a las Enseñanzas Académicas Página Resuelve. Traduce a lenguaje algebraico el problema de la tablilla babilónica y calcula, por tanteo, la longitud y la anchura medidas en manos. ] + y = [ 7 = y = 6 ] + y = 0. El problema chino de las gavillas de trigo se resuelve con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Completa el que ves en el enunciado de arriba. + y + z = 0 ] [ + y + z = 9 ] + y + z = 6. Plantea un sistema de ecuaciones para el problema de Diofanto que aparece en la página anterior y encuéntrale una solución. + y = 0 + y = 0 =, y = ; =, y =. El problema de Diofanto que se muestra en esta página, el de las cántaras de vino, podría traducirse algebraicamente en el sistema de ecuaciones de la derecha, siendo a, b y c números enteros. a+ b= c a+ b= c Qué harías para encontrar una solución? Daría un valor a una incógnita y despejaría las otras dos.
a las Enseñanzas Académicas Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones Página. Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes son solución de la ecuación y = : a) = 6, y = b) = 6, y = c) = 0, y = a) 6 = = = 6, y = sí es solución de la ecuación. b) 6 = 6 = = 6, y = no es solución de la ecuación. c) 0 ( ) = 0 + = = 0, y = sí es solución de la ecuación.. Representa las rectas de ecuaciones: y = 6 + y = 0 Cuál es la solución común a ambas ecuaciones? Y + y = 0 y = 6 (, ) X Solución común a las dos ecuaciones: =, y =. Punto (, ).
a las Enseñanzas Académicas Sistemas de ecuaciones lineales Página. Di si los pares =, y = o = 7, y = son solución de alguno de los siguientes sistemas: 6+ y= 6 + y= y a) b) c) y= 9 y= + = + y= d) + y = y= 6 + y = 6 a) 6 y = 9 =, y = = 7, y = 6 + 0 = 6, sí + 0 =, no = 9, sí 7 6 = 9, sí sí es solución no es solución + y = b) y = =, y = = 7, y = + 6 =, sí + =, sí =, no 6 =, sí no es solución sí es solución + y = c) + y = =, y = = 7, y = + =, no + =, sí + =, sí + = 9, no no es solución no es solución d) + y = y = =, y = = 7, y = + =, no 7 + =, sí =, no 7 =, sí no es solución sí es solución
a las Enseñanzas Académicas Sistemas equivalentes Página 6. Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos: + y= 9 y= + y= 9 + y = = 6 y = Y + y = 9 Y + y = 9 = Y = 6 (6, ) (6, ) (6, ) y = X X X y =. Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes: y= y a) b) + y= y y = a) + y = Y = 0 = + y = y = (, ) X Punto en común: (, ) Solución del sistema: =, y =
a las Enseñanzas Académicas y = 0 b) y = Y y = 0 y = (, ) X Punto en común: (, ) Solución del sistema: =, y = Los dos sistemas de ecuaciones tienen la misma solución. Por tanto, son equivalentes.
a las Enseñanzas Académicas Número de soluciones de un sistema lineal Página 7. Fijándote en sus ecuaciones, di cuál de estos sistemas tiene una solución, cuál es incompatible y cuál indeterminado. Compruébalo representando las rectas: + y= 7 + y= 7 a) b) + y= 0 + y= 0 + y= 7 + y= 7 c) d) + y= y= + y = 7 + y = 7 a) Sistema incompatible b) Sistema con una solución + y = 0 + y = 0 Y Y + y = 7 + y = 0 + y = 7 + y = 0 X X + y = 7 + y = 7 c) Sistema indeterminado d) Sistema con una solución + y = y = Y Y + y = 7 + y = 7 y = X X + y = 6
a las Enseñanzas Académicas. Completa estos sistemas para que el primero tenga la solución = 6, y = ; el segundo sea incompatible, y el tercero y el cuarto sean indeterminados: y= + y= a) ) b) = + y= + y= + y= c) ) d) = + y = 9 a) 6 ( ) = 0 6 + a ( ) = a = El sistema de ecuaciones b) Respuesta abierta. + y = + y = ( + y) y = 0 tiene como solución = 6, y =. y = Para que el sistema sea incompatible, podemos igualarlo a cualquier número distinto de 6. c) Como = (), para obtener la segunda ecuación multiplicamos la primera por. Al ser una ecuación equivalente, nos dará la misma recta, lo que es un sistema indeterminado. + y = + y = 6 d) Como y = (y), para obtener la segunda ecuación multiplicamos la primera por. Esto nos dará el primer miembro de la igualdad; dividiremos el segundo miembro de la segunda ecuación por para obtener el segundo miembro de la primera. + y = + y = 9 7
a las Enseñanzas Académicas Métodos de resolución de sistemas Página. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas. Cuál de ellos crees que es más complicado de resolver por este método? + y= 6+ y= 0 a) b) + 7y= y= + 9y= y= c) d) + y= + 7y= ] + y = y = a) [ ] + 7y = Sustituyendo en la segunda ecuación: + 7 = + 7 = + 7 = 9 = 9 = y = = = 9 = 6 Solución: =, y = 6 + y = 0 b) y = y = Sustituyendo: 6 + ( ) = 0 6 + 9 9 = 0 = 9 = 9 Solución: =, y = 6 ] + 9y = y = c) [ 9 ] + y = Sustituyendo: = y = = 6 + = + = 6 + = 9 9 ( ) = = y = 9 Solución: =, y = 9 = 9
