Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central CAPÍTULO 3 OTACIO DE IDICES Denotemos por X } (léase "X sub/') cualquiera de los valores X lt, X 3,..., X que tom; una variable X. La letra j en X p que puede valer 1,2, 3,..., se llama subíndice. Es claro qut es posible emplear cualquier otra letra en vez de j; por ejemplo, i, k, p, q o s. OTACIÓ DE SUMATORIA El símbolo X^=i Xj denota la suma de todos los X desde j = 1 hasta j = ; por definición. J2x J = x ] +x 2 + x i + --. + x 7=1 Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con X Y,X o X, X. El símbolo X es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma. EJEMPLO 1 TX Y Í = X 1 Y 1 + Y 2 +X 3 Y 3 + + X Y EJEMPLO 2 YaX j = ax i +ax 1 + ---+ax = a(x i + + ---+X ) = a'lx J donde a es una constante. Más simple: ^ax = a ^X. EJEMPLO 3 Si a, b y c son constantes, entonces Z(aX + y-cz) = a XX + b XY-C XZ (véase el problema 3.3 i PROMEDIOS O MEDIDAS DE TEDECIA CETRAL Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central.
La media aritmética ponderada 59 Se definen varios tipos, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas, según los datos y el objetivo perseguido. LA MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética, o simplemente media, de un conjunto de números X. A se denota por X (léase "X barra") y se define por x l +x 2 + x i + -.. + x = U (/) EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es - 8 + 3 + 5+ 12+ 10 38. x = = y = 7-6 Si los números X lt,...,x K ocurren/,/ 2,...,/K veces, respectivamente (es decir, con frecuencias/,, f 2,...,f K ), la media aritmética es x = AXl+f 2 + ---+f K X K = U E m = YJX_ = Zfx /i./: JK A. E/ j= (2) donde - X/es la frecuencia total (es decir, el número total de casos). EJEMPLO 5 Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden, su media aritmética es _ (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 3 + 2 + 4+1 10 LA MEDIA ARITMETICA PODERADA A veces se asocia a los números X U,...,X K ciertos/actores de peso (o pesos) w w 2,...,w K, dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso, - _ W\X\ + w 2 + h w K X k _ Y,wX ( 3 ) W\ + w 2 + + w K 53 w se llama media aritmética ponderada con pesos f\,f-,...,f K. Obsérvese la similitud con la ecuación (2), que puede considerarse una media aritmética ponderada con pesos /,,/;...,fi- EJEMPLO 6 Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en el examen final, y 70 y 90 en los dos parciales, la calificadas media es x (l)(70) + (l)(90) + (3)(85) 415 = r+t+1 ~^~ 8 3
c 60 CAPITULO 3 Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a su media aritmética es cero. EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8-7.6, 3-7.6,5-7.6,12-7.6 y 10-7.6, o sea, 0.4, -4.6, -2.6,4.4 y 2.4, con suma algebraica 0.4-4.6-2.6 + 4.4 + 2.4 = 0. 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números X con respecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27). 3. Si/, números tienen media m,,/ 2 números tiene media m 2,...,f K números tienen media m K, entonces la media de todos los números es X =/i m ' +/2 2 + +ÍKm K (4) A+Í2 + --- +A es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problema 3.12). 4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número) y si dj = X - A son las desviaciones de X respecto de A, las ecuaciones (/) y (2) se convierten, respectivamente, en X = A E 4 = A + (5) X = A + E fa M K E 7=1 A + donde = XjLi f ~ X/ Observe que las fórmulas (5) y (6) se resumen en la ecuación X = A + d (véase el problema 3.18). (6) CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio del intervalo. Las fórmulas (2) y (6) son válidas para tales datos agrupados y se interpretan Xj como la marca de clase,/ como su correspondiente frecuencia de clase, A como cualquier marca de clase conjeturada o supuesta y d t, = X -A como las desviaciones de X ] respecto de A. Los cálculos con las fórmulas (2) y (ó) se llaman métodos largos y métodos cortos, respectivamente (véanse los problemas 3.15 y 3.20). Si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño c, las desviaciones d = X -A pueden expresarse como cu,, donde u serían números enteros positivos, negativos o cero, es decir, 0, ±1, +2, ±3,..., y la fórmula (6) se convierte en
