Espacios vectoriales. Vectores del espacio.

Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del paralelepípedo; c) la distancia entre las bases. PAU. Dada la base formada por los vectores:, comprueba si es ortogonal y orto normal. PAU. y Dados los puntos A(-4,1,0), B(2,-5,3), C(5,1,1) y D(x,y,z), calcula x,y z para que los vectores AB y CD sean equipolentes. Dados los vectores de R 3 v 1 = (1,1,0), v 2 = (0,1,2), v 3 = (3,2,-2) a) Comprueba que no forman base. b) Expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. c) obtén un vector u que, con v 1 y v 2, forme una base de R 3. Dados los vectores de R 3 : (1,0,1), (1,1,0) y (1,1,1) a) Demuestra que forman una base, b) Halla las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base. Dados los vectores libres de V 3 : u = (1,2,5) y v = (1,1,4) : a) Si AB = u v y A(1,1,1), cuál es el extremo B?. b) Qué componentes tiene el vector 2u + v?. c) Qué componentes tiene el vector 3u 2v?. Dados los vectores u = (3,2,1) y v = (1,2,-1), obtén: a) Modulo de u y de v; b)producto vectorial de u y v ; c) vector unitario ortogonal a u y v ; d) área del paralelogramo de lados u y v. Dados los vectores u, v y w tales que, = 3, = 1, = 4 y u + v + w = 0, calcula: u v + v w + u w PAU. 1

Dados los vértices A(0,1,3), B(1,0,2) y C(1,0,1) de un triangulo, obtén: a) la clase de triangulo, b) su perímetro, c) sus ángulos, d) el área. Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar: a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u. c) el vector proyección ortogonal de u sobre v. Determina los valores de a para los cuales los vectores de R 3 : (-1, a, a), (a,a,-1) y (a,-1,a) no formen una base y obtén la relación de independencia entre dichos vectores. El vector u = (a,1,b) es perpendicular a los vectores v = (2,1,0) y w = (0,1,-1), cuánto valen a y b?. Calcular el valor de m para que los vectores u = (1,-1,m) y v = (-2,m,m) sean perpendiculares. Encuentra él numero de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto de vectores S = { (1,1,1), (0,2,1), (2,0,-3), (-1,1,2) } y contesta: a) Un vector tiene sus tres componentes iguales y distintas de cero, puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de S?. b) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes igual a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S. PAU. En el espacio vectorial R 3 se consideran los vectores u = (1,2,-1), v = (1,-1,1) y w = (2,5a,3a) donde a es un parámetro real. Se pide: a) Determina el valor numérico que debe de tomar el parámetro a para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Determina el valor numérico para el parámetro a de forma que los vectores. c) u, v y w sean linealmente dependientes. PAU. En R 3 determina el valor de a para que los vectores x = (3,0,a), y = (-1,2,1) y z = (2,-1,2) sean linealmente dependientes. Hallar, si existe, el valor de, para que los vectores u y v sean colineales, en los casos: a) u( -1, +6, 3), v(, 8, 12) b) u(5, -2, ), v(10, -1, 7) 2

Obtén el producto mixto {u,v,w} sabiendo que u = (1,2,1), v = (-1,0,1) y w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2. Prueba que los vectores (2,3,4), (1,1,1) y (1,2,3) son dependientes en R 3. Puede haber dos vectores u y v tales que u v = -3, u = 1 y v = 2?. Qué se puede decir del ángulo de dos vectores que verifican que u v = u v?. Justifica la respuesta. PAU. Qué ángulo forman los vectores u y v sabiendo que u v = 12, = 2 y = 3?. Cuál es el ángulo si u v = - 6?. Sean los vectores u(2, -1, 6) y v(-1, 5, a). Hallar el valor de a para que: a) u y v sean perpendiculares. b) = 6, cuántos valores hay?. c) El producto escalar u v valga 1. Sean los vectores u(1, 2, 2) y v(-1, 3, -2). Hallar: a). b) Un vector u unitario con la misma dirección y sentido que u. c) La proyección ortogonal de v sobre u. Sean los vectores u(3, 5, 6) y v(-2, 1, 9), hallar: a) el vector u x v, b) el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y u x v. Sean u, v y w tres vectores linealmente independientes. Indica cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen cero: a) {u + w, v, u + v} ; b) {u v, v w, w u} ; c) {u + w, u w, u + v + w} PAU. 3

