8vo Grado Matemática. Ecuaciones con raíces y radicales. Slide 1 / 85. Slide 2 / 85. Slide 3 / 85. Tabla de Contenidos

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1 New Jersey enter for Teaching and Learning Iniciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en ww.njctl.org y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin consentimiento el por escrito de sus propietarios. NJTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otras personas el acceso a los materiales de los cursos. Nosotros, en la sociación de Educación de Nueva Jersey NJE) ( somos fundadores orgullosos y apoyo NJTL de y la organización independiente sin fines de lucro. NJE adopta la misión de NJTL de capacitar a profesores para dirigir el mejoramiento escolar para el beneficio de todos los estudiantes. lick para ir al sitio web: Slide 1 / 85 Slide 2 / 85 8vo Grado Matemática Ecuaciones con raíces y radicales Tabla de ontenidos Slide 3 / 85 Expresiones radicales que contienen variables Simplificación de raíces cuadradas no perfectas Simplificación de raíces de variables lick sobre el tema para ir a esa sección Resolución de ecuaciones con cuadrados perfectos y raíces cúbicas Glosario ommon ore Standards: 8.EE.2

2 Vínculos a preguntas PR de muestra Slide 4 / 85 Sin calculadora el N 9 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. Slide 5 / 85 lgunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! uando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. uántos tercios es en un entero? (Haz click sobre el subrayado.) uántos quintos hay en un entero? uántos novenos hay en un entero? El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para armar una "pared de palabras". 1 Vocabulario El cuadro tiene 4 partes Factor Un número entero que puede dividir a otro número sin dejar resto Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer número 2 Su significado (ómo se utiliza en esta lección) Slide 6 / Ejemplos/ ontraejemplos 3 es un factor de 15 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 5 R no es un factor de 16 Volver al tema Vínculo para volver a la página del tema.

3 Slide 7 / 85 Expresiones radicales que contienen variables Volver a la tabla de contenidos Raíces cuadradas de variables Slide 8 / 85 Para sacar la raíz cuadrada de una variable re-escribe su exponente como el cuadrado de una potencia. = (x 12 ) 2 = x 12 = (a 8 ) 2 = a 8 Raíces cuadradas de variables Si la raíz cuadrada de una variable es elevada a una potencia par tiene como respuesta una variable elevada a una potencia impar, la respuesta debe tener el signo de valor absoluto. Esto asegura que la respuesta será positiva. Slide 9 / 85 Por definición...

4 Ejemplos Slide 10 / 85 Intenta éstos. Slide 11 / 85 = x 5 = x 13 uáles de estas expresiones necesitarán el signo del valor absoluto al ser simplificadas? Slide 12 / 85 sí sí no no sí sí

5 Slide 13 / 85 Slide 14 / 85 Slide 15 / 85

6 Slide 16 / 85 5 Slide 17 / 85 no tiene solución dentro del conjunto de los reales Slide 18 / 85 Simplificación de radicandos cuadrados no perfectos Volver a la tabla de contenidos

7 Simplificando cuadrados perfectos (Revisión) Slide 19 / 85 Un número es un cuadrado perfecto si puedes tomar esa cantidad de 1x1 unidades cuadradas y formar con ellas un cuadrado. 1 1 Unidad cuadrada 4 es un cuadrado perfecto, porque tomas cuatro unidades cuadradas y formas con ellas un cuadrado de 2 x 2. 2 (Observa que la raíz cuadrada de cuatro es la longitud de uno de sus lados, ya que ese lado multiplicado por sí mismo es igual a 4.) 4 = 2 2 Qué sucede con los números que no son cuadrados perfectos? Slide 20 / 85 ómo podemos simplificar 8? 8 no es un cuadrado perfecto, y no importa como organicemos las unidades cuadradas, no podremos formar con ellas un cuadrado. sí que, sabemos que no tendremos un número entero que pueda ser multiplicado por sí mismo y de igual al 8. Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto? Slide 21 / 85 8 Re-escribe el radicando como un producto de su mayor factor click cuadrado perfecto. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. click Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional

8 Otro ejemplo Slide 22 / 85 Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto? 1. Re- escribe el radicando como un producto de su mayor factor cuadrado perfecto. 2. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. click click click Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional Intenta éstos. Slide 23 / 85 Identificar el mayor factor cuadrado perfecto al simplificar raíces nos hace ahorrar mucho trabajo. Ej: Slide 24 / 85 No simplifiques! delante! alcular el mayor factor cuadrado perfecto resulta en menos trabajo: Observa que las respuestas son iguales para ambos procesos.

