesta debería ser un radicando expresado en la forma más simple. d = E 2 F 3 Slide 32 (nswer) / La diagonal de un cuadrado puede ser expresada por la fórmula d= 2a, donde a es el largo del lado del cuadrado. Selecciona las opciones correctas para mostrar la longitud de la diagonal del cuadrado que se muestra. Tu respuesta debería ser un radicando expresado en la forma más simple., E d = E 2 F 3 Slide 33 (nswer) / 85 9 Slide 33 / La distancia, d, en millas que una persona puede ver el horizonte se calcula con la siguiente fórmula. h = al altura de la persona sobre d = 3h el nivel del mar en pies. 2 qué distancia del horizonte deberías ser capaz de ver desde este punto? Tu respuesta debería ser un radicando en la forma más simple. d = E 6 F 10 Slide 34 / ft above sea level 14 La distancia, d, en millas que una persona puede ver el horizonte se calcula con la siguiente fórmula. h = al altura de la persona sobre d = 3h el nivel 300 es del divisible mar en por pies sí que, qué distancia del horizonte deberías ser capaz de ver desde este punto? ft = 150 above sea level Tu respuesta debería ser un radicando 2 en la forma más simple. d = E 6 F 10, E Nota - Si un radical comienza con un coeficiente antes que sea simplificado, cualquier cuadrado perfecto que sea simplificado será multiplicado por ese coeficiente. (multiplica lo de afuera) 2
9 Slide 35 / 85 Slide 36 / Simplifica Slide 36 (nswer) / 85 Slide 37 / Simplifica 16 Simplifica Slide 37 (nswer) / 85 Slide 38 / Simplifica 17 Simplifica
10 Slide 38 (nswer) / 85 Slide 39 / Simplifica 18 Simplifica Slide 39 (nswer) / 85 Slide 40 / Simplifica 19 Simplifica Slide 40 (nswer) / 85 Slide 41 / Simplifica 20 uando está escrito en la forma radical más simple, resultado es, qué valor de k? 20 el From the New York State Education epartment. Office of ssessment Policy, evelopment and dministration. Internet. vailable from accessed 17, June, 2011.
11 Slide 41 (nswer) / 85 Slide 42 / uando está escrito en la forma radical más simple, resultado es, qué valor de k? el 21 uando está escrito en la forma radical más simple el resultado es cuál es el valor de a? From the New York State Education epartment. Office of ssessment Policy, evelopment and dministration. Internet. vailable from accessed 17, June, Slide 42 (nswer) / 85 Slide 43 / uando está escrito en la forma radical más simple el resultado es cuál es el valor de a? 22 uál es mayor ó 6? uál es mayor ó 6? Slide 43 (nswer) / uál es mayor ó 10? Slide 44 / 85 6
12 Slide 44 (nswer) / 85 Slide 45 / uál es mayor ó 10? 10 Simplificación de raíces de variables Volver a la tabla de contenidos Slide 46 / 85 Slide 47 / 85 Uso del valor absoluto Por ejemplo -2 uando simplificamos radicales, hemos dicho que asumimos que todas las variables son positivas. Pero, por qué? Porque la raíz cuadrada del cuadrado de un número negativo no es el número original. Slide 48 / 85 Suficientemente fácil. Qué sucede cuando el radicando es una variable así que no conocemos el signo de este valor desconocido? -2 2 = +4 Pero, 4 no es -2, es +2. Por definición las raíces cuadradas de los números son positivas. omienzas con un número negativo (-2), y terminas con un número positivo (+2). sí que, la raíz cuadrada de un número es el valor absoluto de su raíz cuadrada. 4 = 2 Esto es para +2 2 y para Slide 49 / 85 Simplificando raíces de variables La definición técnica de "la raíz cuadrada de x cuadrado" es "el valor absoluto de x". x 2 x es positivo o negativo? No podemos saber, así que asumimos que "todas las variables son positivas". x x x x - - x 2 = = x 2 = x 2 x x es positivo x es negativo
13 Slide 50 / 85 Simplificando raíces de variables Uso del valor absoluto uando trabajamos con raíces cuadradas se necesita el signo del valor absoluto si: La potencia de la variable dada es par y x 6 La respuesta contiene una variable elevada a una potencia impar afuera del radical. x 6 = x 3 Slide 52 / 85 Más ejemplos Usa la forma expandida para explicar por qué se debe usar el valor absoluto en estas respuestas x 3 x x x x x x Si x es positivo ó negativo, cuando se lo multiplica por sí mismo un número par de veces, se convierte en un número positivo. así que, x es positivo. Slide 51 / 85 Pero, por qué? x 6 = x 3 = x x x Sin embargo, si x es negativo, cuando se lo multiplica por sí mismo un número impar de veces se convierte en un número negativo. así que, x podría ser negativo. sí que, para x 6 = x 3, debemos usar un signo de valor absoluto para indicar que x es positivo. x 6 = x 3 Slide 53 / 85 Simplificando raíces de variables ivide el exponente por 2. El número de veces que 2 cabe dentro del exponente se convierte en la potencia sobre la parte de afuera del radical y el resto es la potencia del radicando. x 7 = x x x x x x x = x 3 x Nota: No se necesita el signo de valor absoluto porque el radicando tenía una potencia impar al comienzo. Ejemplos: Slide 54 / 85 ombinándolos: Simplifica Slide 55 / 85 Sólo y tiene una potencia impar sobre la parte de afuera del radical x tenía una potencia impar bajo la raíz así que no se necesita el signo de valor absoluto. 50x 4 y 12 z (x 2 ) 2 (y 6 ) 2 zzz 5 x 2 y 6 z 2z La potencia inicial de m era impar, así que no necesita el signo de valor absoluto.
