TEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS

TEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Introducciónalalógica de proposiciones 1.1 Definición. Una proposición es una oración declarativa de la cual se puede decir sin ambigüedad si es verdadera o falsa. 1.2 Definición. Sea p y q proposiciones. Vamos a definir nuevas proposiciones a partir de éstas: i) Definimos la proposición p como no p. Esta es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. ii) Definimos la proposición p q como p o q. Esta será verdadera cuando p, q o ambas son verdaderas y falsa cuando p y q lo son. iii) Definimos p q como p y q. Esta es verdadera cuando p y q lo son y falsa en otro caso. iv) Definimos p q como si p entonces q. Esta es verdadera excepto cuando p es verdadera y q es falsa. v) Definimos p q como p si y sólo si q. Esta es verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas falsas y falsa en otro caso. Si p q es verdadera diremos que p y q son equivalentes. Laproposición p q coincide con (p q) (q p). Si 1 representa verdadero y 0 falso, lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla: 1

p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 Notas. Sean p y q proposiciones: i) p q es verdadera q p es verdadera. La proposición q p recibe el nombre de contrarecíproco de p q. ii) p q es verdadera p q p es verdadera. También p q es verdadera p q q es verdadera. Cuando para demostrar que p q es verdadera se prueba la veracidad de una de las proposiciones anteriores, se dice que que se demuestra p q por reducción al absurdo y cuando se logra, se dice que hemos llegado a contradicción. 2. Elementos de la teoría de conjuntos Damos la definición de conjunto dada por G. Cantor: 2.1 Definición. Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos bien definidos y diferenciables los unos de los otros. 2.2 Ejemplos. A = {a, b, c}, R, N, C, etc... Adoptaremos esta definición de conjunto aunque no sea del todo rigurosa. 2.3 Definición. Si A es un conjunto, a los objetos que lo forman se les llaman elementos. Si un conjunto A es finito,alnúmero de elementos se le llama cardinal de A y se denota A. Sia es un elemento de A escribiremos a A. Sedefine el conjunto vacío como el conjunto que no tiene ningún elemento. El conjunto vacío se denota. 2.4 Definición. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se denota A = B. Hay dos formas de describir un conjunto: 2

1) Enumerando sus elementos: A = {1, 2, 3, 4, 5}. 2) Definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos: A = {x N x 5}. 2.5 Definición. Un conjunto B se dice que es subconjunto de un conjunto A si cada elemento de B es elemento de A. Lo denotaremos B A. Así: B A (x B x A). Claramente A para todo conjunto A. Además, si A B y B C entonces A C. También claramente A = B (A B B A). 2.6 Definición. Si A X definimos el complementario de A en X ysedenota A X = {x X x/ A}. 2.7 Definición. Dado X es un conjunto se define el conjunto de las partes de X como el conjunto formado por todos los subconjuntos de X y se denota P(X). Así: P(X) ={A A X}. Volviendoalalógica, damos las siguientes definiciones: 2.8 Definición. Sea X un conjunto no vacío y{p(x)} x X un conjunto donde para cada x X, p(x) es una proposición. i) Definimos la proposición x X, p(x) como la proposición para todo x X se satisface p(x) la cual es verdadera si siempre p(x) es verdadera para cualquier x X y falsa en otro caso. ii) Definimos la proposición x X, p(x) como existe al menos un x X para elquesesatisfacep(x). Esta proposición es verdadera si para algún x X p(x) es verdaderayfalsaenotrocaso. 3

iii) Se define la proposición!x X, p(x) como existe un único x X para el quesesatisfacep(x). La negación de x X, p(x) es x X, p(x). La negación de x X, p(x) es x X, p(x). 3. Operaciones con conjuntos 3.1 Definición. Sean A, B conjuntos. i) Se define A unión B y se denota A B a: A B = {x x A x B}. ii) Se define A intersección B y se denota A B a: A B = {x x A x B}. iii) Se define A \ B = {x x A x/ B}. 3.2 Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}. Entonces A B = {2, 4}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A \ B = {1, 3, 5} y B \ A = {6}. 3.3 Propiedades. 1. Propiedad asociativa. A (B C) =(A B) C. A (B C) =(A B) C. 2. Propiedad conmutativa. A B = B A. A B = B A. 3. A = A. A =. 4

