3.1. Características de los coponentes de sisteas discretos Vereos a continuación una serie de conceptos que se utilizan habitualente en el estudio de vibraciones y que es necesario tener presentes. Vibración: Es un oviiento oscilatorio que aparece, por lo general, en los sisteas ecánicos soetidos a la acción de fuerzas variables con el tiepo. Distinguireos entre vibración y oscilación. La diferencia entre ellas radica en que la vibración iplica la existencia de energía potencial elástica, ientras que la oscilación no. Un bloque coo el de la Figura 9.1 tiene un oviiento vibratorio, ientras que un péndulo coo el de la Figura 9.2 tiene oviiento oscilatorio. Puesto que los sisteas vibratorios y oscilatorios se rigen por ecuaciones siilares, es costubre estudiarlos juntos y prescindir de la diferencia conceptual entre abas. f atf Figura 9.1. Sistea vibratorio. Figura 9.2. Sistea oscilatorio. Grados de libertad: Son los paráetros necesarios para definir de fora unívoca la configuración del sistea vibratorio. Por ejeplo, el sistea de la Figura 9.3 tiene 2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que definen la posición de cada uno de los bloques con respecto a sus posiciones de referencia. x 1 x 2 Figura 9.3. Sistea de discreto de 2 grados de libertad. Figura 9.4. Sistea continuo Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra). 1
Vibraciones en sisteas con un grado de libertad Sisteas discretos y sisteas continuos: Se denoinan sisteas discretos aquellos que pueden ser definidos ediante un núero finito de grados de libertad y sisteas continuos aquellos que necesitan infinitos grados de libertad para ser exactaente definidos. Por ejeplo, el sistea de dos grados de libertad de la Figura 9.3 es un sistea discreto. En cabio, la viga de la Figura 9.4 es un sistea continuo pues para conocer su deforada es necesario especificar el desplazaiento vertical de cada uno de sus puntos, que viene dado por una función de la fora y(x). Mateáticaente, los sisteas discretos conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias, ientras que los sisteas continuos conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El oviiento vibratorio de los sisteas continuos, a excepción de unos pocos sisteas con geoetrías sencillas, suele ser irresoluble con étodos analíticos. Para resolverlos, se suelen transforar en discretos por técnicas de discretización coo el Método de los Eleentos Finitos. Sisteas lineales y sisteas no lineales: Sea un sistea ecánico que responde con oviientos x1(t) y x2(t) a dos fuerzas f1(t) y f1(t), respectivaente. Dicho sistea se denoina lineal si a una fuerza f3(t)=a1f1(t) +a2f2(t) responde con un oviiento x3(t)=a1x1(t) +a2x2(t). Una de las características de los sisteas lineales es que en ellos se puede aplicar el principio de superposición, que establece que la respuesta a una excitación cobinada se puede obtener cobinando las res- puestas a cada una de las excitaciones siples. Sisteas definidos y seidefinidos: Un sistea se denoina definido cuando cualquier oviiento que en él se produzca conlleva una variación de la energía potencial elástica. En cabio, un sistea se dice seidefinido cuando existe algún oviiento que no conlleva variación de la energía potencial elástica. La Figura 9.5 es un ejeplo de un sistea definido. La Figura 9.6, en cabio, uestra un sistea seidefinido, en el que un desplazaiento de igual agnitud en abos bloques no produce variación de la energía potencial. Figura 9.5. Sistea definido. Figura 9.6. Sistea seidefinido. Vibraciones libres y forzadas: Vibraciones libres son las que se producen al sacar un sistea de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libreente. Vibraciones forzadas son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del tiepo. Los distintos tipos de fuerzas que pueden actuar se clasifican de la siguiente anera: Arónicas: son funciones del tipo seno o coseno. Periódicas: son fuerzas que se reproducen con una cierta periodicidad. 2