a las Enseñanzas Académicas ] y = y = d) [ ] + 7y = Sustituyendo: + 7 = + 7 77 = 0 + 7 77 = 7 = = y = = Solución: =, y = El más complicado es el apartado c). 9
a las Enseñanzas Académicas Página 9. Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas: + y= + y= a) b) y= 7 7+ y= 7 y= + 9y= c) d) 7+ 0y= + y= y 7+ y a) =, = y 7+ y = 0 6y = + 6y y = y = 7+ = = 7 = 6 = Solución: =, y = y 7 y b) = ; = 7 y 7 y = 96 y = 0y y = y = = 7 = 7 = 7 7 Solución: = 7, y = + y 0y c) =, = 7 + y 0y = 7 + y = 6 0y 6y = y = 7 = + = 0 = 0 Solución: = 0, y = d) = 9y, = y 7y = 0y y = y = = 9 = = Solución: =, y = 0
a las Enseñanzas Académicas Página 0. Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas: + y= + y= a) b) y= + 7y= y= 6+ y= 0 c) d) + 7y= y= + y = a) y = Solución: = 7, y = sumando 7 = 9 = 7 7 + y = y = 0 y = + y = y = b) + 7y = + 7y = sumando y = y = + = = = Solución: =, y = y = + 0y = c) + 7y = + 7y = Solución: =, y = sumando 7y = y = ( ) = = 6 + y = 0 6 + y = 0 d) y = 9 y = sumando = 9 = 9 = y = y = 9 = 6 Solución: =, y = 6
a las Enseñanzas Académicas Página. Resuelve este sistema simplificando previamente: ( + ) ( y ) = ( y) + y = 7 ] ( + ) ( y ) = ( y) [ + y ] = 7 + y + = y + y = 7 + 7y = 70 7y = 6 Por reducción: + 7y = 9 7y = 6 9 = = 6 y = 7 + 6 = Solución: = 6, y =. Resuelve este sistema aplicando dos veces el método de reducción: 7+ y= y= 9 7 + y = y = 9 Obtenemos la y: y = y = 9 7y = 7 y = Obtenemos la : + 60y = 7 60y = 6 9 = 777 = Solución: =, y =
a las Enseñanzas Académicas 6 Sistemas de ecuaciones no lineales Página. Resuelve estos sistemas dando su solución o señalando que no la tienen: + y= 6 a) + y b) + y = = 0 y= 9 + y= 6 c) + y d) y = = 6 y= 6 a) = 6 y (6 y) + y = 0 6 y + y + y = 0 y y + 6 = 0 y 6y + = 0 y = 6± 6 6± = = 6± y = y = Si y = = 6 = Si y = = 6 = Solución: =, y = =, y = b) Sumamos las dos ecuaciones, utilizando el método de reducción: = 0 = =, = Si = y = = = 6 y = ± 6 = ± Si = y = = = 6 y = ± 6 = ± Solución: ] ] [ ] ] =, =, y y = = =, =, y y = = c) = 6 y (6 y) + y = 6 6 y + y = 6 y y + 9 = 0 y 6y + 96 = 0 y = 6 ± ( 6) 96 6 ± = No tiene solución. d) = + y ( + y) y = 6 6 + y = 6 y = = 6 Solución: = 0, y = 6
a las Enseñanzas Académicas 7 Resolución de problemas mediante sistemas Página. Dos poblaciones A y B distan km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro peatón a 6 km/h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. La ecuación del espacio recorrido por el peatón que sale de A es = t Como la distancia entre A y B es km, la ecuación para el otro peatón es: = 6 t El momento del encuentro se epresa mediante un sistema de ecuaciones: = t ) = 6t = 0t t =, =, = 0 Por tanto, el encuentro se produce a las h 0 min y a 0 km de la ciudad A.. Dos poblaciones distan 0 km. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 6 km/h y un ciclista de B hacia A a km/h. Cuánto tardan en encontrarse? Qué distancia recorre el peatón? La ecuación para el peatón es: La ecuación para el ciclista es: El encuentro se epresa mediante un sistema: = 6t 6t = 0 ) ) 0 = t t = 0 = 6t 0 = t 0t = 0 t = = 6 = Por tanto, se cruzan a las h de haber iniciado su viaje, cuando el peatón ha recorrido km.
a las Enseñanzas Académicas Página. Hemos mezclado aceite de oliva de,0 /l con aceite de girasol de /l para obtener 0 l de mezcla a,0 /l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de aceite de girasol que hemos mezclado. Cantidad Precio oliva, girasol y mezcla 0,0 + y = 0, + y = 0, 0 6 l de aceite de oliva y l de girasol. y = 0 ), + 00 =, + 0 ( ) =, = = 6 y =. He pagado 90,0 por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 0. En la camisa me han rebajado un 0 %, y en el jersey, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? De la camisa que valía, pagaré 0, debido a la rebaja; y del jersey, que valía y, pagaré 0,y. + y = 0 0, + 0, y = 900, 0,(0 y) + 0,y = 90,0 0,y + 0,y = 90,0 0,0y =, y = 0, = 60 La camisa valía 60, y el jersey, 0.. El perímetro de un triángulo isósceles es de 6 cm. La altura relativa al lado desigual mide cm. Calcula la medida de los lados iguales. Si llamas a la mitad de la base, se simplifican mucho los cálculos. cm + y = 6 y = + y = y = y = ( ) = Los lados iguales miden cm. 6 + = 6 = 0 = y = =