4. Propiedad distributiva. A (B C) =(A B) (A C). A (B C) =(A B) (A C). 5. Leyes de De Morgan. Supongamos que A, B X. Entonces: (A B) X = A X B X. (A B) X = A X B X. 3.4 Definición. Dados A, B conjuntos se define el producto cartesiano de A y B ysedenotaa B a: A B = {(a, b) a A b B}. Si A 1,A 2,...,A n son conjuntos, se define el producto cartesiano de A 1,A 2,...,A n y se denota A 1 A 2... A n a: A 1 A 2... A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A i, 1 i n}. Dado A un conjunto y n N de define: A n = n veces z } { A A... A = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A, 1 i n}. 3.5 Ejemplo. R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}. (1, 2, 3), (0, 0, 0), etc... R 3. 4. Propiedades de las relaciones binarias 4.1 Definición. Si A es un conjunto, una relación binaria en A es un subconjunto R de A A. Si(a, b) R escribiremos arb. 4.2 Definición. Si R es una relación binaria definida en un conjunto A: i) Diremos que R es reflexiva si cumple que si a A entonces ara. ii) Diremos que R es simétrica si cumple que si a, b A y arb entonces bra. iii) Diremos que R es antisimétrica si cumple que si a, b A cumplen que arb y bra entonces a = b. 5

iv) Diremos que R es transitiva si cumple que si a, b, c A cumpliendo que arb y brc entonces arc. 4.3 Definición. Se define una relación binaria de equivalencia como una relación binaria que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 4.4 Ejemplos. 1. Si consideramos en el conjunto A formado por los alumnos de este aula la relación binaria: Si a, b A, arb si a y b hannacidoenlamismaciudad es una relación binaria de equivalencia. 2. Si A = { a b a, b Z,b 6= 0}, que es el conjunto de las fracciones de números enteros, la relación binaria en A: Si a b, c d A entonces a b R c d si a d = b c es una relación binaria de equivalencia. 3. La relación binaria en N : Si a, b N, arb si a divide a b no es una relación binaria de equivalencia ya que no satisface la propiedad simétrica. 4.5 Definición. Sea R una relación un relación binaria de equivalencia definida en un conjunto A. Sia A, sedefine la clase de equivalencia de a como: [a] R = {b a arb}. 5. Relaciones binarias de orden 5.1 Definición. Si A es un conjunto, una relación binaria en A es un subconjunto R de A A. Si(a, b) R escribiremos arb. 5.2 Definición. Dado A un conjunto, una relación binaria en A se dice que es una relación binaria de orden (RBO) si verifica: i) a a a A. (Propiedad Reflexiva). ii) Si a, b A a b b a a = b. (Propiedad Antisimétrica). 6

iii) Si a, b, c A a b b c a c. (Propiedad Transitiva). Unconjuntoordenadoesunpar(A, ) donde A es un conjunto y es una RBO definida en A. Si (A, ) es un conjunto ordenado y a, b A escribiremos a 6 b si no se verifica a b y a<bsi a b y a 6= b. 5.3 Ejemplos. Damos algunos ejemplos de conjuntos ordenados. 1. (N, ), (R, ) son conjuntos ordenados donde es el orden habitual. 2. Si X es un conjunto, (P(X), ) es un conjunto ordenado. 3. (N, ) es un conjunto ordenado donde si n, m N, n m n es divisor de m. Observemos que existen conjuntos ordenados (A, ) talesqueexistena, b A con a 6 b y b 6 a. Por ejemplo, en (N, ), 2 6 5 y56 2. 5.4 Definición. Sea A un conjunto ordenado, B A y b B. i) Diremos que b es un elemento maximal de B si no existe b B con b b y b 6= b. ii) Diremos que b es un elemento minimal de B si no existe b B con b b y b 6= b. 5.5 Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado, B A y a A. i) Diremos que a esunacotasuperiordeb si b a b B. ii) Diremos que a esunacotainferiordeb si a b b B. iii) Diremos que a es el supremo de B si: a) a es una cota superior de B. b) Si ã es otra cota superior de B entonces a ã. Si a es el supremo de B escribiremos a =supb. iv) Diremos que a es el ínfimo de B si: a) a es una cota inferior de B. b) Si ã es otra cota inferior de B entonces ã a. Si a es el ínfimo de B escribiremos a =infb. 7

5.6 Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Consideremos en A la RBO = ser divisor. Entonces (A, ) es un conjunto ordenado. Claramente 1 es el único elemento minimal y 5, 6, 8 son los elementos maximales de A. Si B = {2, 4}, 4 y 8 son las cotas superiores y 1 y 2 son las cotas inferiores de B. Si C = {2, 5}, este subconjunto no tiene cotas superiores y por tanto no tiene supremo. Sin embargo, 1 es una cota inferior de B(es la única) y infb =1. 6. Aplicaciones 6.1 Definición. Una aplicación es una terna f =(A, B, F ) donde A, B son conjuntos y F A B tal que a A! b B tal que (a, b) F. Escribiremos f : A B y diremos que A es el conjunto inicial y B es el conjunto final. Si (a, b) F diremos que b es la imagen de a por f y escribiremos f(a) =b. También diremos que a es una antiimagen de b. 6.2 Ejemplos. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}. 1. Si F = {(1,a),(2,b)} entonces f =(A, B, F ) no es una aplicación dado que 3 no tiene imagen. 2. Si G = {(1,a),(1,b),(2,c),(3,c)} entonces g =(A, B, G) no es aplicación dado que (1,a),(1,b) G. 3. Si H = {(1,a),(2,a),(3,c)} entonces h =(A, B, H) es aplicación. Observemos que 1, 2 son antiimagenes de a y b no tiene antiimagenes. 4. Sea f 1 =(R, R,F 1 )conf 1 = {(x, x 2 ) x R}. Entonces f 1 es una aplicación ya que todo número real tiene cuadrado y sólo uno. 5. f 2 =(R, R,F 2 ) tal que f 2 (x) = x no es aplicación ya que por ejemplo 1 no tiene raíz cuadrada. Sin embargo, f 2 =((R +, R, F 2 )conf 2 (x) = x es aplicación. 6. Si A es un conjunto, definimos 1 A : A A tal que 1 A (a) =a a A. 1 A es aplicación y recibe el nombre de aplicación identidad de A. 8

