Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 1/23
Alternativa para Relaciones Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Alternativamente al diagrama de flechas del conjunto hacia si mismo: a b c a b c a b c Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 2/23
Ejemplo Si A={1, 2, 3, 4} y R={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación. Solución 4 3 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 3/23
Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si : x, (x A (x, x) R). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a, a) donde a barre todos los elementos de A. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 4/23
Ejemplos 4 3 4 3 Relación no Relación Cada nodo debe tener un cíclo. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 5/23
Ejemplos De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una relación: 1 1..... 1 0...... 1 Relación No reflexiva Relación En la diagonal principal debe haber sólo unos para relaciones reflexivas. En las no reflexivas hay al menos un cero. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 6/23
Relación Simétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si x, y, ((x, y) R (y, x) R). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice que en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 7/23
Ejemplos 4 3 Relación no simétrica 4 3 Relación Simétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 8/23
Relación Antisimétrica Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si x, y, ((x, y) R (y, x) R x=y). Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la relación, es porque las parejas son (x, x). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 9/23
Ejemplos 4 3 Relación no Antisimétrica 4 3 Relación Antisimétrica Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 10/23
Relación Transitiva Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si x, y, z, ((x, y) R (y, z) R (x, z) R). Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 11/23
Ejemplos 4 3 Relación no Transitiva 4 3 Relación Transitiva Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 12/23
Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 13/23
Ejemplos 4 3 Relación no de 4 3 Relación de Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 14/23
Relación de Definición Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 15/23
Ejemplos 4 3 Relación que no es 4 3 Relación de Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 16/23
Ejemplo Considere el conjunto y la relación: R= A={1, 2, 3} (2, 2), (2, 3), (1, 2), (1, 1), (3, 3) Indique cuáles propiedades tiene la relación. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 17/23
Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son relaciones de equivalencia: 1. mod5 en los enteros 2. La relación vecinos en los paises 3. Primos en una familia 4. en los enteros Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 18/23
Transitiva de una Relación Definición Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R que cumple: R es transitiva, R R (R contiene a R), y Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R. Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña relación transitiva que contiene a R. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 19/23
Ejemplos 4 Relación 3 4 3 Transitiva Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada para revisar si ya es transitiva. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 20/23
Considere el conjunto A={1, 2, 3} y la relación sobre A: (1, 1), (1, 2), (1, 3), R= (2, 1), (2, 2), (3, 3) Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejas deben aãdirse a R en la cerradura transitiva: 1. (2, 3) 2. (3, 1) 3. (3, 2) Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 21/23
de un Conjunto Definición Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A 1, A 2,...,A m tal que Ningún subconjunto A i es vacío: i, A i Los conjuntos no tienen elemento en común: i, j, (i j A i A j = ) La unión de los conjuntos es igual a A: A 1 A 2 A m = A Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 22/23
Ejemplo Indica cuáles de las siguientes son particiones del conjunto: {1, 3,{5, 2}, 4} 1.{,{1, 3,{5, 2}, 4}} 2.{{1},{3,{5, 2}, 4}} 3.{{{1, 3}},{5, 2},{4}} 4.{{1},{3},{{5, 2}},{4}} Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p. 23/23