a las Enseñanzas Académicas Página Hazlo tú Queremos comprar un regalo entre un grupo de amigos. Si ponemos cada uno, sobran. Y si ponemos, faltan 6. Cuántos amigos somos y cuánto cuesta el regalo? Llamamos al número de amigos e y al precio del regalo. _ y + = y + = b b y + y 6 ` = y + 6 = y y = 0 = y 6 y 6 = b a Sustituyendo el valor de la y en la.ª ecuación: = 0 + = Somos amigos y el regalo nos cuesta 0. 6
a las Enseñanzas Académicas Ejercicios y problemas Página 6 Practica. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: y= y= 0 + y= y= a) b) c) d) + y= + y= 6 y= + y= y = a) + y = y = + y = Y P(, ) 0 y y X Solución: =, y = y = 0 b) + y = 6 y = 0 + y = 6 0 0 P(, ) Y X y 0 y 6 0 Solución: =, y = + y = c) y = + y = y = 0 y y Solución: =, y = Y P(, ) X y = d) + y = y = + y = 6 y 0 y 0 Y 6 X Solución: =, y = 0 7
a las Enseñanzas Académicas. Resuelve por sustitución. + y= 0 y= 7 y= 6 + 6= y a) b) c) d) + y= y= 7 + y= y = 6 + y = 0 a) + y = = y ( y) + y = 6y + y = y = y = = = Solución: =, y = b) y = y = 7 = 7 + y ( 7 + y) y = 6 + 0y y = 7y = y = = 7 + = Solución: =, y = 7 y = 6 7 + 6= y c) + y = + ( 7 + 6) = + + = = = Solución: =, y = 9 = y = 7c + 6m= 9 d) + 6= y y = + 6 = + y = 6 ( + ) = 6 + 6 = 6 = 0 = 0 y = Solución: = 0, y =. Resuelve por igualación. a) = y= 6 b) + y = y= 6 y= c) d) y= 6 7= y + y= a) y = = 6 + y = y = y = 6 = 6 + y Solución: =, y = b) + y = = y y = 6 + y 6 = y y = 6 = 6+ y y = = ( ) = Solución: =, y = _ c) y y = 6 = 6 b 7 = y y = 7 + ` b 6 = 7 + = 7 + = a = y = 6 = 6 Solución: =, y = 6
a las Enseñanzas Académicas _ d) y = y = + b ` + y = y = b + = + = a = = y = c m = Solución: =, y =. Resuelve por reducción. y= + y= y= + y= a) b) c) d) + y= y= 7 + 6y= + y = 76 / y = y = a) + y = 6 + y = 0 = 0 = ( ) + y = y = Solución: =, y = b) + y = + y = y = 7 6 y = 7 = = + y = y = 7 / 7 7 Solución: =, y = 7 7 = 7 y = 6y = c) + 6y = + 6y = = = y = y = Solución: =, y = / = + y = + y = d) + y = 76 / y = / 6 Solución: =, y = = 6 = + y = 6 7 y = 6 7 =. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando dos veces el método de reducción para despejar cada una de las incógnitas: y= 9 y= a) b) 7 y= 9 7y= 9
a las Enseñanzas Académicas y = 9 6y = 0 a) 6y = y = 7 y = 9 9 + y = 7 y = 0 6 = = 6 + y = 7 Solución: =, y = 9 y = 99 y = 9 b) 0y = 96 y = 99 7y = 99 + 6y = 9 0 6 9y = 7 0 = 9 = + 9y = 6 0 Solución: =, y = 99 0 0 6. Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado: y= 0, 7, y= 6, a) b),, y=, + 0, y=, 7 ( ) + y= 0 c) d) + y = y ( + ) + y= = 7 6y,, y = a) Por reducción:,, y = 6, y = 6, + y = 6, = = y = 0 = y y = Solución: =, y = 0, 7, y = 6, b) Por sustitución: y =, + 0, y =, 7, + 0,e 6, 0, o =,7, + 7, y = Solución: = 0,77, y =, 6, 0, 7,, 0, 6 =,7 7,,09 +, 0,6 = 6,7,9 =,9 =, 9 = 0,77, 9 6, 0, 077, =, 7, ( ) + y = 0 + y = 0 + y = c) ( + ) + y = + + y = + y = No tiene solución. Es incompatible. + y = y + y = d) Tiene infinitas soluciones. Es indeterminado. = 7 6y + 6y = 0
a las Enseñanzas Académicas 7. Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman: y= y= + y= y= a) b) c) d) y= y= 0 y= 7 y= y = a) No tiene solución. y = Y y = y = y = X 0 y 0 y 0 b) y = Tiene infinitas soluciones. y = 0 Y y = y = 0 y = y Es la misma recta X + y = c) Tiene una solución, =, y =. y = 7 + y = y = 7 y y Y P(, ) X d) y = No tiene solución. y = Y y = y = X y y / 9/. Resuelve los sistemas siguientes: y + y= 0 ( ) = y ] = a) b) c) [ = 9y ( + y) + ( y) = y ] + = d) + y = + y ] + = y + ] [ e) 6 ] + = [ f) [ ] y= + y = y + ] ] = 6 9 6
a las Enseñanzas Académicas + y = 0 a) Por sustitución: y = = 9( ) = 9y = = 0 = 0 y = 0 = 0 Solución: = 0, y = 0 ( ) = y 6 = y 6 y = b) ( + y) + ( y) = + y + y = + y = + y = Por reducción: = = 6 y = y = Solución: =, y = _ y = b b y = y = c) ` Por reducción: y + = + y = y = b a y = 6 y = ( ) = = = 6 Solución: = 6, y = _ y + = d) b + y = + y = 6 ` Por reducción: y = y = 0 y = 0 b a + y = = = y = y = y = 0 / = Solución: =, y = _ + y + = b 6 b ( ) + + y = e) ` + y = ( ) ( + y) = 6 6 9 b a + + y = + y = 9 y = 6 9 y = 6 + y = 0 = 6 = 9 y = 6 ( ) + y + 6 = + y 6 = Solución: =, y = + y 6 = y =