Ipulsos: responden al concepto ecánico de percusión. Arbitrarias: cualquier fuerza que no se incluya en uno de los apartados anteriores. Respuesta estacionaria y respuesta transitoria: La respuesta vibratoria de los sisteas ecánicos suele estar forada por dos partes: una parte que tiende a cero con el tiepo y que se denoina respuesta transitoria y otra que peranece, y que se denoina respuesta estacionaria. Noralente, la parte transitoria se debe a las condiciones iniciales y a las fuerzas independientes del tiepo, ientras que la estacionaria se debe a fuerzas dependientes del tiepo. Vibraciones deterinistas y vibraciones aleatorias: Las vibraciones se denoinan deterinistas cuando se conocen las fuerzas excitadoras, y se denoinan aleatorias cuando sólo se conocen valores estadísticos de las excitaciones. En es- te últio caso, no se puede calcular la respuesta exacta y, en su lugar, se relacionan los valores estadísticos de la excitación con los de la respuesta. Ejeplos de fuerzas aleatorias son las provocadas por los terreotos o las originadas por el viento. Utilidad de los sisteas de un grado de libertad: Los sisteas de un grado de libertad son, por una parte, sencillos y, por otra, se dan en la práctica en sisteas que son directaente asiilables a sisteas vibratorios de un grado de libertad. Adeás, otra propiedad iportante que se verá en el Capítulo 10, es que los sisteas vibratorios de N grados de libertad se pueden estudiar coo N sisteas de un grado de libertad. Por tanto, uchos de los resultados obtenidos en este Capítulo serán aplicables tabién a los sisteas de N grados de libertad. x c x x c x Figura 9.7. Sistea básico de un grado de liber er- tad. Figura 9.8. Diagraa de sólido libre del sistea básico de un grado de libertad. 3.2 Energía Potencial y cinética Una cosa interesante sobre la velocidad final de un objeto que desciende (sin fricción) desde una altura dada h, a lo largo de una superficie inclinada: se puede cabiar la 3
inclinación, se puede incluso cabiar la fora de la superficie, a pesar de todo la velocidad final con la que alcanza el fondo será siepre la isa. Si no hay fricción, cualquier esquiador, deslizándose por una colina nevada desde la cia a la base, llegará con la isa velocidad, tanto si la pista toada es una fácil de principiantes, coo si es una de expertos. Reducir la inclinación de la superficie reduce la aceleración a, pero tabién se alarga el tiepo de descenso y esas dos variaciones se anulan, dejando la velocidad final sin cabios. La isa velocidad se obtiene tabién si el objeto cae verticalente desde esa altura h y en ese caso se deduce fácilente coo sigue. La duración t de la caída está dada por Multiplicando abos lados por g: Entonces la velocidad final se obtiene h = g t 2 /2 gh = g 2 t 2 /2 v = gt gh = v 2 /2 Con la últia ecuación, asuiendo que nada interfiere con este oviiento, cuando el objeto pierde altura, v 2 crece y, tal y coo ya se advirtió, este creciiento no depende de la trayectoria toada. Este cabio entre h y v 2 tabién funciona en la dirección contraria: un objeto rodando hacia arriba sobre una pendiente, pierde v 2 en proporción directa a la altura h que gana. Una canica rodando hacia abajo por dentro de un tazón liso, gana velocidad cuando se acerca al fondo, luego, cuando sube por el otro lado, la pierde de nuevo. Si no existe fricción, volverá de nuevo a subir a la isa altura desde donde ha coenzado el oviiento. Un péndulo siple, ó un niño en un colupio, tabién suben a causa de v 2 y retornan de nuevo, de la isa fora. Los ciclistas son uy conscientes de que la velocidad que ganan rodando hacia abajo de una ladera puede cabiarse por altura cuando escalan la siguiente pendiente. Es coo si la altura nos diera algo con lo que podreos coprar velocidad, la que luego, si la ocasión lo deanda, puede convertirse de nuevo en altura. Ese "algo" se llaa energía. Ya ha sido planteada breveente en una sección anterior. Este balanceo atrás y adelante sugiere que quizás la sua gh + v 2 /2 4