9 6 Simplifica Slide 25 / 85 ya está en forma simplificada 7 Simplifica Slide 26 / 85 ya está en forma simplificada 8 Simplifica Slide 27 / 85 ya está en forma simplificada

10 9 Simplifica Slide 28 / 85 ya está en forma simplificada 10 Simplifica Slide 29 / 85 ya está en forma simplificada 11 Simplifica Slide 30 / 85 ya está en forma simplificada

11 12 uál de los siguientes no tiene una forma simplificada irracional? Slide 31 / La diagonal de un cuadrado puede ser expresada por la fórmula d= 2a, donde a es el largo del lado del cuadrado. Selecciona las opciones correctas para mostrar la longitud de la diagonal del cuadrado que se muestra. Tu respuesta debería ser un radicando expresado en la forma más simple. Slide 32 / 85 d = E 2 F La distancia, d, en millas que una persona puede ver el horizonte se calcula con la siguiente fórmula. h = al altura de la persona sobre d = 3h el nivel del mar en pies. 2 Slide 33 / 85 qué distancia del horizonte deberías ser capaz de ver desde este punto? Tu respuesta debería ser un radicando en la forma más simple. 100 ft above sea level d = E 6 F 10

12 Slide 34 / 85 Nota - Si un radical comienza con un coeficiente antes que sea simplificado, cualquier cuadrado perfecto que sea simplificado será multiplicado por ese coeficiente. (multiplica lo de afuera) 2 Slide 35 / Simplifica Slide 36 / 85

13 16 Simplifica Slide 37 / Simplifica Slide 38 / Simplifica Slide 39 / 85

14 19 Simplifica Slide 40 / uando está escrito en la forma radical más simple, resultado es, qué valor de k? el Slide 41 / 85 From the New York State Education epartment. Office of ssessment Policy, evelopment and dministration. Internet. vailable from accessed 17, June, uando está escrito en la forma radical más simple el resultado es cuál es el valor de a? Slide 42 / 85

15 22 uál es mayor ó 6? Slide 43 / uál es mayor ó 10? Slide 44 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 45 / 85 Simplificación de raíces de variables Volver a la tabla de contenidos

16 Uso del valor absoluto Slide 46 / 85 uando simplificamos radicales, hemos dicho que asumimos que todas las variables son positivas. Pero, por qué? Porque la raíz cuadrada del cuadrado de un número negativo no es el número original. Por ejemplo -2 Slide 47 / = +4 Pero, 4 no es -2, es +2. Por definición las raíces cuadradas de los números son positivas. omienzas con un número negativo (-2), y terminas con un número positivo (+2). sí que, la raíz cuadrada de un número es el valor absoluto de su raíz cuadrada. 4 = 2 Esto es para +2 2 y para Slide 48 / 85 Suficientemente fácil. Qué sucede cuando el radicando es una variable así que no conocemos el signo de este valor desconocido? x 2 x es positivo o negativo? No podemos saber, así que asumimos que "todas las variables son positivas".

17 Simplificando raíces de variables Slide 49 / 85 La definición técnica de "la raíz cuadrada de x cuadrado" es "el valor absoluto de x". x x x x - - x 2 = = x 2 = x 2 x x es positivo x es negativo Simplificando raíces de variables Uso del valor absoluto Slide 50 / 85 uando trabajamos con raíces cuadradas se necesita el signo del valor absoluto si: La potencia de la variable dada es par y x 6 La respuesta contiene una variable elevada a una potencia impar afuera del radical. x 6 = x 3 x 3 Pero, por qué? Slide 51 / 85 x 6 = x 3 x x x x x x Si x es positivo ó negativo, cuando se lo multiplica por sí mismo un número par de veces, se convierte en un número positivo. así que, x es positivo. = x x x Sin embargo, si x es negativo, cuando se lo multiplica por sí mismo un número impar de veces se convierte en un número negativo. así que, x podría ser negativo. sí que, para x 6 = x 3, debemos usar un signo de valor absoluto para indicar que x es positivo. x 6 = x 3

18 Más ejemplos Usa la forma expandida para explicar por qué se debe usar el valor absoluto en estas respuestas Slide 52 / 85 Simplificando raíces de variables Slide 53 / 85 ivide el exponente por 2. El número de veces que 2 cabe dentro del exponente se convierte en la potencia sobre la parte de afuera del radical y el resto es la potencia del radicando. x 7 = x x x x x x x = x 3 x Nota: No se necesita el signo de valor absoluto porque el radicando tenía una potencia impar al comienzo. Ejemplos: Slide 54 / 85 ombinándolos: 50x 4 y 12 z (x 2 ) 2 (y 6 ) 2 zzz 5 x 2 y 6 z 2z