14 Slide 56 / 85 Slide 56 (nswer) / 85 Slide 57 / 85 Slide 57 (nswer) / 85 Slide 58 / 85 Slide 58 (nswer) / Simplifica 26 Simplifica
15 Slide 59 / 85 Slide 59 (nswer) / Simplifica 27 Simplifica Slide 60 / 85 Slide 61 / 85 Resolución de ecuaciones con cuadrados perfectos y raíces cúbicas Volver a la tabla de contenidos Slide 62 / 85 Slide 62 (nswer) / 85 Usa los números mostrados para hacer la ecuación cierta. ada número sólo puede ser usado una sóla vez Usa los números mostrados para hacer la ecuación cierta. ada número sólo puede ser usado una sóla vez a. = b. 3 = a. = = b. 3 ó ó
16 Slide 63 / 85 ompleta el iagrama de Venn para clasificar los números como cuadrados perfectos o cubos perfectos Slide 64 / 85 uando resolvemos ecuaciones, la solución, algunas veces requiere de calcular una raíz cuadrada o cúbica de ambos lados de la ecuación. uando tu ecuación se simplifica a: x 2 = # debes calcular la raíz cuadrada de ambos lados para calcular el valor de x. uando tu ecuación se simplifica a: x 3 = # debes calcular la raíz cúbica de ambos lados para calcular el valor de x. uadrados perfectos ubos perfectos Slide 65 / 85 Slide 66 / 85 Ejemplo: Ejemplo: Resuelve. = ivide cada lado por el coeficiente. Luego saca la raíz cuadrado de cada lado. Resuelve Multiplica cada lado por 9, luego calcula la raíz cúbica de cada lado. Slide 67 / 85 Slide 68 / 85 Observa! Raíces cúbicas La raíz cúbica de 27 es 3, y no -3, porque cuando se eleva 3 al cubo se obtiene x 3 x 3 = 27 Si tuvieras -3, obtendrías La respuesta es sólo positivo, 3 no Por qué la respuesta es sólo positiva y no tanto positiva como negativa? -3 x -3 x -3 = -27 e esta manera, la raíz cúbica de -27 es -3. sí que podemos sacar una raíz cúbica de un número positivo Y sacar otra raíz cúbica de un número negativo!
17 Slide 69 / 85 Raíces cúbicas Ejemplos: Inténtalos: Resuelve. Slide 70 / 85 ± 10 ± 8 ± 9 ± 7 Inténtalos: Resuelve. Slide 71 / Resuelve Slide 72 / Slide 72 (nswer) / 85 Slide 73 / Resuelve 29 Resuelve + -12
18 Slide 73 (nswer) / 85 Slide 74 / Resuelve 30 Resuelve Resuelve Slide 74 (nswer) / Resuelve Slide 75 / 85 2 Slide 75 (nswer) / 85 Slide 76 / Resuelve 32 Resuelve 15 + = 40 erived from 4
19 Slide 76 (nswer) / 85 Slide 77 / Resuelve 15 + = 40 erived from 33 Resuelve 2 + = 10 5 Slide 77 (nswer) / 85 Slide 78 / Resuelve 2 + = Un cubo tiene un volumen de 343. a) escribe una ecuación para determinar la longitud L de un lado. b) resuelve la ecuación. erived from Slide 78 (nswer) / Un cubo tiene un volumen de 343. erived from Slide 79 / Estima el área del rectángulo a la décima más cercana. a) escribe una ecuación para determinar la longitud L de un lado. b) resuelve la ecuación. a) L 3 = 343 b) L = 7 cm
20 Slide 79 (nswer) / Estima el área del rectángulo a la décima más cercana. Slide 80 / Si el área de un cuadrado es pulgadas cuadradas, cuál es la longitud en pulgadas, de un lado del cuadrado? u 2 Slide 80 (nswer) / Si el área de un cuadrado es pulgadas cuadradas, cuál es la longitud en pulgadas, de un lado del cuadrado? Slide 81 / uál ecuación tiene tanto 4 y -4 como un posible valor de y? From PR sample test Slide 81 (nswer) / 85 Slide 82 / uál ecuación tiene tanto 4 y -4 como un posible valor de y? Glosario Volver a la tabla de contenidos From PR sample test
21 Slide 83 / 85 ubo Multiplicar un número por sí mismo y luego por sí mismo nuevamente. El producto de tres factores iguales. Slide 84 / 85 Raíz cúbica Un valor que, usado en una multiplicación tres veces, da ese número. uánto es 4 al cubo? 4 3 = 4 x 4 x 4 = (4)(4)(4) = 6 3 = 64 6 x 6 x 6 = (6)(6)(6) = 216 uánto es el cubo de 6? uánto es 10 al cubo? 10 3 = 10 x 10 x 10 = (10)(10)(10) = 1000 Volver al tema Símbolo: 3 "raíz cúbica" 3 64 = 4 (4)(4)(4) = 64 4x4x4 = = 6 (6)(6)(6) = 216 6x6x6 = 216 Volver al tema Slide 85 / 85 Potencia Es otro nombre para un exponente. Es un pequeño número al que se eleva que muestra cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Potencia 3 2 ase "3 a la segunda potencia" 3 2 = 3x = x x x x 3 Volver al tema
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