Problemas con soluciones

Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María, MAT-223. Problemas con soluciones 1) Muestre que si A es una base de una toplogía en X, entonces la topología generada por A es iqual a intersección todas las topologías en X que contiene A. Solución. Notamos por τ(a) la topología generada por A, es decir, la topologia τ(a) es todos los posibles uniones de los conjuntos que viven en A. Otra notación es {τ A,α }, que significa las topologías que contienen la familia A. A proposito, entre τ A,α se encuentra la topología τ A cuya base es A. Necesito demostrar, que τ(a) = τ A,α. Mostramos τ(a) τ A,α. Sea G τ(a), entonces G = G A, G A A. Por otro lado, cado conjunto G A está en τ A,α para todos α, entonces G A τ A,α y por eso G = G A τ A,α. Mostramos τ(a) τ A,α. Sea G τ A,α, entonces G τ A,α para todos α. En particular, G τ A, que implica por la definición de τ A que G = G A, donde G A A. El último significa que G τ(a). Conclución. La topología τ(a) es más debil que la topología τ A. 2) Demostrar que C(R) es separable. Solución. Notamos, que C(R) = n C([ n, n]), donde el espacio C([ n, n]) es espacio de funciones continuas en el compacto [ n, n]. Si f C([ n, n]), entonces continuando por una constante en manera continua al intervalos (, n) (n, ) obtenemos una función continua en R 1. Si f(x) C(R) entonces f es continua en cualquier intervalo [ n, n], entonces pertenece a C([ n, n]) para cualquier n N. Cada C([ n, n]) es separable. Si mostramos que union numerable de espacios separables, es separable, entonces logramos lo que necesita. Sean C = C n, donde C n espacios métricos y A n conjuntos numerables tales que A n = C n. Sea ε >. Si x C, entonces existe al menos uno espacio C n tal que x C n. Luego existe a n A n, tal que dist(x, a n ) < ε. Tal como a n A n y A n no mas que numerable, entonces, espacio C es separable. 3) Sea X un espacio métrico compacto. Sea {f n } una familia equicontinua en C(X). Demuestre que si {f n } converge puntualmente, entonces, en realidad, {f n } converge uniformemente. Solución. Sea ε >. Como {f n } es una familia equicontinua en C(X), existe δ > tal que f n (x) f n (y) < ε/2 cuando d(x, y) < δ para todos n N. Demostramos primero, que el límite puntual f(x) es una funcion uniformemente continua. La convergencia de {f n } implica que es una sucesión de Cauchy. Luego para cada y X existe N 1 (y) tal que f n (y) f m (y) < ε/2 cuando n, m > N 1 (y). Tenemos f m (x) f n (y) f m (x) f m (y) + f m (y) f n (y) < ε cuando n, m > N 1 (y) y d(x, y) < δ x X. 1

2 En la desigualdad f m (x) f n (y) < ε cuando d(x, y) < δ n, m > N 1 (y), x X pasamos al límite cuando m. Obtenemos f(x) f n (y) < ε cuando d(x, y) < δ n > N 1 (y), x X. Luego, tomamos x X arbitrario e y X tal que d(x, y) < δ. Tenemos f n (x) f(x) f n (x) f n (y) + f n (y) f(x) < 3ε/2 cuando n > N 1. Ahora N 1 no dependede x. hemos probado la convergencia uniforme. 4) Sean, E un espacio normado lineal, f E, L = Ker (f) nucleo de f. Demostrar que para cualquier x E ρ(x, L) = f(x) f. Solución. Notamos, que ρ(x, L) = inf ρ(x, y) = inf x y. Si y L, entonces y L y L Luego f(x) = f(x y) f x y. f(x) ρ(x, L) = inf x y y L f. Mostramos la desigualdad opuesta. Tomamos una suseción x n X tal que x n = 1 y n n + 1 f < f(x n). Luego formamos un elemento y = x f(x) f(x x n) n. Es facil ver que y L. Además x y f(x) x n n + 1 f(x) f(x n ) n f. Tomando, primero el límite cuando n, después ínfimo por todos y L, obtenemos el resultado: ρ(x, L) f(x) f 5) Sean G 1 y G 2 dos bases de algunas topologías en X. Sean τ 1 = τ(g 1 ) y τ 2 = τ(g 2 ) topologías generadas por G 1 y G 2. Demuestre que τ 1 τ 2 si y solo si para cualquier G 1 G 1 y cualquier x G 1, existe G 2 G 2 tal que x G 2 G 1. Solución. Supongamos, que τ 1 τ 2. Sean G 1 G 1 y x G 1. τ 1 es la familia uniones posibles de conjuntos que pertenecen a G 1. Si G 1 τ 1, entonces G 1 τ 2 y por eso G 1 = G (2) α, G (2) α G 2. α Si x G 1, entonces x G (2) α. Existe al menos un elemento (que llamamos G 2 ) que pertenecen a α G α = G 1 y que contiene x. Al final, tenemos x G 2 G 1. α Al revez. Mostramos que cualquier abierto G τ 1 también pertenece a τ 2. Acordamos que si G τ 1, entonces G = G (1) α, donde G (1) α G 1. Sea x G. Luego existe G (1) 1 G 1, tal que contiene x. Por α condiciones del problema, si x G (1) 1, entonces existe G(2) x G 2, tal que x G (2) x G (1) 1. En este caso G G (2) x y por eso G τ 2. x G