a las Enseñanzas Académicas f) _ y + + = b b ` y + = 6 b a ( ) + y + = ( ) ( y + ) = 6 + y + = + y = 6 y = 6 6 y = 0 + y = 0 0 = 0 = 6 y = 0 Solución: =, y = + y + = y + = y = 9. Resuelve los siguientes sistemas: y = y 7 + = ] y= a) 7 b) c) [ y= + y= 0 + ] y= 0, y= 6 + ( y + ) ] + = + y + d) ] [ e) 6 ] = [ f) [ ] 0, + 7 y= 6, 7 + y ] = y + ] = a) Por sustitución: = 7y y e 7 o y = 6y = 0 y = 7, = Solución: = 0,; y = 7, b) Por sustitución: = 9y e 9y o + y = 0 y = 00 y = 6 = Solución: =, y = 6 c) Por igualación: 7 7, = 0, 9 6 = 9 9y.ª ecuación [mín.c.m. (, ) = ] + 9y = 9 = 0 y.ª ecuación [mín.c.m. (, ) = 0] 6 + y = 0 = 6 9 9y 0 y = 9 + y = 00 700y 7y = 60 y = 6 = 9 9 = Solución: =, y = 6
a las Enseñanzas Académicas d) Por reducción: multiplicamos por ambas ecuaciones:, y = 6 Multiplicamos por la.ª ecuación y sumamos ambas + 7y = + y = 0y = 0 y = 0 = = + 7y = 0 7 ( ) = 6 = Solución: =, y = e) Por reducción: en la.ª ecuación, mín.c.m. (, 6) = 6; y en la.ª, mín.c.m. (, ) =. ( + ) + ( y + ) = + y = 67 ( ) ( + y) = 6 6 y = Multiplicamos por la segunda ecuación y sumamos ambas: + y = 6 = 0 = 0 y = 6 0 + = y = Solución: = 0, y = f ) Por reducción: mín.c.m. (,, 6) =, mín.c.m. (, ) = ( + ) ( y + ) = 6 9 y = 7 ( ) ( y + ) = y = 6 Multiplicamos por la segunda ecuación y sumamos ambas: 9 y = 7 7 = 7 = y = 6 = 6 + y = Solución: =, y = 0. Resuelve por sustitución. y= a) y b) + y = = 6 y= y= c) ( ) + y d) + y = 9 = + y= a) = + y ( + y) y = 6 + y + y y = 6 y = y = Solución: =, y = b) = y ( y) y = y + y y = y y = 0 Si y = 0 = 0 = Si y = = = Solución: =, y = 0 =, y = y = 0 y =
a las Enseñanzas Académicas c) = + y ( + y ) + y = + y + y + y = y + y 7 = 0 y = ± ( 7) ± 00 = = ± 0 6 6 Si y = = + = 6 Si y = 7 Solución: = 7 = 7 = = 6, y= ] [, y 7 ] = = y = y = 7 d) = 9 y (9 y) + y = y + y + y = y y + 0 = 0 y 9y + 0 = 0 y = ± 0 ± = = ± Si y = = 9 = Si y = = 9 = Solución: =, y = =, y = y = y =
a las Enseñanzas Académicas Página 7 Aplica lo aprendido. Aplica el método de sustitución para resolver estos sistemas: + y= + y= a) y + b) = y = y= y= 0 c) d) y = y = a) y = ( ) + = + = = = y = = Solución: =, y = b) y = ( ) = = + + = 0 = ± ( ) = ± ( ) Si = y = ( ) = = = Si = y = = =, y= ] Solución: [ ] =, y= + y c) = y e + oy = y + y = y + y = 0 y = ± ( ) = ± 7 6 Si y = = + = 9 + ( ) Si y = = = ] 9, y = Solución: = [ ] =, y= y y = = 6
a las Enseñanzas Académicas d) = e y y oy = Si y = 6 = 6 = ( 6) Si y = 6 = = =, y= 6 Solución: =, y = 6 y = y = 6 y = ± 6 y = 6 y = 6. Aplica el método de reducción para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y = + y = a) b) + y = y= y = c) d) + y = 7 + y = y= a) Sumamos las dos ecuaciones: = 7 = ± 9 = ± Si = 9 + y = y = 9 = 6 y = ± Si = 9 + y = y = 9 = 6 y = ± ] =, y= ] =, y= Solución: [ =, y= ] ] =, y= b) Multiplicamos por la segunda ecuación y sumamos ambas: 6 + y = 6 y 7 = 7 = ± = ± = 6 Solución: ] ] [ ] =, =, y y = = =, =, y y = = c) Multiplicamos la primera ecuación por, la segunda por y las sumamos: 9 6y = 6 6y = 0 = 0 + = 6 Solución: = 0, y = = 0, y = d) Sumamos ambas ecuaciones: = = ± No eiste. No tiene solución. 7
a las Enseñanzas Académicas. Una cooperativa ha envasado 000 l de aceite en botellas de, l y de l. Sabemos que han utilizado 00 botellas en total. Cuántas se han necesitado de cada clase? son las botellas de, l, e y, las de l., + y = 00 y = 00, + y = 000, + y = 000 0, = 00 = 00 y = 00 00 = 700 Se han utilizado 00 botellas de, l y 700 de l.. Una botella llena de leche pesa 0 g. Cuando está por la mitad, pesa g. Cuánto pesa la botella vacía? Llamamos al peso de la leche, e y, al de la botella vacía. + y = 0 + y = 0 y = 0 y = + y = + y = 70 + y = 70 La botella vacía pesa g.. Halla dos números naturales tales que su suma sea, y su cociente, /. Llamamos e y a los números. + y = ] y = [ = = ( ) = ] = y y = = y = = Los números son y. 6. Un eamen tipo test consta de 0 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0, puntos. Si mi nota ha sido,, cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido? es el número de aciertos, e y, el de fallos. + 0, y = 0 0, y = 0,y =, y = 7 = 0, y =, 0, y =, He tenido aciertos y 7 fallos. 7. Si la base mayor es la suma de los lados oblicuos y el perímetro es m, cuánto mide cada lado de este trapecio isósceles? 6 m y y = 6+ + y = 6+ + = = = m y = 6m La base mayor mide 6 m, y los lados oblicuos, m, respectivamente.