tiene un valor constante: si un lado disinuye, el otro lado se hace ayor. Esta sua es la energía?. No exactaente. El esfuerzo de conseguir que un peso grande se eleve una altura h es ayor que el necesario para elevar uno enor. Déjene ahora llaar a la cantidad de ateria de un objeto su "asa". Es obvio que es proporcional al peso del objeto, pero coo vereos ás tarde, el concepto de asa es ás coplicado que eso. Si la energía es la edida del esfuerzo para elevar una carga, esa energía deberá ser proporcional a su asa. Así, ultiplicaos todo por y escribios Energía = E = gh + v 2 /2 Un hecho bien conocido y ya aludido, es que en un sistea e no interacciona con su entorno, la energía total indicada por la letra E, no cabia: "se conserva". En un péndulo, en el punto ás extreo de su oscilación, v = 0 y, por lo tanto, el segundo térino de la fórula desaparece, ientras que el prier térino está con su ayor valor. Después, cuando la asa desciende, v 2 / 2 auenta y gh disinuye, hasta que en la parte baja de la oscilación el prier térino está en su valor ínio y el segundo alcanza el áxio. En el ascenso el proceso se invierte y la secuencia se repite para cada oscilación. Abos térinos de la ecuación superior tienen nobre: gh es la energía potencial, la energía de la posición, y v 2 /2 es la energía cinética, la energía del oviiento. El núero exacto que representa E dependerá desde donde se ide h ( en el suelo?, al nivel del ar?, en el centro de la Tierra? ). Son posibles diferentes elecciones y cada una nos lleva a valores diferentes de E: la fórula es solo significativa si se elige una cierta altura de referencia donde h=0. 3.3. Ecuación diferencial del oviiento para sisteas de segundo orden La Figura 9.7 uestra el sistea básico de un grado de libertad, copuesto por una asa puntual, un uelle de rigidez y un aortiguador de constante c. Llaando x al desplazaiento del bloque respecto de su posición inicial de equilibrio, el diagraa de sólido libre del sistea, incluyendo la fuerza de inercia, se uestra en la Figura 9.8. Suando las fuerzas horizontales e igualando a cero, se obtiene: x + cx + x = 0.(a) x c x x c x Figura 9.7. Sistea básico de un grado de liber- tad. Figura 9.8. Diagraa de sólido libre del sistea básico de un grado de libertad. 5
La ecuación (9.1) representa una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, cuya resolución se verá en los apartados posteriores para distintos valores de los coeficientes y c. Sisteas lineales y sisteas no lineales: Sea un sistea ecánico que responde con oviientos x1(t) y x2(t) a dos fuerzas f1(t) y f1(t), respectivaente. Dicho sis tea se denoina lineal si a una fuerza f3(t)=a1f1(t) +a2f2(t) responde con un oviiento x3(t)=a1x1(t) +a2x2(t). Una de las características de los sisteas lineales es que en ellos se puede aplicar el principio de superposición, que establece que la respuesta a una excitación cobinada se puede obtener cobinando las respuestas a cada una de las excitaciones siples. 3.4. Respuesta libre de sisteas no aortiguados Considereos en prier lugar el caso ás sencillo, sin aortiguaiento. Particularizando la ecuación (a) para c=0 teneos x + x = 0 (9.2) Por conveniencia, se divide la ecuación (9.2) por la asa, resultando (9.3) x + ω 2 nx = 0 donde ω n es una constante que se denoina frecuencia natural del sistea, y que va- le, por definición ω n = (9.4) La solución general a la ecuación hoogénea (9.3) se obtiene ensayando solucio- nes del tipo x (t) = Ae λt. Sustituyendo en (9.3) se obtiene A (λ 2 + ω 2 n )e λt = 0 (9.5) Por lógica, ni A ni e λt pueden ser nulos, ya que si no la respuesta x (t) sería nula. Por tanto, el paréntesis debe ser nulo, lo que equivale a (9.6) λ = ±iω n La solución x(t) se obtiene, finalente, coo una cobinación lineal de las dos soluciones posibles x (t) = A 1 e iωnt + A 2 e iωnt (9.7) Obsérvese que aunque en la ecuación (9.7) aparecen núeros coplejos la res- puesta x (t) ha de ser real, ya que de otra fora no tendría sentido físico. Para ello, es necesario que las constantes A 1 y A 2 sean núeros coplejos conjugados. De esta anera, las 6
