Vectoes Pesentanción basada en el mateial contenido en: Seway, R. Physics fo Scientists and Enginees. Saundes College Pub. 3d edition.
Sistemas de Coodenadas Se usan paa descibi la posición de un punto en el espacio El sistema de coodenadas consiste de: Un punto de efeencias fijo que se llama oigen Ejes con una escala y denominación (x, t, T) Instucciones sobe como señala un punto con especto al oigen y los ejes.
Sistema catesiano de coodenadas a.k.a. Sistema de coodenadas ectangulaes Los ejes x y y se intesecan en el oigen Los puntos se señalan mediante (x,y)
Sistemas de coodenadas Polaes Hay que señala el oigen y la línea de efeencia. Un punto señala la distancia desde el oigen en la diección del ángulo θ, medido desde la línea de efeencia en sentido contaio a las manecillas del eloj (ccw) Los puntos han de señalase po (,θ)
Tansfomando coodendas Polaes a catesianas Se foma haciendo un tíangulo ectángulo a pati de y θ x = cos θ y = sin θ
Tansfomando coodenadas polaes en Catesianas es la hipotenusa y θ es un ángulo tanθ = = x 2 y x + y 2 θ de medise desde el eje positivo de las x (en sentido contaio a las manecillas del eloj) paa que las ecuaciones sean válidas
Vectoes y Escalaes Un escala es una cantidad que está completamente especificada mediante un númeo + ó - con sus unidades apopiadas y caece de diección. Un vecto es una cantidad física que debe se descita con base en una magnitud (númeo), sus unidades apopiadas y una diección.
Algunas Notas Sobe Escalaes Ejemplos Tempeatua Volumen Masa Intevalos de tiempo Paa maneja cantidades escalaes se emplean las eglas odinaias de la aitmética
Ejemplo de Vectoes Una patícula viaja desde A hasta B, a lo lago del camino mostado po la línea discontinua oja Esta es la distancia ecoida y es un escala El desplazamiento es la línea sólida que va desde A hasta B. El desplazamiento es independiente del camino que se tome ente los dos puntos. El desplazamiento es un vecto
Otos Ejemplos de Vectoes Muchas otas cantidades son también vectoes Algunas de éstas incluyen: Velocidad Aceleación Fueza Momentum
Notación Vectoial A escitos a mano (no olvida la flecha o ayita) Con negitas A escitos en compu (con flecha) La magnitud de un vecto se denota con baas o simplemente con una leta itálica: A ó La magnitud (Noma) del vecto tiene unidades físicas La magnitud de un vecto es siempe una cantidad positiva
Igualdad de dos vectoes Dos vectoes son iguales sólo si tienen la misma magnitud y diección A = B si A = B y estos apuntan a lo lago de lineas paalelas Todos los vectoes que se muestan son iguales
Sumando Vectoes Cuando se suman vectoes, las diecciones de estos debe se tomada en cuenta Deben tene las mismas unidades físicas Hay métodos gáficos Dibujos a escala Métodos Algebáicos Es más conveniente
Suma gáfica de Vectoes Elegi una escala Dibuja el pime vecto con la longitud y diección apopiadas, con especto al sistema coodenado apopiado. Dibuja el siguiente vecto con la magnitud y diección apopiadas, con especto al sistema de coodenadas cuyo oigen es ahoa la pate final de y paalelo al sistema de coodenadas usada paa A A
Sumando vectoes gáficamente, cont Continúe dibujando los vectoes punta con cola La esultante se obtiene uniendo la cola del pimeo con la punta del último Mida la longitud de la esultante y obtenga su ángulo Utilice el facto de escala paa conveti la longitud obtenida en la magnitud eal del vecto.
Suma gáfica de vectoes, final Paa suma vaios vectoes, solamente epita el poceso hasta incluilos a todos De manea semejante la esultante se obtiene como el vecto que va de la cola del pimeo a la punta del último
Reglas de la suma de vectoes La suma de vectoes conmuta Cuando dos vectoes se suman, la suma es independiente del oden. Ley conmutativa de la adición A + B = B + A
Reglas de suma de vectoes cont... El esultado de suma tes o más vectoes es independiente de la foma en la que se agupen los vectoes. Esta es la popiedad asociativa de la adición A + ( B + C) = ( A + B) + C
Reglas paa suma vectoes Cuando se suman vectoes, todos deben tene las mismas unidades físicas Todos los vectoes debe epesenta el mismo tipo de cantidades No intenten suma desplazamientos con velocidades.
Negativo de un Vecto El negativo de un vecto se define como aquel vecto que, al sumalo al vecto oiginal, poduce una esultante de ceo Se epesenta así A ( A + A) = 0 El negativo de un vecto tiene la misma magnitud que el vecto oiginal, peo apunta en diección opuesta.