a las Enseñanzas Académicas. Los estudiantes de un centro escolar son 0 entre y Bachillerato. El % de los alumnos de y el % de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 96 mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en y cuántos en Bachillerato. es el número de alumnos de e y los de Bachillerato. 0, + 0, y = 0 y = 0 0, + 0, y = 96 0, + 0, ( 0 ) = 96 0, 0, = 96, 0, =, = y = 0 = 96 Son alumnos en la y 96 en Bachillerato. 9. He pagado,7 por una camiseta y un pantalón que costaban 70 entre los dos. La camiseta tenía un % de descuento, y el pantalón, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? La camiseta vale ; con la rebaja del % pago 0,. El pantalón vale y; con la rebaja del % pago 0,7y. Por tanto: 0, + 0, 7 y = 70 y = 70 ) 0, + 0, 7y =, 7 0, + 0, 7( 70 ) =, 7 0, +,6 0,7 =,7 0,0 =, = y = 70 = La camiseta vale, y el pantalón,. Comprobación: + = 70, 96 +, 76 =, 7 0. Halla una fracción tal que si se le suma una unidad al numerador y se deja el mismo denominador la fracción es igual a /. Y si se mantiene el numerador inicial y se suman unidades al denominador, la fracción es igual a /. Llamamos al numerador de la fracción e y al denominador. _ + = b y b + = y y = + y = ` = = y + y = y = y + b a = y = + = La fracción buscada es. 9
a las Enseñanzas Académicas. Sabemos que dos números suman. Si al mayor lo dividimos entre y al menor entre, los resultados obtenidos se diferencian en unidades. Halla dichos números. Llamamos e y a los números. _ + y = b + y = + y = 0 y ` 7 = 6 = b y = y = a = y = = 6 El número mayor es, y el menor, 6. Resuelve problemas. Halla dos números naturales que sumen 0 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtengamos de cociente y de resto. Los números son e y. + y = 0 y + + y = 0 ) y = 6 y = = y + = + = 9 9 y son los números buscados.. La suma de las edades de una madre y de su hijo son 6 años. Hace 0 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? hoy hace 0 años madre 0 hijo y y 0 6 0 = (y 0) + y = 6 + y = 6 y = 6 0 = ( y 0) 0 = y 0 0 = 6 ( ) 0 0 = 0 0 6 = 0 = 0 y = 6 0 = 6 La madre tiene 0 años, y el hijo 6 años.. La edad de Carmen es el triple de la de su hija Maite. Pero dentro de años será el doble de la que entonces tenga su hija. Cuál es la edad de cada una? Llamamos a la edad de Maite e y a la de Carmen. = y = y y = y + y = + = ( y + ) = y + Maite tiene años y su madre, Carmen, tiene. 0
a las Enseñanzas Académicas. Entre dos autobuses viajan 0 personas. Si del que lleva más pasajeros se trasladan los / al otro, los dos llevarán el mismo número de personas. Cuántos viajeros llevaba cada autobús? Llamamos e y al número de pasajeros de cada autobús. _ + y = 0 b = y + ` b + y = 0 y + y = 0 = + y = 0 a + y = 0 6y = 0 y = 0 = 0 0 = 00 + y = 0 El autobús que más pasajeros llevaba, llevaba 00, y el que menos, 0. 6. Una empresa recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para una fecha determinada. Al planificar la producción, el gerente advierte que si se fabricasen 0 macetas diarias, faltarían 0 macetas al concluir el plazo. Pero que si se fabricasen 60 macetas diarias, sobrarían 0. Cuántos días de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron? Llamamos al número de días de plazo e y al número de macetas. 0 y = 0 0 + y = 0 0 = 0 = y = 900 60 y = 0 60 y = 0 Tienen días de plazo para un encargo de 900 macetas.
a las Enseñanzas Académicas Página 7. Por un pantalón y unos zapatos, he pagado 6. Si el precio del pantalón aumentara en un %, entonces sería el 7 % del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? Llamamos al precio del pantalón e y al de los zapatos. + y = 6, = 0, 7y y = 6, = 9, 0,7, = 0, 7( 6 ),9 = 9, = 0 y = 76 Por el pantalón he pagado 0, y por los zapatos, 76.. Si te doy de los libros que tengo, entonces tú tendrás el doble que yo. Si tú me das 6 de los tuyos, entonces seré yo el que tenga el doble que tú. Cuántos libros tenemos cada uno? Llamamos a los libros que yo tengo e y a los que tienes tú. y + = ( ) y = + y = = = + 6= ( y 6) y = y = y = y = 6 Yo tengo libros y tú tienes 6. 9. Un comerciante compró juegos de un tipo y de otro pagando por ellos 0. Con la venta de los primeros ganó un % y con la venta de los segundos perdió un %, de forma que obtuvo 70 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Precios de compra de cada tipo de juego: e y. + y = 0 7 + y =, + 0, 9 y = 90, 7 +, 7y = 90 y = 7,7 + c 7 m = 90,7 + 9, = 90 0, = = y = 7 = Los precios de compra fueron y, respectivamente. 0. Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido km, sale de A un coche a 0 km/h que quiere alcanzar al autobús. Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo? A AUTOBÚS: 90 km/h km B A COCHE: 0 km/h + B