Sean u, v, y w tres vectores cuyas componentes en una base cartesiana directa son: u (-2, 1, 3), v(0, 1, 7) y w(3, -4, 6). Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a) u, v y w. b) v, u y w. c) u, v y v. Cómo se interpretan los resultados obtenidos en a), b) y c) Sean u, v y w vectores de componentes u(-2, 5, 3), v(6, -4, 0) y w(2, 7, -1), hallar, expresados en componentes, los vectores: a) u 2v + w ; b) 2u 3 (v + w) ; c) u + 2v 3w ; d) (1/2) u 2v ; e) 5u 3v + w ; f) u 2v + 3w Con los mismos vectores, calcular: a) sus módulos, b) el ángulo de los vectores u y v, u y w, v y w. Si (u + v) (u + v) = 36 y (u v) (u v) = 9, Cuál es el producto u v?. 4

Rectas y planos. Ecuaciones. Calcula razonadamente el valor de a para que los siguientes cuatro puntos estén en un mismo plano del espacio euclídeo: (a,1,2), (2,1,0), (2,3,1) y (5,1,3). Halla también de una manera razonada, la ecuación del plano que los contiene. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector (0, -5, 3) y que pasa por el punto P(1, 0, -5). Comprueba si los puntos A(-1,0,1), B(1,-2,1), C(2,-3,-2) y D( 3,1,2) pertenecen al mismo plano. Dada la recta en paramétricas halla: a) Otra ecuación en forma paramétrica, b) una ecuación en forma continua, c) una de sus expresiones implícitas. Dado el tetraedro de vértices A(-1,2,5), B(2,1,6), C(4,1,7) y D(-1,5,6), halla las ecuaciones de los planos que contienen a cada una de sus caras. Determina los valores de m para que los puntos A(m,2,-3), B(2,m,1) y C(5,3,-2) estén alineados y las ecuaciones de la recta que los contiene. Expresa en forma continua las ecuaciones de las rectas que forman las aristas del tetraedro irregular de vértices: A(4,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) y O(0,0,0). Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(-1,0,2) y tiene como vector dirección v = (-2,2,1) : a) En forma vectorial, b) en forma paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana. 5

Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(1,3,-1) y B(0,-2,3) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua, d) cartesiana. Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,0) y cuyo vector normal es n = (1,-3,2). Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,1) y contiene a la recta dada por Halla la ecuación en todas sus formas posibles del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y tiene como vectores directores: u = (2,-1,2) y v(1,-1,2). Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla las coordenadas del punto común al plano de ecuación 2x + 3y z + + 6 = 0 y a la recta determinada por el punto A(2,-1,3) y el vector u = (-2,3,1). Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x y + 3z 1 = 0 que pase por el punto Q(-12, 1, 4). Hallar la ecuación general del plano que: a) Pasa por el punto A(2, 3, -4) y es paralelo a los vectores u(1, -2, 1) y v(3, -2, 0). b) Pasa por los puntos A(-1, 1, 2), B(0, 5, 9) y C(-3, 1, 6). c) Pasa por el punto P(3, 3, -2) y contiene a la recta r de. d) Pasa por P(-2, 1, 0) y es perpendicular al vector 6