3 6) Notamos por H el conjunto de las sucesiones x = {x n } de los números reales tales que x n 1 para n = 1, 2,.... 1. Muestre que d(x, y) = 2 n x n y n define una métrica on H. 2. Para x, y H y k N definimos M k = max{ x 1 y 1,..., x k y k }. Demuestre que Solución. Como 2 k M k d(x, y) M k + 2 k. d(x, y) = 2 n x n y n 2 n ( x n + y n ) 2 n+1 = 2 la función es finita y las serias convergen absolutamente. Mostramos la desigualdad del triángulo, porque dos otros propiedades son obvios. Tenemos, desde desigualdad del triángulo, para valor absoluto d(x, z) = 2 n x n z n 2 n( ) x n z n + z n y n Mostramos 2 k M k d(x, y). 2 k M k 2 k x n y n Mostramos d(x, y) M k + 2 k. d(x, y) = 2 n z n y n + + n=k+1 2 n x n z n + 2 n z n y n = d(x, z) + d(z, y). n=k+1 2 n z n y n 2 n z n y n = d(x, y). 2 n z n y n max{ x 1 y 1,..., x k y k } 2 n+1 M k (1 1 2 k ) + 2 k M k + 2 k+1. 2 n+1 7) Sea c conjunto de las sucesiones x = {x n } de números reales que tienden al. Sea (l, ρ sup (x, y)) espacio de las sucesiones de números reales con la métrica ρ sup (x, y) = x n y n. Pruebe que c sup 1 n es cerrado en l. Sugerencia: Sea x (k) c una sucesión que converge a un elemento ω l. Use la desigualdad ω n ω n x (k) n + x (k) n. y elige k tal que valor absoluto ω n x (k) n sea pequeño independiente de n. Solución. Sea x (k) c una sucesión que converge a un elemento ω l. Sea ε > y N N tal que ρ sup (x (k), ω) = ω n < ε/2 para todos k > N. Para cada k escojemos N 1 N tal que sup 1 n x (k) n x (k) n ε/2 para todos n > N 1. Luego ω n ε para n > N 1 y k > N, que significa que la sucesión ω n va al y ω c. 8) Sea (X, ρ) un espacio métrico. Sean F y K subconjuntos de X tales que F es cerrado, K es compacto y F K =. Demuestre que d(f, K) = inf{ρ(x, y) : x F, y K} >. Dé un ejemplo, donde F, K, F y K son cerrados, F K = y d(f, K) =.