a las Enseñanzas Académicas espacio velocidad tiempo autobús 90 t Sabemos que espacio = velocidad tiempo. coche + 0 t = 90t + 90t = 0t 0t = t =, =, + = 0t Tarda, h y recorre 7, km.. Un tren regional sale de una estación a una velocidad de km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo. t : tiempo que tarda en alcanzarlo. : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance., km/h 0, =, +, = t ) t +, = 0t t =, +, = 0t t =,7 =,, +, = 7 Tarda h min y recorre 7 km.. Dos ciudades, A y B, distan km. De A sale un autobús en dirección a B y simultáneamente sale de B un tren en dirección a A. Tardan en cruzarse hora y 0 minutos. Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del autobús supera a la del tren en km/h? A v + = v, ),v =,v 7, = ( v + ), 7, = v v = 6, = 7, km/h El tren va a 7, km/h, y el autobús, a 0, km/h.. Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con niños lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora más que si va vacío. Si sabemos que cuando va sin niños lleva una velocidad de 00 km/h, cuál es la distancia entre A y B? 60 km/h 00 km/h = 60t 60t = 00t 0t = t = 0,6 = 60 0,6 = 7, = 00( t 0, ) La distancia entre A y B es 7, km. v B
a las Enseñanzas Académicas. Si en un depósito que contiene agua a 0 C añadimos agua a C, obtenemos 0 l a 6 C. Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos añadido? son los litros de agua que había en el depósito. y son los litros que hemos añadido. + y = 0 y = 0 ) 0 + y = 0 6 0 + ( 0 ) = 00 0 + 0 = 00 = 0 = 90 y = 0 90 = 60 Había 90 l de agua a 0 C y hemos añadido 60 l de agua a C.. Se ha fundido una cadena de oro del 0 % de pureza con un anillo del 6 % de pureza. Así se han obtenido gramos de oro de una pureza del 76 %. Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo? Llamamos al peso de la cadena e y al del anillo. + y = 0, + 06, y = 0, 76 La cadena pesa 9 g, y el anillo, g. y = 0, + 7,6 0,6 = 9, 0, + 06, ( ) = 9, 0,6 =, = 9 y = 6. Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Hállalo sabiendo que sus cifras suman 6. es la cifra de las decenas. y es la cifra de las unidades. + y = 6 y = 6 ( 0 + y) ( 0y + ) = 0 + 6 0( 6 ) = 0 + 6 60 + 0 = 6 = = 9 y = 7 El número es 97. 7. La diferencia de dos números es, y la de sus cuadrados, 0. Halla esos números. Los números son e y. y = = + y y = 0 ( + y) y= 0 Los números son 6 y. + y + y y = 0 y = 6 y = = 6
a las Enseñanzas Académicas. La diagonal de un rectángulo mide cm, y su perímetro, cm. Calcula sus lados. + y = + y = y + = + y = y y = + ( ) = + + = + 6 = 0 + 0 = 0 ± = ± = = = 9 Si =, y = = 9. Si = 9, y = 9 =. Los lados del rectángulo miden 9 cm y cm, respectivamente. 9. En un triángulo rectángulo, la diferencia entre la medida de sus catetos es de 6 cm. Si la hipotenusa mide 0 cm, cuánto miden los catetos? y = 6 + y = 0 = 6 + y ( 6+ y) + y = 0 6 + y + y + y = 900 y + y 6 = 0 y + 6y = 0 y = y = Como los catetos solo pueden tomar valores positivos, la única solución es que el cateto mayor mida cm, y el menor, cm. 0. Las medidas de las diagonales de un rombo suman cm y su área son 6 cm. Cuanto mide cada diagonal? Llamamos e y a las medidas de las diagonales. + y = = y b b y ` ( yy ) ` y y = y y = + y = 0 = 6 = 6 b a b y = a Solución: =, y = =, y = La diagonal mayor mide cm, y la menor, cm.. Un rectángulo tiene m de perímetro. Si la base aumenta m y la altura se reduce m, su área no varía. Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Llamamos a la medida de la base e y a la de la altura. + y = + y = + y = ( + )( y ) = y y + y 6= y + y = 6 = y + y + y = 6 y = 0 y = 0 = ( y) + y = 6 La base mide cm, y la altura, 0 cm.
a las Enseñanzas Académicas. Si la base de un rectángulo disminuye 0 cm y su altura aumenta 0 cm, se convierte en un cuadrado. Y si la base disminuye 60 cm y la altura aumenta 0 cm, su área disminuye 00 cm. Halla las dimensiones del rectángulo. Llamamos a la medida de la base e y a la de la altura. 0 = y + 0 = y + 00 = y + 00 ( 60)( y + 0) = y 00 y + 0 60y 00 = y 00 0 60y = 00 = y + 00 0(y + 00) 60y = 00 0y + 000 60y = 00 0y = 00 y = 0 = 0 La base del rectángulo mide 0 cm, y la altura, 0 cm. Problemas +. Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son a, 9, a b y a + b. Cuál es el término que ocupa el lugar 7 en esta progresión? Al ser una progresión aritmética, la diferencia entre los términos es siempre la misma. 9 a = a b 9 a b= a + b= a b 9= ( a + b) ( a b) a b= 9 a b= 9 9a = a = b = = El término que ocupa el lugar 7 en la progresión responderá a la fórmula: a n = a + (n ) (a a ) a 7 = + 6 (9 ) = 79. Seis personas a, b, c, d, e y f, están sentadas en una mesa redonda. Cada una de ellas escribe un número y se lo enseña a las dos que tiene a su lado. Después, cada uno dice en voz alta la media de los dos números que le han enseñado. Si los resultados fueron, 6, 7,, 9 y 0, cuáles fueron los números que escribieron? b c 6 7 a d f e 0 9 b+ f = 0 b = 0 f b+ d = f = f = d + f = d = f ( 0 f ) + ( f ) = a + c = a = c a + e = 0 ) ) c = c = e + c = 6 e = 6 c ( c) + ( 6 c) = 0 a =, b =, c =, d = 6, e =, f = 6