Hallar las ecuaciones de las caras y de las aristas del cubo de arista la unidad. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(3, 2, 1) y contiene a la recta x = y = z + 6 La ecuación en forma continua de una recta es:. Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica, c) Un punto P cualquiera de ella cuya segunda coordenada sea 5. Para que los puntos A(2,2,2), B(2,0,2), C(2,2,0) y D(a,b,c) sean coplanarios, qué valores deben de tomar a,b y c?. Para que los puntos A(m,n,0), B(1,-1,3), C(-1,1,2) y D(1,-2,3) pertenezcan a un mismo plano, qué valores deben tomar m y n?. Sabiendo que un plano corta a los ejes coordenados en los puntos A(-2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,4), halla su ecuación en forma segmentaria. Sea el plano de ecuación 3x 2y + 4z 7 = 0. Halla las distancias al origen de los puntos en los que el citado plano corta a los ejes coordenados. Sea el triángulo de vértices A(1, 0, 1) ; B(1, 1, 0) ; C(0, 1, 1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que determinan. Se consideran cinco puntos cuyas coordenadas son: P 1 (1, -1, 2) ; P 2 (-2, 2, 3) ; P 3 (-3, 3, 3) ; P 4 (-3, 3, 0) ; P 5 (-3, 4, 3). Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta: forman parte de un mismo plano?. Una recta r pasa por A(5, -5, 7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el punto P(1, 1, -1). 7

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Rectas y planos. Posiciones relativas. Considera la recta Determinar a para que el plano, de ecuación 2x + y + az = b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta está contenida en el plano. Considera las rectas a) determinar m para que las rectas se corten. b) Hallar el punto de corte. Dada la recta y el plano : x + y + z = 0, hallar un plano que contenga la recta r y corte al plano en una recta paralela al plano OXY. Dadas las rectas posición relativa estudia su PAU). Dados los planos: Determina los valores de a para los cuales: a) los planos se cortan en un solo punto, b) se cortan en una recta. Dados los planos 1 : 3x + 4y + 5z = 0, 2 : 2x + y + z = 0 y el punto A(-1,2,1) halla el plano que pasa por A y por la recta intersección de 1 y 2. Deduce una ecuación para el plano 1 que es perpendicular a los planos 2 : 2x + 3y + z = 1 y 3 : 6x + 3y + 2z = 3 y que pasa por el punto A(4,1,2). 9

Discutir, según los valores de m, la posición relativa de los planos, indicando las figuras geométricas que determinan: Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta r y el plano, cuyas ecuaciones son: Encontrar la recta que pasa por el punto (1, 0, -1) y corta a las rectas L 1 y L 2 : : Estudia en función de los valores de a la posición relativa de las rectas: Estudia la posición relativa de las rectas: y halla la ecuación del plano que las contenga. PAU). Estudia, según los valores de k, la posición relativa de los planos: Estudiar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en su caso, los puntos de corte. 10

Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, según los valores de b: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas. Hallar, en su caso, el punto de intersección. Halla la ecuación continua de la proyección ortogonal de la recta r : (x,y,z) = (2,1,1) + t(-1,0,2) sobre el plano : 2x + y z = 0 Halla la recta que pasa por el punto P(1,2,1) y corta perpendicularmente a la recta: Hallar la ecuación de una recta que pasa por P(0, 0, 2) y corta a las rectas Nos dan la recta r determinada por los puntos A(1, 1, 1) y B(3, 1, 2), y la recta a) Averiguar su posición relativa. b) Si existe, hallar la ecuación general del plano que las contiene. Responde a las siguientes cuestiones: a) Estudia si la recta y el plano : x + y + z = 4 son o no paralelos. b) Encuentra la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a. Hallar la posición relativa de la recta. En su caso hallar el punto de corte. y el plano 11

