Análisis y Diseño de Algoritmos

Análisis y Diseño de Algoritmos Recurrencias DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

Introducción 2 Cuando un algoritmo se llama a sí mismo Su tiempo de ejecución se puede describir con una recurrencia Recurrencia Ecuación o desigualdad que describe una función en términos de su valor para entradas más pequeñas Ejemplo de MergeSort Θ(1) T( n) = 2T ( n / 2) + Θ( n) Cuya solución se dijo que es: T( n) = Θ( nlgn) if if n = 1, n > 1,

Introducción Métodos para resolver recurrencias Substitución Adivinar una cota, prueba con inducción matemática Método de Iteración 3 Expande, itera sobre la recurrencia y la expresa como sumatoria en términos dependientes de n y las condiciones iniciales Árboles de recursión Convierte la recurrencia en un árbol cuyos nodos representan los costos de los dif. niveles de la recursión Método maestro Provee fronteras (bounds) para recurrencias de la forma T( n) = at ( n / b) + f ( n), donde a 1, b 1, f ( n) es una función dada Requiere memorizar tres casos

Consta de 2 pasos Método de Substitución 4 Adivinar la forma de la solución Utilizar inducción matemática para encontrar las constantes y mostrar que la solución funciona Método poderoso Solo se aplica a casos en que es fácil adivinar la forma de la respuesta Para establecer fronteras superiores o inferiores en una recurrencia

Ejemplo: Adivinamos: Método de Substitución Probamos que: para una constante c >0 Entonces: Substituimos en la recurrencia: 5 Asumimos que la cota es cierta para n/2 El último paso es cierto si c 1

Método de Substitución El método de inducción requiere probar que la solución es cierta para las condiciones frontera Elegir c suficientemente grande para que condiciones de frontera 6 funcione para las Para notación asintótica requerimos probar que nosotros elegimos n 0 Evitamos condición frontera difícil para T(1) = 1 para la prueba de inducción %! ( Aplicamos en la recurrencia T(1) =1 ; La recurrencia no funciona para T(1) al probar en la notación asintótica ; pero sí para T(2) y T(3) T(2) = 2T(2)+ 2 = 2 *1+ 2 = 4 T(3) = 2T(3)+ 3 = 2 *1+ 3 = 5 T(n) = 2T ' n "! # & 2$ # *+ n ) Ahora, en la prueba de notación Asintótica: T(2) c2 lg2 = 2c, c 2 T(3) c3lg3 = 4.75c, c 2

Método de Substitución Adivinando una buena primera aproximación No hay una buena manera general de adivinar soluciones correctas a recurrencias Requiere experiencia y creatividad Algunas heurísticas 7 Usar árboles de recursión para generar buenos valores iniciales Si la recurrencia es similar a otra, usar una solución similar

Método de Iteración No requiere adivinar la respuesta Puede requerir más álgebra que el de substitución Expande (itera) la recurrencia y la expresa como sumatoria de términos dependientes de n y las condiciones iniciales Después usa técnicas para evaluar sumatorias para dar cotas a la solución Puede ser difícil resolver recurrencias con este método A veces al iterar la recurrencia, adivinamos una solución y seguimos con el método de substitución 8

Método de Iteración Ejemplo, dada la recurrencia: 9

Método de Iteración Qué tanto iteramos para llegar a la condición de frontera? El i ésimo término en la serie es 3 i n/4 i La iteración llega a n = 1 cuando n/4 i =1 ó equivalentemente, cuando i excede log 4 n, que corresponde a los niveles del árbol Llevando la iteración a este punto y usando la frontera: n/4 i n/4 i, descubrimos que la sumatoria contiene una serie geométrica decreciente: 10

Método de Árbol de Recursión Visualizar la iteración de una recurrencia 11 Dibujar un árbol de recursión y obtener una buena solución inicial Utilizamos método de sustitución para comprobar Árbol de recursión Cada nodo representa el costo de un subproblema en el conjunto de llamadas a funciones recursivas Sumamos costos por nivel y determinamos el costo total de todos los niveles de recursión Útiles cuando la recurrencia describe tiempo de ejecución de un algoritmo divide-y-conquista