4 Solución. Conjunto F es cerrado, entonces X \ F es abierto. Luego para y K existe la bola B(y, ρ y ) que no intersecta F. Como K es un compacto, entonces K es cerrado, y se puede encontrar para cada x F una bola B(x, ρ x ) tal que B(x, ρ x ) K =. Notamos por U el union x F B(x, ρ x /3) y por V el union y K B(y, ρ y /3). Conjuntos U y V son abiertos y disjuntos. Mostramos que son disjuntos. Supongamos que no es así y existe z U V. En este caso z B(x, ρ x /3) B(y, ρ y /3) y ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) 2/3 max{ρ x, ρ y } que contradicta a la definición de bolas. La union y K B(y, ρ y /3) es recubrimiento abierto de K, que se puede reducir a un recubrimiento abierto finito m y n K B(y n, ρ yn /3). Notamos por d N la distancia entre B(y n, ρ yn ) y F. Por la construcción, cada d n es estrictamente positiva. Luego < min n m {d n } < d(f, K). Exemplo. Dos gráficas de las funciones y 1 = y y 2 = 1/x son cerradas en R 2, pero inf{y 1, y 2 } =. 9) Para qué valores α la función f(x) = x α es uniformemente continua sobre (, )? Solución. Sea α (, ). En este caso la función f(x) no es uniformemente continua en (, l), < l <. Tomamos x n = n 1/α. Como α es negativo, entonces x n cuando n. Por el momento notamos 1/α = a. Tenemos x n+1 x n = (n + 1) a n a = n a + an a + o(n a ) n a a n a + o(n a ) cuando n. Pero f(x n+1 ) f(x n ) = n + 1 n = 1 no tiende al. Sea α (1, ). En este caso la función f(x) no es uniformemente continua en (l, ), l >. Tomamos x n = n 1/α. Como α es positivo, entonces x n cuando n. Por el momento notamos 1/α = a. Tenemos x n+1 x n = (n + 1) a n a = n a + an a + o(n a ) n a a n a + o(n a ). Observamos, que para α (1, ), tenemos a 1 < y a n a + o(n a ) cuando n. Pero f(x n+1 ) f(x n ) = n + 1 n = 1 no tiende al. Sea α [, 1]. Demostramos, que f(x) es uniformemente continua en (1, ). Sea ε >. En este caso por el teorema sobre el valor intermedio x α 1 x α 2 = αξ α x 1 x 2 α x 1 x 2, x 1 < ξ < x 2, porque ξ α 1 para ξ > 1 y α [, 1]. Eso significa, que si x 1 x 2 < δ = ε/α, entonces f(x 1 ) f(x 2 ) < ε para cualquier ε >. Demostramos, que f(x) es uniformemente continua en (, 1]. Tomamos cualquier ε >. En el intervalo [ε, 1] la función f(x) es uniformemente continua con un δ ε, porque es continua en el compacto [ε, 1]. Si x 1, x 2 (, ε), entonces x α 1 x α 2 x α 1 + x α 2 2ε α. Eso significa que si x 1 x 2 < 2 max{ x 1, x 2 } < δ = ε 1/α /2, entonces f(x 1 ) f(x 2 ) = x α 1 x α 2 < 2δ α < ε. Al final, para cualquier ε > y δ = min{ε/α, δ ε, ε 1/α /2} tenemos f(x 1 ) f(x 2 ) < ε cuando x 1 x 2 < δ para todos x 1, x 2 (, ). 1) Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Sea {f n } una sucesión en C(X). Demuestre que si {f n } converge uniformemente, entonces la familia {f n } n es equicontinua y uniformemente acotada.

5 Solución. Supongamos que {f n } converge uniformemente a f(x): para cualquiera ε > existe N N, tal que f n (x) f(x) < ε cuando n > N para todos x X. Como X es un compacto y f(x) es continua, entonces existe K >, tal que f(x) < K para x X. Luego f(x) ε < f n < f(x) + ε x X, n > N, K ε < f n < K + ε x X, n > N. Notamos por M 1 = max f 1(x),..., M N = max f N (x). La constante x X x X es tal que M = max{(k + ε), M 1,..., M N } f n (x) < M, n N, x X, que demuestre que la familia {f n } es uniformemente acotada. Sea ε >. La convergencia uniforme implica que f(x) es una función continua. Sea δ > es tal que Escojemos N N tal que Luego f(x) f(y) < ε/3 cuando d(x, y) < δ. f n (x) f(x) < ε/3 cuando n > N para todos x X. f n (x) f n (y) f n (x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) f n (y) < ε cuando n > N para todos x, y X tales que d(x, y) < δ. Para cada función f i, i = 1,..., N encontramos δ i tal que f i (x) f i (y) < ε cuando d(x, y) < δ i. Notamos por el mínimo entre δ, δ 1,... δ N. Al final, tenemos f n (x) f n (y) < ε cuando d(x, y) < para todos n N. Eso significa, que la familia {f n } n es equicontinua. 11) Sea (X, ) un espacio normado. Sean {x n }, {y n } dos sucesiones de Cauchy en X. Demostrar que la sucesión λ n = x n y n converge. Solución. Sea ε >. Sea N N tal que cumple Luego x n x m < ε/2, y n y m < ε/2, para n, m > N. λ n λ m xn x m + x m y m + y m y n x m y m < ε. Como el espacio (R 1, ) es completo, la suseción de Cauchy {λ n } tiene un límite λ. Hemos demostrado que la sucesión {λ n } converge. 12) Sea (E,, ) un espacio euclideano. Sean (x 1, x 2,...) e (y 1, y 2,...) sistemas de elementos de E tales que { 1 para i = j, x i, y i = δ ij = para i j. Demostrar que cada uno de estos sistemas es linealmente independiente. Solución. Para demostrar que el sistema (x 1, x 2,...) es linealmente independiente, hay que mostrar que si c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c k x k = entonces c 1 = c 2 =... = c k = para cualquier k N. Tenemos = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c k x k, y 1 = c 1 x 1, y 1 + c 2 x 2, y 1 +... + c k x k, y 1 = c 1.

