VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sergio Stive Solano Sabié 1 Mayo de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Definición 1.1 Una función de dos variables tiene un máximo local en (a, b) si f(x, y) f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b).[esto significa que f(x, y) f(a, b) para todos los puntos (x, y), en algún disco con centro (a, b).]. El número f(a, b) se llama máximo local. Si f(x, y) f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f(a, b) es un mínimo local. Si las desigualdades de la definición 1.1 se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a, b). Teorema 1.1 Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y ahí hay derivadas parciales de primer orden de f, entonces f x (a, b) = 0 y f y (a, b) = 0.

Ejemplo 1.1 Sea f(x, y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14. Entonces f x (x, y) = 2x 2 f y (x, y) = 2y 6 Esta derivadas parciales equivalen a 0 cuando x = 1 y y = 3, de manera que el único punto crítico es (1, 3). Al completar cuadrado encontramos que f(x, y) = 4 + (x 1) 2 + (y 3) 2 Como (x 1) 2 0 y (y 3) 2 0, tenemos que f(x, y) 4 para todos los valores de x y y. Por tanto, f(1, 3) = 4 es un mínimo local y, de hecho, el mínimo absoluto de f.

Esto se puede confirmar de manera geométrica a partir de la gráfica de f, la cual es el paraboloide elíptico con vértice (1, 3, 4).

Prueba de las segundas derivadas Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco con centro en (a, b) y que f x (a, b) = 0 y f y (a, b) = 0 [es decir, (a, b) es un punto crítico de f]. Sea D = D(a, b) = f xx (a, b)f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2 (a) Si D > 0 y f xx (a, b) > 0, entonces f(a, b) es un mínimo local. (b) Si D > 0 y f xx (a, b) < 0, entonces f(a, b) es un máximo local. (c) Si D < 0, entonces f(a, b) no es un extremo local. En el caso (c), el punto (a, b) se denomina punto silla de f y la gráfica de f atraviesa su plano tangente en (a, b). Si D = 0, la prueba no proporciona información.

Ejemplo 1.2 Encuentre el máximo o mínimo local y los puntos silla de f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Solución. Primero localizamos los puntos críticos: f x = 4x 3 4y f y = 4y 3 4x Al igualar estas derivadas parciales a 0, obtenemos las ecuaciones x 3 y = 0 y y 3 x = 0. Para resolverlas, sustituimos y = x 3 de la primera ecuación en la segunda. Lo anterior da 0 = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 +1) = x(x 2 1)(x 2 +1)(x 4 +1) de modo que tenemos tres raíces reales: x = 0, 1, 1. Los tres puntos críticos son (0, 0), (1, 1) y ( 1, 1).

Ahora, calculamos las segundas derivadas parciales y a D(x, y): f xx = 12x 2 f xy = 4 f yy = 12y 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 Puesto que D(0, 0) = 16 < 0, se infiere que el origen es un punto silla; es decir, f no tiene mínimos o máximos en (0, 0). Debido a que D(1, 1) = 128 > 0 y f xx (1, 1) = 12 > 0, a partir del caso (a) de la prueba vemos que f(1, 1) = 1 es un mínimo local. De manera análoga, tenemos D( 1, 1) = 128 y f xx ( 1, 1) = 12 > 0 de manera que f( 1, 1) = 1 también es un mínimo local.

Valores máximos y mínimos absolutos Teorema del valor extremo para funciones de dos variables Si f es una función continua en un conjunto D cerrado y acotado en R 2, entonces f tiene un máximo f(x 1, y 1 ) y un mínimo f(x 2, y 2 ) absolutos en algunos puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) en D. Para determinar los máximos y mínimos absolutos de una función continua f sobre un conjunto D cerrado y acotado: 1 Determine los valores de f en los puntos críticos de f en D. 2 Halle los valores extremos de f sobre la frontera de D. 3 El más grande de los valores obtenidos en los pasos 1 y 2 es el máximo absoluto; el más pequeño es el mínimo absoluto.

Valores máximos y mínimos absolutos Ejemplo 1.3 Determine los mínimos y máximos absolutos de la función f(x, y) = x 2 2xy + 2y sobre el rectángulo D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2}. Solución. Puesto que f es un polinomio, es continua en un rectángulo D cerrado y acotado, por lo que el teorema nos dice que existe un máximo y un mínimo absoluto. Primero encontramos los puntos críticos. Esto ocurre cuando f x = 2x 2y = 0 f y = 2x + 2 = 0 por lo que el único punto crítico es (1, 1) y ahí el valor de f es f(1, 1) = 1. Los valores de f en la frontera de D, los cuales consisten en cuatro rectas L 1, L 2, L 3 y L 4 que se muestra en la figura:

Valores máximos y mínimos absolutos Recta Función Máximo Mínimo L 1 f(x, 0) = x 2 ; 0 x 3 f(3, 0) = 9 f(0, 0) = 0 L 2 f(3, y) = 9 4y; 0 y 2 f(3, 0) = 9 f(3, 2) = 1 L 3 f(x, 2) = x 2 4x + 4; 0 x 3 f(0, 2) = 4 f(2, 2) = 0 L 4 f(0, y) = 2y; 0 y 2 f(0, 2) = 4 f(0, 0) = 0 Así que en la frontera el valor mínimo de f es 0 y su máximo es 9. Comparamos estos valores con el valor f(1, 1) = 1 en el punto crítico y concluimos que el valor máximo absoluto de f en D es f(3, 0) = 9 y el valor mínimo absoluto es f(0, 0) = f(2, 2) = 0.

El método de Lagrange se utiliza para maximizar o minimizar una función general f(x, y, z) sujeta a una restricción (o condición adicional) de la forma g(x, y, z) = k. Método de los multiplicadores de Lagrange Para encontrar los valores máximos y mínimos de f(x, y, z) limitada por g(x, y, z) = k (suponiendo que esos valores extremos existan g 0 en la superficie g(x, y, z) = k): (a) Determine todos los valores de x, y, z y λ tales que f(x, y, z) = λ g(x, y, z) g(x, y, z) = k (b) Evalúe f en todos los puntos (x, y, z) que son resultado del paso (a). El mayor es el valor máximo de f y el más pequeño es el valor mínimo de f.

Ejemplo 2.1 Se va a fabricar una caja rectangular, sin tapa con 12 m 2 de cartulina. Determine el volumen máximo de la misma. Solución. Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura, respectivamente, de la caja, dados en metros. Así pues, deseamos maximizar V = xyz sujeta a la restricción g(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Con el método de los multiplicadores de Lagrange buscamos los valores de x, y, z y λ, tales que V = λ g y g(x, y, z) = 12. Lo cual da las ecuaciones:

yz = λ(2z + y) xz = λ(2z + x) 2xz + 2yz + xy = 12 xy = λ(2x + 2y) Las tres primeras ecuaciones son equivalentes a las siguientes ecuaciones: xyz = λ(2xz + xy) xyz = λ(2yz + xy) xyz = λ(2xz + 2yz) Observamos que λ 0 porque λ = 0 significaría que yz = xz = xy = 0, lo cual contradice la restricción. Entonces tenemos: 2xz + xy = 2yz + xy lo cual da xz = yz, así x = y.

Así mismo, tenemos que 2yz + xy = 2xz + 2yz lo cual da 2xz = xy, así que y = 2z. Si ahora hacemos que x = y = 2z, obtenemos 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 Puesto que x, y y z son positivos, tenemos por tanto z = 1, x = 2 y y = 2.

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