19 Simplifica Slide 55 / 85 Sólo y tiene una potencia impar sobre la parte de afuera del radical x tenía una potencia impar bajo la raíz así que no se necesita el signo de valor absoluto. La potencia inicial de m era impar, así que no necesita el signo de valor absoluto. Slide 56 / 85 Slide 57 / 85

20 26 Simplifica Slide 58 / Simplifica Slide 59 / 85 Slide 60 / 85 Resolución de ecuaciones con cuadrados perfectos y raíces cúbicas Volver a la tabla de contenidos

21 Slide 61 / 85 Slide 62 / 85 Usa los números mostrados para hacer la ecuación cierta. ada número sólo puede ser usado una sóla vez a. = b. 3 = ompleta el iagrama de Venn para clasificar los números como cuadrados perfectos o cubos perfectos Slide 63 / 85 uadrados perfectos ubos perfectos

22 uando resolvemos ecuaciones, la solución, algunas veces requiere de calcular una raíz cuadrada o cúbica de ambos lados de la ecuación. Slide 64 / 85 uando tu ecuación se simplifica a: x 2 = # debes calcular la raíz cuadrada de ambos lados para calcular el valor de x. uando tu ecuación se simplifica a: x 3 = # debes calcular la raíz cúbica de ambos lados para calcular el valor de x. Ejemplo: Slide 65 / 85 Resuelve. = ivide cada lado por el coeficiente. Luego saca la raíz cuadrado de cada lado. Ejemplo: Slide 66 / 85 Resuelve Multiplica cada lado por 9, luego calcula la raíz cúbica de cada lado.

23 Observa! Slide 67 / 85 La respuesta es sólo positivo, 3 no Por qué la respuesta es sólo positiva y no tanto positiva como negativa? Raíces cúbicas Slide 68 / 85 La raíz cúbica de 27 es 3, y no -3, porque cuando se eleva 3 al cubo se obtiene x 3 x 3 = 27 Si tuvieras -3, obtendrías x -3 x -3 = -27 e esta manera, la raíz cúbica de -27 es -3. sí que podemos sacar una raíz cúbica de un número positivo Y sacar otra raíz cúbica de un número negativo! Raíces cúbicas Ejemplos: Slide 69 / 85

24 Inténtalos: Slide 70 / 85 Resuelve. ± 10 ± 8 ± 9 ± 7 Inténtalos: Slide 71 / 85 Resuelve Resuelve Slide 72 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí

25 29 Resuelve Slide 73 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí 30 Resuelve Slide 74 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí 31 Resuelve Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 75 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí

26 32 Resuelve Los alumnos escriben sus respuestas aquí 15 + = 40 erived from Slide 76 / Resuelve 2 + = 10 Slide 77 / 85 Los alumnos escriben sus respuestas aquí 34 Un cubo tiene un volumen de 343. Los alumnos escriben sus respuestas aquí erived from Slide 78 / 85 a) escribe una ecuación para determinar la longitud L de un lado. b) resuelve la ecuación.

27 35 Estima el área del rectángulo a la décima más cercana. Slide 79 / Si el área de un cuadrado es pulgadas cuadradas, cuál es la longitud en pulgadas, de un lado del cuadrado? Slide 80 / uál ecuación tiene tanto 4 y -4 como un posible valor de y? Slide 81 / 85 From PR sample test

28 Slide 82 / 85 Glosario Volver a la tabla de contenidos ubo Multiplicar un número por sí mismo y luego por sí mismo nuevamente. El producto de tres factores iguales. Slide 83 / 85 uánto es 4 al cubo? 4 3 = 4 x 4 x 4 = (4)(4)(4) = 6 3 = 64 6 x 6 x 6 = (6)(6)(6) = 216 uánto es el cubo de 6? uánto es 10 al cubo? 10 3 = 10 x 10 x 10 = (10)(10)(10) = 1000 Volver al tema Raíz cúbica Slide 84 / 85 Un valor que, usado en una multiplicación tres veces, da ese número. Símbolo: 3 "raíz cúbica" 3 64 = 4 (4)(4)(4) = 64 4x4x4 = = 6 (6)(6)(6) = 216 6x6x6 = 216 Volver al tema

29 Potencia Slide 85 / 85 Es otro nombre para un exponente. Es un pequeño número al que se eleva que muestra cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Potencia 3 2 ase "3 a la segunda potencia" 3 2 = 3x = x x x x 3 Volver al tema