6 El coeficiente c 1 =. Por analogia mostramos que todos c j, j = 2,..., k son ceros. El sistema (x 1, x 2,...) es linealmente independiente. 13) Sea ( C[, 1], ). Demuestre que la funcional f(x) = es lineal, continua y acotada. Encuentre su norma. x(t) dt x(t) dt Solución. Es una funcional lineal. Sean α, β R 1, x, y C[, 1]. f(αx + βy) = = α (αx + βy)(t) dt Es una funcional continua. Tenemos x(t) dt + β = αf(x) + βf(y). f(x) x(t) dt + (αx + βy)(t) dt y(t) dt α x(t) dt β x(t) dt 2 x para cualquier x C[, 1]. Si x ε/2 entonces f ε ε >. Desde f(x) 2 x concluimos que f(x) es acotada. Además f 2. Para la sucesión x n (t) de funciones x n (t) = tenemos f(x n ) = 2 1 n y x n = 1. Entonces que muestra que f = 2 1 si x [, n ), si x ( 1 n, 1], nx si x [ n, 1 n ], sup f(x n) x n = 2 y(t) dt 14) Sea H un espacio de Hilbert. Supongamos que una sucesión x n converge débilmente a un elemento x en el espacio H. Además para cada n N se cumple x n x. Demuetre que en este caso la sucesión converge fuértemente al elemento x. Solución. Para mostrar que x n converge al x fuértemente, hay que verificar que x n x cuando n. Tenemos (1) x n x 2 = x n x, x n x = x n 2 + x 2 2 x n, x 2( x 2 x n, x ). Como x n converge débilmente a x, entonces x n, x x, x = x 2. Desde este y (1) concluimos x n x cuando n.

7 15) Sean X, Y, espacios lineales; A : X Y, un operador lineal que tiene inverso. Demostrar que sistemas de elementos x 1, x 2,..., x n y Ax 1, Ax 2,..., Ax n, donde x 1, x 2,..., x n Dom(A), son al unisono linealmente independiente o linealmente dependiente. Solución. Si x i = α 1 x 1 +... + α n x n, entonces Ax i = α 1 Ax 1 +... + α n Ax n, que significa que si x 1, x 2,..., x n es linealmente dependiente, entonces Ax 1, Ax 2,..., Ax n es también linealmente dependiente. Al revez: si Ax i = α 1 Ax 1 +... + α n Ax n, entonces A(x i α 1 x 1 +... + α n x n ) = y x i = α 1 x 1 +... + α n x n (acordamos que el operador A tiene inverso.) Supongamos ahora que x 1, x 2,..., x n es linealmente independiente. Luego, si α 1 Ax 1 +... + α n Ax n = A(α 1 x 1 +... + α n x n ) =, entonces α 1 x 1 +... + α n x n =, porque A es invertible. Como x 1, x 2,..., x n es linealmente independiente, entonces α 1 =... = α n =. Al revez: si Ax 1, Ax 2,..., Ax n es linealmente independiente y α 1 x 1 +... + α n x n =, luego A(α 1 x 1 +... + α n x n ) = = α 1 Ax 1 +... + α n Ax n, que implica que α 1 =... = α n =. 16) En el espacio lineal real C[ π, π] hallar valores propios y vectores propios del operador Ax(t) = x( t). Solución. Al valor propio λ = 1 le corresponde el subespacio propio de funciones pares. Al valor propio λ = le corresponde el subespacio propio de funciones impares. Como x( t) = λx(t) y x(t) = λx( t), tenemos x( t) = λ 2 x( t). Entonces λ 2 = 1 y no hay otros valores propios. 17) Sean X, un espacio de Hausdorff, K X un compacto. Demueste que K es cerrado. Solución. Tomamos un y / K. Luego para cualquier punto x K existe una vecindad U(x) del punto x y una vecindad V x (y) tales que U(x) V x (y) =. Las vecindades U(x) forman un recubrimiento abierto del compacto K. Extraemos un recubrimiento abierto finito U(x 1 ),..., U(x n ). Notamos V (y) = V x1 (y) V x2 (y)... V xn (y). Luego V (y) es la vecindad del punto y, que no intersecta con U(x 1 ) U(x 2 )... U(x n ) K. Eso significa que y no pertenece a la clausura de K. Por eso K es cerrado. 18) Sea (H,, ) un espacio de Hilbert. Sean que x n e y n pertenecen a una bola unitaria cerrada B(, 1) en H tales que Demostrar que x n y n para n. Solución. Sea ε >. Existe N N tal que Tenemos x n, y n 1 para n, x n, y n 1 ε/2. x n y n 2 = x n y n, x n y n = xn 2 + y n 2 2 x n, y n 2 1 xn, y n < ε. Eso significa que la norma x n y n tiende al.

8 19) Verificar que en el espacio C k [a, b] de las funciones diferenciables continuamente k veces sobre [a, b] la siguiente función x = max t [a,b] x(i) (t) i= define una norma. Qué significa la convergencia de la sucesión en este espacio? Solución. La solución es consecuencia directa de las propiedades de la norma maximal del espacio C[a, b].