Restando Vectoes Es un caso especial de la suma de vectoes Poceda como se hace con la suma de vectoes
Multiplicando o Dividiendo un Vecto po un escala El esultado de la multiplicación o división es un vecto La magnitud del vecto es multiplicada o dividida po un escala Si el escala es positivo, la diección de la esultante es la misma que la del vecto oiginal Si el escala es negativo, la diección de la esultante es opuesta a la del vecto oiginal
Multiplicando Vectoes Dos vectoes pueden se multiplicados de dos difeentes maneas Una es el poducto escala A B También llamado poducto punto o poducto inteio = ABcos θ El oto es el poducto vectoial También llamado poducto cuz A B = ABsin θ
Componentes de un Vecto Una componente es una pate del vecto Es muy útil ecui a las componentes ectangulaes Éstas son las poyecciones de un vecto a lo lago de los ejes x y y
Teminología de las componentes de un vecto A x y A y son las componentes vectoiales en el eje x y y de un vecto A Son vectoes y cumplen con sus eglas y popiedades A x y A y son escalaes y seán llamadas las componentes de A La combinación de las componentes vectoiales es una sustitución válida paa un vecto eal
Componentes de un Vecto, 2 La componente x es la poyección del vecto en el eje x A x = Acosθ La componente y es la poyección del vecto a lo lago del eje y A y = Asin θ Cuando se usa esta foma de las ecuaciones, el ángulo θ debe medise en sentido contaio a las manecillas del eloj desde el eje positivo de las x
Componentes de un vecto, 3 La componente vectoial y se coloca en la punta de la componente x Estos se debe al hecho de que un vecto puede se desplazado paalelamente sin que sea alteado su noma o su diección. Esta opeación completa el tiángulo.
Componentes de un Vecto, 4 Las componentes son los catetos del tiángulo ectángulo en el que la hipotenusa es A = A 2 x Ojo, se tiene que calcula el valo del ángulo θ con especto al eje postivo de x; al hacelo hay que utiliza los signos de A x y A y + A 2 y A and θ = tan 1 A A y x
Componentes de un Vecto, final Las componentes pueden se positivas o negativa y tendán las mismas unidades que el vecto oiginal El signo de las componentes dependeá del valo del ángulo θ
Vectos unitaios Un vecto unitaio es un vecto adimensinal que tiene una noma (magnitud) de exactamente 1. Los vectoes unitaios se utilizan paa especifica una diección y caecen de oto significado físico
Vectoes Unitaios, cont. Los símbolos î, ĵ, and kˆ epesentan vectoes unitaaios en las diecciones x, y y z Foman un conjunto de vectoes simultáneamente pependiculaes
A Uso de los vectoes unitaios significa lo mismo x que A x i. Igual paa Ayj, etc. Así, un vecto A puede se expesado como A = A ˆi + A ˆj + x y A z kˆ
La suma a tavés de vectoes unitaios Usando Entonces Así R x = A x + B x y R y = A y + B y ( ) ( ) ( ) ( )j i R j i j i R ˆ B A ˆ B A ˆ B ˆ B ˆ A ˆ A y y x x y x y x + + + = + + + = x y 1 2 y 2 x R R tan R R R = θ + = B A R + =
Diagama
Ahoa en tes dimensiones usando R x = A x + B x, R y = A y + B y y R z = A z + B z R R tan R R R R x 1 x 2 z 2 y 2 x = θ + + = B A R + =
Recomendaciones Las ecuaciones paa las componentes A x = A cos θ y A y = A sen θ aplican solamente cuando el ángulo θ se mide con especto al eje x (+), pefeiblemente tomando como positiva la diección en conta de las manecillas del eloj El ángulo esultante (tan θ = A y / A x ) da el angulo con especto al eje x (+)
Otas notas: Multiplicación de un vecto po un escala: A= a A Donde a es un vecto unitaio en la diección de A. a = u A A y la noma de A es 2 2 2 x y z A = A + A + A
Sobe el poducto escala A. B=B. A El poducto escala conmuta. Geométicamente se puede entende como multiplica la componente de A en la diección de B (la poyección) po la noma de B. También es la componente de B en la diección de A (la poyección) po la noma de A. El esultado es un escala. También cumple con A. (B+C)=A. B+A. C. Esto es: se cumple la popiedad de asociación. i. i=1 j. j=1 k. k=1 i. j=0 i. k=0 j. k=0
Sobe el poducto vectoial AxB=C Se obtiene un vecto cuya magnitud (noma) es ABsenθ. Donde θ es el ángulo (meno) ente los vectoes A y B. La diección de este vecto esultante es tal que es pependicula al plano que hacen A y B; esto es, C es simultáneamente pependicula a A y B. La diección de C la da la egla de la mano DERECHA. El poducto AXB no conmuta, sino que anti-conmuta. Esto es AXB=-BXA
Diección de poducto cuz Regla de la mano deecha
Pod. vectoial También se asocia AX(B+C)=AXB + BXC Además ixi=0 jxj=0 kxk=0 I X j= k j X k= i k X i = j j X i = -k i j k AXB A A A = x y z B B B x y z
Algunas elaciones utiles. senθ = a/c cosθ = b/c tanθ = a/b = senθ/cosθ θ c = a + b 2 2 2 2 2 sen θ + cos θ = 1 1 1 1 csc θ = ; sec θ = cosθ ; cotθ = senθ tanθ
También es útil sabe que: a senθ = = cos(90 θ ) c b cos θ = = sen(90 θ ) c b cotθ = = tan(90 θ ) a sen( θ) = senθ cos( θ) = cosθ tan( θ) = tanθ
2 2 2 a = b + c 2abcosα 2 2 2 b = a + c 2accos β ley de cosenos 2 2 2 c a b 2abcosγ = + a b c = = es la ley de senos senα senβ senγ
de cálculo: dsenax ( ) 1 = acos ax sen( ax)dx = - cos ax dx a d(cos ax) 1 = a senax cos( ax) = senax dx a d tan ax 1 = a ax a dx = ax = ax dx a dcot ax 2 1 = acsc ax cot axdx= ln( senax) dx a 2 1 sec tan x a ln(cos ) ln(sec )