a las Enseñanzas Académicas Página 9. En el triángulo ABC de lados AB = cm, CA = cm y BC = cm, cuánto mide la altura que parte de B? B A C Llamamos y a la altura pedida. + y = + y = 69 y = 69 ( ) y y + = + + = 9 y= 9 69 = 9 0 = = + y = 69 y = 69 = y = ± = ± Como la altura no puede tomar un valor negativo, la única solución válida es cm. 6. Un tren sale de una ciudad con pasajeros, entre hombres, mujeres y niños. Hace varias paradas y en cada una bajan dos hombres y una mujer, y suben cuatro niños. Llega a su destino con pasajeros, de los cuales los hombres representan los / de los niños, y las mujeres, los / de los hombres. Cuántas paradas hizo el tren? Cuántos hombres, mujeres y niños hay al llegar? Y al partir? En cada parada bajan personas y suben ; por tanto, aumenta un pasajero en cada parada. = 9 El tren ha hecho 9 paradas. Llamemos al número de hombres, y al número de mujeres y z al número de niños que hay al llegar. _ + y + z = b = z b ` y = b b a _ + + z = b ` = z b a 7 Llegaron 66 niños, mujeres y hombres. _ 7 + z = b ` = z b a z + z = z = 66, =, y = Como se bajan dos hombres en cada parada, han llegado 9 = hombres menos que al partir. 9 mujeres menos que al partir y 9 = 6 niños más. Las personas que había al partir son: + = 6 hombres + 9 = mujeres 66 6 = 0 niños En total,. 7
Refleiona sobre la teoría a las Enseñanzas Académicas 7. Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución sea =, y =. + y = + ( ) = =, y = es solución. y = ( ) =. Cuál debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes? y= a) b) y = ) m + y= y = La solución de a) es =, y =. b) debe tener la misma solución: = m m = 9. Comprueba si =, y = es solución de alguno de estos sitemas de ecuaciones: ] + y= ] y= a) [ y= b) [ y= ] 6y= 0 ] + y= _ + y = + = ] b a) [ y = = ` =, y = es la solución de ese sistema. ] 6y = 0 6 = 0b a _ y = = ] b b) [ y = = ` =, y = no es solución de ese sistema. ] + 6y = + = b a 0. Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución =, y = ; el segundo sea incompatible, y el tercero y el cuarto sean indeterminados: + y= + y= y= + y= 7 a) b) c) d) y = + y= 6 y= y = + y = ( ) a) y + = y + y = Solución: = = + = = 6 6 y = + y = b) Puede ser cualquier número distinto de 0. + y = Por ejemplo: + y = + y = y = c) y y = 6 = 6 y = + y = 7 d) y + y = 7 = y =
a las Enseñanzas Académicas. Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) La ecuación b) El sistema = es una ecuación lineal. y= es indeterminado. 6+ y= 0 + y= + y= c) Los sistemas S : y S y= 6 : son equivalentes. y= 9 d) La ecuación + y = no tiene solución. a) Falso. Debería tener otra incógnita para tratarse de un sistema lineal. b) Verdadero. La segunda ecuación está multiplicada por respecto a la primera. c) Verdadero. La solución de los dos sistemas es la misma, por lo que son equivalentes. d) Falso. Tiene infinitas soluciones, damos un valor a una de las incógnitas y despejamos el valor de la otra.. Observa la representación de las rectas r, r, r y r y responde sin resolver. r : + y = r : 7y = 6 r : y = r : + y = 0 a) Cuál es la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones? Alguno es incompatible o indeterminado? + y= 0 y= + y= 0 i) ii) iii) y= 7y = 6 + y= b) Alguno de estos sistemas tiene solución? ] + y= 0 ] + y= I ) [ y= II ) [ y= ] 7y = 6 ] 7y = 6 a) i) =, y = ii) =, y = iii) Incompatible. b) Sí, II ) Solución: =, y =. 9
a las Enseñanzas Académicas. Qué valores deben tomar a y b para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones? + y= a + by = Escribe tres soluciones del sistema. Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la primera. Así: + y = a = 9 y b = 6 a + by = Soluciones: Damos valores a para obtener puntos de la recta + y = : = ; y = ; = 0, y = ; =, y =. Qué condición deben cumplir c y d para que este sistema no tenga solución? + y= c 6+ y= d El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando d c. 0
a las Enseñanzas Académicas Página 0 Utiliza el lenguaje algebraico Peaje solo para algunos Hace muchos, muchos años, allá en el tiempo de las espadas, había un poderoso señor cuyo castillo dominaba el único puente sobre el río del lugar. Un buen día colocó en la entrada del puente el cartel de la derecha. Un campesino, algo ambicioso, reunió sus ahorros y se empeñó en pasar varias veces por el puente. Pero a la tercera se encontró con la bolsa vacía. Sin embargo, un rico comerciante intentó hacer lo mismo pero el capitán, al ver su bolsa, le dijo que el trato era solo para campesinos. Que los ricos comerciantes debían pagar tres doblones y marchar, sin más. Sabiendo que el campesino reunió más de 0 pero menos de 0 doblones, responde: Cuántas monedas tomaba cada vez el señor del castillo? Cuántas monedas llevaba, al menos, el rico comerciante? Quizá te resulte más fácil si utilizas el lenguaje algebraico. entra con peaje tras el peaje sale con primera vez a a a segunda vez a a a? tercera vez??? 0 El campesino llevaba doblones al principio. En la mano del señor cabían doblones. El rico comerciante llevaba, al menos, 7 monedas. En este caso y con cantidades superiores, el señor del castillo debería entregar más monedas de las que recibiese. Si es comerciante entra con 7 monedas, el señor le quita y aún le quedan 9. Por lo tanto, el señor recibiría y debería entregar 9. No le interesa.