Observemos que dos aplicaciones f 1 =(A 1,B 1,F 1 )yf 2 =(A 2,B 2,F 2 ) son iguales si A 1 = A 2, B 1 = B 2 y F 1 = F 2 (o sea, si x A 1 = A 2, f 1 (x) =f 2 (x)). 6.3 Definición. Sea f : A B una aplicación. i) Si à A se define el conjunto imagen de à y se denota f(ã) a: f(ã) ={f(a) a Ã}. Como caso particular se define Imf = f(a) ={f(a) a A}. 6.4 Definición. Sea f : A B una aplicación. i) Diremos que f es inyectiva si se verifica: Si a 1,a 2 A f(a 1 )=f(a 2 ) a 1 = a 2 o equivalentemente: Si a 1,a 2 A a 1 6= a 2 f(a 1 ) 6= f(a 2 ). ii) Diremos que f es suprayectiva si Imf = B. Dado que siempre Imf B lo anterior es equivalente a que B Imf osea,si b B a A f(a) =b. iii) Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. 6.5 Ejemplos. 1. f 1 : R R tal que f 1 (x) =2x + 1 es una aplicación biyectiva. 2. f 2 : R R tal que f 2 (x) =x 2 es una aplicación que no es inyectiva ni suprayectiva. 3. f 3 : R R + {0} tal que f 3 (x) =x 2 es una aplicación suprayectiva pero no inyectiva. 4. f 4 : R + R tal que f 4 (x) =x 2 es una aplicación inyectiva pero no suprayectiva. 6.6 Definición. Sea f : A B una aplicación biyectiva. Entonces es trivial que f 1 : B A f 1 (b) =a donde a A con f(a) =b es un aplicación biyectiva. A f 1 se le llama aplicación inversa de f. 9

6.7 Definición. Sea f : A B, g : B C aplicaciones (observemos que el codominio de f coincide con el dominio de g). Entonces si g f : A C (g f)(a) =g(f(a)) a A, g f es una aplicación que recibe el nombre de aplicación composición de g con f. 6.8 Ejemplo. Sea f : R R f(x) =x 2 y g : R R g(x) =x + 2. Entonces: f g : R R (f g)(x) =f(g(x)) = f(x +2)=(x +2) 2 = x 2 +4x +4. g f : R R (g f)(x) =g(f(x)) = g(x 2 )=x 2 +2. Problemas. 1. Consideramos las proposiciones: p = Marte es un estrella. q = 2+2=4. r = Una hora son 60 minutos. s = La única solución de la ecuación x 2 4 = 0 es 2. Disilassiguientesproposicionessonverdaderasofalsas: p q, p q, p s, p s, p q, p s, q r, p q, p s, (p q) s, r s, q r, p s. 2. Consideramos los subconjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 6}, C = {2, 5}, D = del conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcula: A X, D X, X X, A B, A \ C, B C, C D, X D, A X (B C), A (B C), C X (A X B X, B C. 3. Analiza las propiedades de las siguientes relaciones binarias en el conjunto A = {1, 3, 6} ydicuáles son relación binaria de orden y cuáles de equivalencia: i) Si a, b A, arb si a = b. ii) R = {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (3, 3), (3, 6), (6, 6)} 10

iii) R = A A. iv) Si a, b A, arb si b a =2. 4. En el conjuntode las fracciones F = { a b a, b Z,b 6= 0} consideramos la relación binaria: Si a b, c d F, a b R c d si a + d = b + c. de 1 2. Demuestra que es una relación binaria de equivalencia y calcula la clase de equivalencia 5. Indica cuáles de las siguientes correspondencias son aplicaciones y en caso afirmativo estudia si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas. i) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3, 4}, B = {1} y F = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}. ii) f =(A, B, F ) donde A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 2)}. iii) f =(A, B, F ) donde A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} y F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 2)}. iv) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3}, B = {1, 2} y F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}. v) f =(A, B, F ) donde A = {1}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 3)}. vi) f =(A, B, F )dondea = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} y F = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}. 6. Estudia si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas las siguientes aplicaciones: i) f : R R f(x) =2x 1. ii) f : R R f(x) =x 2 4. iii)f : R 2 R + {0} f(x, y) = x y. iv) f : N R f(x) =x. v) f : N N f(x) =x. vi) f : R \{ 1} R f(x) = x+2 x+1. vii) f : R 2 R 2 f(x) =(x +1,x 2 ). 11