Método de Árbol de Recursión 12 Para resolver la recurrencia T ( n) = 3T ( Creamos árbol de recursión para Incluímos el coeficiente c > 0 Asumimos que n es una potencia exacta de 4 2 n / 4 ) + Θ( n ) T ( n) = 3T ( n / 4) + cn 2

Método de Árbol de Recursión 13

Método de Árbol de Recursión 14

Método de Árbol de Recursión El tamaño del problema decrece con la profundidad del árbol 15 Eventualmente alcanzamos condición frontera Qué tan lejos de la raíz llegamos? El tamaño del subproblema para un nodo en profundidad i es n/4 i El tamaño llega a n = 1 cuando n/4 i = 1, o i = log 4 n Entonces el árbol tiene log 4 n+1 niveles (0, 1, 2,, log 4 n)

Método de Árbol de Recursión Después determinamos el costo en cada nivel del árbol Cada nivel tiene tres veces más nodos que el nivel anterior 16 El número de nodos a profundidad i es 3 i Cada nodo a profundidad i para i = 0, 1, 2,, log 4 n-1 tiene costo de c(n/4 i ) 2 Multiplicando, vemos que el costo de todos los nodos al nivel i para i = 0, 1, 2,, log 4 n-1 es 3 i c(n/4 i ) 2 = (3/16) i cn 2 El último nivel a profundidad log 4 n tiene 3 log 4n = n log 4 3 nodos, cada uno con costo T(1), con costo total n log 4 3 T(1) con Θ(n log 4 3 )

Método de Árbol de Recursión Sumamos los costos de todos los niveles para obtener el costo de todo el árbol 17

Método de Árbol de Recursión 18 Podemos usar una serie geométrica infinita decreciente como cota superior, ecuación A.6

Método Maestro 19 Receta para recurrencias del tipo: a 1 y b > 1 son constantes y f(n) es una función asintóticamente positiva La recurrencia describe el tiempo de ejecución de un algoritmo que: Divide un problema de tamaño n en a subproblemas Cada subproblema de tamaño n/b a y b son constantes positivas Los a subproblemas se resuelven recursivamente En tiempo T(n/b) Costo de dividir el problema y combinar los resultados esta dado por f(n)

Teorema maestro Método Maestro 20 Sean a 1 y b > 1 constantes Sea f(n) una función Sea T(n) definida por los enteros no-negativos por la recurrencia n/b puede ser n/b ó n/b, entonces T(n) se puede acotar asintóticamente como sigue:

Método Maestro En todos los casos compara f(n) con n log ba La solución a la recurrencia la domina la mayor de las 2 funciones Caso 1: n log ba es la mayor, la solución es T(n) = Θ(n log ba ) 21 Caso 3: f(n) es mayor, la solución es T(n) = Θ(f(n)) Caso 2: las dos funciones son del mismo tamaño, multiplicamos por un factor logarítmico, T(n) = Θ(n log ba lgn) = Θ(f(n)lgn)

Método Maestro 22 Algunos aspectos técnicos En el caso 1: f(n) debe ser polinómicamente más pequeña que n log b a Asintóticamente más pequeña que n log ba por un factor de n para una constante > 0. En el caso 3: f(n) debe ser polinómicamente mayor a n log b a También debe satisfacer la condición de regularidad de af(n/b) cf(n) Esta condición se satisface por la mayoría de las funciones polinómicamente acotadas que podemos encontrar. Esto quiere decir que los 3 casos no cubren todas las posibilidades de f(n).

Polinomios 23

Exponentes 24

Método Maestro Ejemplo 1: 25

Método Maestro Ejemplo 2: 26

Método Maestro 27 Ejemplo 3:

Método Maestro Ejemplo 4: 28

Tarea 29 Ejercicios: 4.2-1 4.2-3 Problemas 4-1: a, b 4-4: a, b, c