a las Enseñanzas Académicas Investiga Cuadrado mágico Ya sabes que en un cuadrado mágico, filas, columnas y diagonales suman lo mismo. Trata ahora de completar las casillas vacías para que el cuadrado de abajo resulte mágico. Ayuda: b a + a b + a + a + b = (a ) + a + (a + ) b a b Si profundizas en el problema, descubrirás la relación que debe eistir entre a y b. Y eso te permitirá encontrarle muchas soluciones. 6 7
a las Enseñanzas Académicas Página Entrénate resolviendo problemas En un salón de té solo se sirve té y tarta. Cada té vale,0 y cada ración de tarta,0. Varios amigos realizan, todos ellos, la misma consumición. La cuenta asciende a un total de 0,0. Cuántos eran? Qué tomó cada uno? Un té vale 0 céntimos y una ración de tarta, 0 céntimos. El total de la factura asciende a 00 céntimos. Hemos de buscar posibles consumiciones cuyo coste total sea divisor de 00. n.º de consumiciones coste total (en céntimos) es divisible de 00? té + pasta 0 + 0 = 0 No té + pastas tés + pasta 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 00 : 0 = 7 Así pues, 7 eran los amigos y cada uno consumió dos tés y un trozo de tarta. Otra forma de resolverlo: Consideramos, en lugar de céntimos, decenas de céntimos. Un té vale decenas de céntimos, y una ración de tarta,. La cuenta asciende a 0 decenas de céntimos. Descomponemos: 0 = 7 = 7 ( + ) Así es fácil verlo: 7 amigos tomaron tés y ración de tarta cada uno. Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de una capa y monedas de oro. A los cinco meses se despide, y recibe como pago la capa y cuatro monedas de oro. En cuántas monedas está valorada la capa? monedas + capa No Sí capa + monedas monedas monedas monedas En los 7 meses que le quedaban, habría ganado monedas. Es decir, monedas cada mes. En meses habría ganado monedas. monedas equivalen a monedas + capa. Por tanto, una capa vale monedas.
a las Enseñanzas Académicas Estas nueve bolas de billar tienen eactamente el mismo tamaño y todas pesan lo mismo salvo una que pesa un poco más. Cuántas pesadas necesitarías hacer para descubrir, con absoluta seguridad, cuál es la bola que pesa más? Colocamos tres bolas en cada plato y dejamos tres fuera. Si pesa más el plato de la izquierda, o el de la derecha, aquí está la bola buscada. Si pesan lo mismo, la bola buscada es una de las tres que hemos dejado fuera. En cualquiera de los casos tenemos tres bolas, una de las cuales es la buscada. Ahora, procedemos análogamente. Colocamos una bola en cada platillo. La que pese más es la buscada. Si pesan igual, entonces la bola más pesada es la que hemos dejado fuera.
Autoevaluación a las Enseñanzas Académicas. Di cuál de los siguientes sistemas tiene una solución, cuál es incompatible y cuál es indeterminado: 6 y= 9 y= + = 0 + y= a) b) c) d) y= + y= 7 y + 6= 0 + y= 9 a) Es indeterminado. b) Tiene solución ( =, y = ). c) Tiene solución ( =, y = ). d) Es incompatible.. Resuelve los siguientes sistemas: + y= 0 ] a) b) [ y= ] a) = + y + y = + y =, + 0, y= c) d) y = 0 0, y= 6 y= ( + y) y = 0 + 9y y = 0 7y = y = = + ( ) = 0 Solución: = 0, y = + ] + y = b) + + y = + y = = y [ + y = + y = 7 = 7 y ] + y = y = 7 y y y = 7 y = y = = = Solución: =, y = c) Multiplicamos por la primera ecuación y sumamos ambas ecuaciones: = 0 = Solución: =, y = d) y = ( ) = 0 9 + 6 = 0 + 6 = 0 Solución: + = 0 =, = =, y = =, y =. Aplica el método de reducción para resolver el sistema siguiente: 7+ y= y= 6 7 + y = 77 y = y = 9 y = y = 6 77 y = 7 + 6y = 6 = 6 = 6y = Solución: =, y =
a las Enseñanzas Académicas. La diferencia entre las longitudes de las bases de un trapecio isósceles es de cm; su altura mide 9 cm y su área es de 7 cm. Calcula la medida de las bases. ] y = y = = + y [ 9( + y) y = y = 6 = 0 ] = 7 + y = 6 + y + y = 6 La base mayor mide 0 cm, y la base menor, 6 cm.. Un agricultor comprueba que en el segundo de sus dos depósitos de agua para riego hay 0 litros más que en el primero. Traspasa litros del segundo al primero y así este se queda con el doble que el segundo. Calcula la cantidad de agua que tenía cada depósito. Cantidad de agua en el primer depósito: Cantidad de agua en el segundo depósito: y y = + 0 y = + 0 + = ( y ) y = ( + 0) = El primero tenía l, y el segundo, l. 0 = = =, y = 6. Ana sale a caminar y lo hace a km/h. Un cuarto de hora más tarde sale su hijo a correr por el mismo sendero y lo hace a 7 km/h. Cuánto tardará en alcanzarla? Llamemos t al tiempo que camina Ana hasta que su hijo le alcanza. El espacio recorrido por ambos es el mismo: e = t e = 7( t / ) t = 7t 7 t = 7 h = min Tarda en alcanzarla: = 0 minutos. 7. He pagado por una cazadora y unos deportivos. En la cazadora me han rebajado el 0 % y en los deportivos el 0 %, y así me he ahorrado 7. Cuáles eran los precios sin rebajar? Precio de la cazadora sin rebajar: Precio de los deportivos sin rebajar: y + y = + 7 = 00 = 00 y = 00 y 0, + 09, y = 000, ( y) + 09, y = 0, y = = 70 es el preciode la cazadora y = 0 es el preciode los deportivos 6
a las Enseñanzas Académicas. Las medidas de las diagonales de un rombo suman 6 cm y su lado mide 6 cm. Halla las medidas de las diagonales de este rombo. + y = 6 = 6 y ] ] [ y [ 6 y y b + c = 6 ] l m e o + c m = 676 ] 6 6y + y y + = 676 6 6y + y + y = 70 y 6y + 90 = 0 y 6y + 960 = 0 y = y = 0 Solución: = 0, y = =, y = 0 La diagonal mayor mide cm, y la menor, 0 cm. 7