Sabemos que las siguientes rectas se cortan en un punto. Calcula el valor de m y el punto de corte. Se consideran las rectas r y s dadas por: encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto de intersección de s con el plano : x 3y 2z + 7 = 0 Se consideran las rectas: Prueba que para ningún valor de a, las rectas r y s pueden ser paralelas y averigua el único valor para el que se cortan. Para este valor de a se pide: a) Calcula el punto de intersección de r y s y la ecuación del plano que las contiene, b) Determina la ecuación de la recta I que está contenida en y es perpendicular a r en el punto P. Escribe la ecuación de otras rectas que sean perpendiculares a r por el punto P. Se sabe que la recta r: (x,y,z) = (-1,b,0) + t(2,-10,1) y el plano : 2x + ay + z = 2 se cortan perpendicularmente y que la recta pasa por el punto (-1,1,-1). Calcula a y b y el punto de corte. 12

Problemas métricos en el espacio. Calcula el punto R de la recta s dada por: que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1). Halla el área del triangulo determinado por los puntos P, Q y R. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por P(-1,2,3) y Q(3,5,0). Halla los puntos de r cuya distancia al punto C(-1,0,1) es de 12 unidades Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta: Considera el punto P(-1,2,1). a) Determina el punto Q del plano : - 3x + y + z + 5 = 0, de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano. b) Determina el punto M de la recta forma que el vector MP sea paralelo al plano. c) Calcula el área del triangulo MPQ. de Considera la recta a) De todos los planos que se pueden representar por una ecuación de la forma 5x + my 2z + 1 = 0, prueba que hay uno solamente que es paralelo a r. b) Comprueba si el plano obtenido contiene o no a la recta r, y en caso negativo, determina el plano 1 que es paralelo a y contiene a r, así como la distancia entre r y. c) Obtén la ecuación de la recta contenida en 1 que sea perpendicular a r. Cuántas hay?. Considera las rectas Comprueba que los puntos O(0,0,0) y A(1,1,1) pertenecen a r, y que los puntos B(0,5,0) y C(10,5,0) pertenecen a r. Obtén la distancia entre esas dos rectas. 13

Dada la recta, se pide: a) Ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,0) y corta perpendicularmente a r. b) Punto de intersección de r y s y punto simétrico de P respecto de r. c) Una recta paralela a s que cruce con r. PAU). Dadas las rectas Halla los puntos de ambas rectas que están a una distancia mínima y determina la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas. Dados los puntos A(1, -3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, -1), se pide: a) obtener la ecuación del plano que los contiene. b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano. c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas. Determina el conjunto de puntos que están a la misma a la misma distancia de los puntos P(-1,2,5) y Q(-3,4,1). Qué figura geométrica forman?. Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). Si el centro del paralelogramo es O(0,0,1), se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo. c) área del paralelogramo. Encuentra la ecuación de la perpendicular común a las rectas: Halla el punto Q simétrico de P(2,0,1) respecto de la recta que pasa por el punto A(0,3,2) y es paralela a la recta s de ecuaciones: 14

Halla el volumen del paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,0,0), B(2,3,0), C(4,0,5) y E(7,6,3). Halla las coordenadas de los restantes vértices. Halla la ecuación de la recta r que pasa por P(1,2,3) y es paralela a la recta Determina la distancia entre r y s. Hallar a) la proyección ortogonal r 1, de la recta sobre el plano : x + y + z = 2. b) el ángulo que forman r y r 1. c) el ángulo que forman r y. Comparar los resultados obtenidos en b) y en c). Hallar el ángulo formado por la recta plano : x + 4y + z 6 = 0 y el Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y B(0, 3, -1). Qué figura forman?. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x 4y + 5 = 0 y 2x - 2y + z + 9 = 0. b) Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?. Hallar el simétrico del punto B(5, 0, 9) respecto a la recta 15

Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a : 5x y + z 1 = 0 y contiene a la recta Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto P(4, 0, -2) y es perpendicular a la recta. Calcular el punto de intersección. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2, 0, -1) y corta perpendicularmente a Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1, -1, 1) y es paralela a los planos : 2x + y z = 0 ; : 3x + y 2z + 5 = 0 Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos: A(1, 1, 1) ; B(-2, 0, 1) y C(1, -2, 0). Calcular el volumen del tetraedro que limita con los ejes coordenados. Hallar las ecuaciones de una recta perpendicular al plano : 9x 4y + 2z = 1 pasando por el punto Q(-1, 1, 0). Calcular el punto de intersección de ambos. Hallar un punto de la recta que equidista del eje OX y del eje OY. Los puntos P(0,1,0) y Q(-1,1,1) son dos vértices de un triangulo y el tercero S pertenece a la recta La recta que contiene a P y a S es perpendicular a r. a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triangulo PQS. 16

Los puntos P(4, -2, 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices. Los puntos P(1, -1, 1) y Q(3, -3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0. a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados. c) Calcular el perímetro del cuadrado construido. Obtén las coordenadas del punto del plano de ecuación x z = 3 que esté más cerca del punto P(3,1,4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado. Sea el plano : 2x y + z + 2 = 0 y la recta. Hallar el plano que pasa por A(3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano. Sean A, B y C los puntos de la recta: que están en los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0, respectivamente. a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene mayor área. Sean las rectas a) Comprobar que se cruzan. b) Hallar la mínima distancia entre ellas. c) Hallar la ecuación de la perpendicular común. Sean los puntos A(5, -1, 2), B(0, 2, -1) y C(2, 3, 0). Hallar la distancia de A a la recta BC. 17

Sean los puntos P(5,1,3) y Q(3,7,-1). Por el punto medio del segmento PQ trazamos el plano perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. a) Halla la ecuación del plano. B) Calcula el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C siendo O el origen de coordenadas. Se considera el tetraedro de vértices A(1, -1, 2) ; B(0, 3, 1) ; C(5, 0, -4) y D(2, 2, 0). Hallar: a) las longitudes de las aristas. b) El área de las caras. c) La mínima distancia entre las parejas de aristas que se cruzan. Cuántas hay?. d) El volumen del tetraedro. Un cubo de arista 2 está situado en el primer octante, con un vértice en el origen y apoyado en los ejes coordenados. Hallar la distancia entre: a) Dos aristas que se cruzan. b) Las diagonales de dos cara opuestas. c) una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza. Un cubo tiene dos caras opuestas sobre los planos x + y 5z = 6 e x + y 5z = 13. Hallar su volumen. Una recta pasa por A(6, -2, 8) y por el origen. Otra recta esta determinada por B(0, -2, 4) y el vector v(2, -3, 4). Comprobar que se cruzan y hallar la distancia entre ellas. Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a ambas, así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman. Una recta r pasa por A(1, 6, 3) con vector director u(2, -1, 1). Otra recta s pasa por B(3, 3, 8) con vector director v(1, 0, 1). Hallar dos puntos P r y Q s tales que el vector PQ sea paralelo a w(1, 1, -1). 18

Superficie esférica. Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(3,-1,2) y que pasa por el punto P(2,3,1). Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(2,0,-3) y radio r = 4. Dada la superficie esférica de ecuación: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0. a) Comprueba que el punto P(1,-1,2) pertenece a la superficie esférica. b) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie esférica en dicho punto. Dada la superficie esférica de ecuación: x 2 + y 2 + z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0, Para qué valores de m el plano dado por la ecuación: x 2y + 3z + m = 0 es tangente a la misma?. Determina la posición relativa de cada uno de los planos: respecto de la superficie x 2 + y 2 + z 2 6x 4y + 2z 3 = 0 Halla el centro y el radio de la superficie esférica: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y + 5z + 1 = 0 Halla la ecuación de la superficie esférica de centro M(1,-2,3) y radio 5. Halla la intersección de la superficie esférica: x 2 + y 2 + z 2 2x 3y + 6z 2 = 0 y la recta del espacio expresada en paramétricas: 19

Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de las superficies: a) x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y 3z 2 = 0 b) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 2x + 8y 6z 5 = 0 20