La moda 61 que es equivalente a la ecuación X = A + cü (véase el problema 3.21). Esto se conoce como método de codificación para calcular la media. Es un método corto y debe usarse siempre para datos agrupados con intervalos de clase de tamaños iguales (véanse los problemas 3.22 y 3.23). Véase que en el método de codificación los valores de la variable X se transforman en los valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu. LA MEDIAA La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es el valor central o la media de los dos valores centrales. El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 tiene mediana 6. El conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 tiene mediana (9 + 11)= 10. donde: Para datos agrupados, la mediana, obtenida por interpolación, está dada por (1. Mediana = L X + 2 V fren \c (8) L = frontera inferior de la clase de la mediana (es decir, la clase que contiene a la mediana) = número de datos (es decir, la frecuencia total) (X/)i = suma de las frecuencias de las clases inferiores a la clase de la mediana /mediana = frecuencia de la clase de la mediana c - tamaño del intervalo de clase de la mediana Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa), que corresponde a la recta vertical que divide un histograma en dos partes de área igual. Ese valor de X suele denotarse por X. LA MODA La moda de una conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el valor más frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única. El conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 tiene moda 9. El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 y 16 carece de moda. El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9 cuenta con dos modas, 4 y 7, y se le conoce como bimodai. La distribución con una sola moda se llama unimodal. En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencia-, reajustar los datos, la moda será(n) el(los) valor(es) de X correspondiente(s) al(os) máximo» s i de la curva. Ese valor de X se denota por X. La moda llega a obtenerse de una distribución de frecuencias o de un hh: _ partir de la fórmula:
CAPÍTULO 3 Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central donde L = frontera inferior de la clase modal (clase que contiene a la moda) Ai = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase inferior inmediata. A 2 = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase superior inmediata. c = tamaño del intervalo de la clase modal. RELACIO EMPIRICA ETRE MEDIA, MEDIAA Y MODA Para curvas de frecuencia unimodales, que sean moderamente sesgadas o asimétricas, se tiene la siguiente relación empírica: Media - moda = 3(media - mediana) (10) Las figuras 3-1 y 3-2 indican las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencia sesgadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente. Para curvas simétricas, los valores de la media, la mediana y la moda coinciden. FIGURA 3-1 FIGURA 3-2 LA MEDIA GEOMETRICA G La media geométrica G de un conjunto de /V números positivos X,, X 3,..., X es la raíz - ésima del producto de esos números: G \/ X\ X 3 ' ' ' X^ (11) EJEMPLO 13 La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es G = V(2)(4)(8) = ^64 = 4. Puede calcular G por medio de logaritmos (véase el problema 3.35) o con una calculadora. Para la media geométrica de datos agrupados, véanse los problemas 3.36 y 3.91. LA MEDIA ARMOICA H La media armónica H de un conjunto de números X,,, X 3,, media aritmética de los recíprocos de los números: X es el recíproco de la H 1 X (12)
Cuartiles, deciles y percentiles En la práctica puede ser más fácil recordar que 1 1 ' T AI ' V H ^X EJEMPLO 14 La media armónica de los números 2, 4 y 8 es " = rt^tt = 7 = 3-43 2 ~<~ 4 ~*~ 8 8 (Para la media armónica de datos agrupados, véanse los problemas 3.99 y 3.100.) RELACIÓ ETRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓICA La media geométrica de un conjunto de números positivos X {,,..., X es menor o igual a su media aritmética, pero es mayor o igual a su media armónica. Es decir, H<G<X (14) Los signos de igualdad se incluyen sólo si todos los números X u,..., X son idénticos. EJEMPLO 15 El conjunto 2, 4, 8 tiene media aritmética de 4.67, media geométrica de 4 y media armónica de 3.43. LA MEDIA CUADRATICA (MC) La media cuadrática (MC) de un conjunto de números X, >..., X algunas veces se simboliza por \ÍW y se define como Este tipo de promedio se utiliza con frecuencia en aplicaciones físicas. EJEMPLO 16 La MCdel conjunto 1,3,4,5y7es l 2 + 3 2 + 4 : + 5 2 + 7 2 = v/20 = 4.47 CUARTILES, DECILES Y PERCETILES Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo con su magnitud, el valor central (o la media aritmética de los dos valores centrales) que divide al conjunto en dos partes iguales es la mediana. Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados por Q, Q 2 y Q 3, se denomir.. primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q 2 es igual a la mediana. De forma similar, los valores que dividen los datos en 10 partes iguales son Oaaados deciles, los cuales se denotan por D,, D 2,..., D 9, mientras que los valores que divide» a tos datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican con P
64 CAPÍTULO 3 Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central quinto decil y el 50o. percentil coinciden con la mediana. Los percentiles 25o. y 75o. corresponden al primero y tercer cuartiles, respectivamente. De manera conjunta, cuartiles, deciles y percentiles, lo mismo que otros valores obtenidos por medio de subdivisiones iguales de los datos, son denominados cuantiles. Para el cálculo de éstos, a partir de datos agrupados, véanse los problemas 3.44 al 3.46.