partes coplejas de los dos suandos de la ecuación (9.7) se anulan y el resultado es real. La ecuación se puede reescribir utilizando funciones trigonoétri- cas. Para ello sustituios los térinos exponenciales coplejos e iωnt y e iω n t por sus equivalentes trigonoétricos, ediante las expresiones e iωnt lo que conduce a = cosω n t + isen ω n t e iωnt = cosω n t isen ω n t x (t) = ( A 1 + A 2 ) cosω n t + i( A 1 A 2 ) sen ω n t (9.8) (9.9) es un núero re- Puesto que A 1 y A 2 son coplejos conjugados, la sua A 1 + A 2 al al que podeos llaar B 1 y el térino i ( A 1 A 2 ) tabién es un núero real al que podeos llaar B 2. Introduciendo estos dos nuevos térinos, la ecuación (9.9) queda de la fora 3.5 Conceptos fundaentales 3.5.1. Frecuencia Natural 3.5.2. Frecuencia aortiguada 3.5.3. Frecuencia Crítica 3.5.4. Factor de aortiguación 3.5.5. Fuerza transitida 3.6. Respuesta de excitación arónica Excitación arónica La función fuerza de la excitación arónica es la función arónica, es decir funciones de senoidal y cósenoidal. Este tipo de excitación es coún a uchos sistea que involucra el oviiento reciproca. Es ás, pueden representarse uchas otras fuerzas coo un una serie de funciones arónicas infinito. Por el principio de superposición, la respuesta es la sua de la respuestas de la arónica individual. Es ás conveniente usar la técnica de doinio de frecuencia resolviendo los probleas de la excitación arónicos. Esto es porque la contestación a las frecuencias de la excitación diferentes puede verse en un gráfico. Perítanos enfocar en la solución particular de noralice la ecuación de oviiento resolviendo y solucinando para 7
es la parte real Asua la solución para tener la isa fora coo la función ipelente la isa frecuencia coo la la entrada con diferente agnitud y fase Los sistea odulares de entrada arónica por un agnitud y fase la respuesta total el hoogéneo la solución particular. Revoque la solución hoogénea del sistea del sin aortiguaiento 8
Las condiciones iniciales se usarán para deterinar, o,they será diferente de aquéllos de contestación libre porque el térino transeúnte es ahora en parte debido a la fuerza de la excitación y en parte debido a las condiciones iniciales 3.7 Respuesta a un ipulso unitario La extensión de la función ipulso unitario al tiepo-discreto se convierte en una trivialidad. Todo lo que realente necesitaos es darnos cuenta que la integración en tiepo-continuo equivale a una suatoria en tiepo-discreto. Por lo tanto buscareos una señal que al suarla sea cero y al iso tiepo sea cero en todas partes excepto en el origen. Ipulso de Tiepo-Discreto Figura 3: Representación gráfica del ipulso discreto Al analizar una gráfica de tiepo-discreto de cualquier señal discreta, uno puede notar que todas las señales discretas están copuestas de un conjunto de uestras unitarias que están escalados y desplazados en el tiepo. Si dejaos que el valor de una secuencia en cada entero sea descrita por s[] y la uestra unitaria retrasado que ocurre en sea escrito coo δ[n ], nosotros podríaos escribir cualquier señal coo la sua de ipulsos unitarios retrasados que son escalados por un valor de la señal, o por coeficientes de escalaiento. s[n] = = (s[] δ[n ] ) (5) Esta descoposición es una propiedad que solo se aplica a señales de tiepo-discreto y resulta ser una propiedad uy útil para estas señales. 9
Actividades copleentarias. 1.- Investigar y desarrollar los siguientes teas: 3.5 Conceptos fundaentales 3.5.1. Frecuencia Natural 3.5.2. Frecuencia aortiguada 3.5.3. Frecuencia Crítica 3.5.4. Factor de aortiguación 3.5.5 Fuerza transitida 2.- Calcule y trace la respuesta de un sistea del resorte-asa a una fuerza de agnitud 23 N, frecuencia tendencia de dos veces la frecuencia natural e i.c. dado por el x0 = 0 y v0 = 0.2 /s. La asa del sistea es 10 g y la tension del resorte es 1000 N/. 3.- Considere el ecaniso ontado sobre un eje con el =4x10 3 N/, l 1 =0.05, l 2 =0.07, l=0.10, y g del =40. La asa de la viga es 40g qué se onta sobre un eje al punto O y se asue estar rígido. a.-calcule c para que la proporción huedeciendo del sistea sea 0.2. b.- Tabién deterine la aplitud de vibración del la respuesta del sostener-estado si una fuerza de 10 N es aplicada a la asa a una frecuencia de 10 rad/s 10