Tu pregunta es Obtén el dominio de las siguiente funciones, f(x) = x 1 x + 1 f(x) = x + 1 x 1 f(x) = x + 1 x + 1 f(x) = x 4 x + x 3 f(x) = x + x 4 f(x) = x x 4 f(x) = 1 x 3 + 3 x 1 f(x) = x 3 Bien, el propósito o la idea cuando queremos obtener el dominio de una función es hallar todos los valores de equis para el cual la función existe. Cuando decimos existe nos referimos a que no puede darse algunas circunstancias por ejemplo algo no existe, por 0 ejemplo algo negativo es un número imaginario y eso no nos sirve en realidad, con éstas dos cosas ya sabemos, El denominador nunca jamás va a poder ser cero, y ésto nos va a arrojar una restricción del dominio. Lo que está dentro de una raíz siempre debe ser positivo o en su defecto también puede ser cero, entonces decimos que lo que está dentro de una raíz debe ser mayor o igual a cero. Bien, ya los revisé y solo vamos a usar éstos dos criterios; para funciones con logaritmos, trigonométricas, etc... se darán otros restricciones, entonces empecemos, f(x) = x 1 x + 1 como vimos, necesitamos encontrar las restricciones el numerador no hay problema de que sea cero o negativo o lo que que sea, lo único que nos interesa es el denominador como dijimos no puede ser cero entonces, x + 1 0 sacamos la raíz cuadrado a ambos lados, x 1 x x x ± como dijimos no nos interesa los números complejos o imaginarios entonces no existe forma alguna de que el denominador se haga cero, por lo tanto no hay ninguna restricción. es decir que equis puede tomar cualquier valor. Es decir que el dominio de la función son todos los reales D f = x/x R si gustas, podemos hacer una gráfica y te darás cuenta que la gráfica es continua, es decir no tiene huecos, 1
baches, separaciones la función es continua osea la puedes dibujar sin necesidad de alzar el lápiz. para la segunda, f(x) = x + 1 x 1 algo que quiero que esté muy claro es que, a veces, o habitualmente se suele hacer una división de polinomio para dejar a la función con una sola equis, no así regadas por todos lados. así, a simple vista ya sabemos la restricción x 1 0 x 1 aquí tenemos una restricción del dominio, y como no hay más restricciones decimos que, D f = x/x R {1} las restricciones que se forman en el denominador se las conoce como ASINTOTAS VERTICALES son rectas perpendiculares que cortan al eje equis en un punto determinado éste punto NO EXISTE en el dominio de la función, te puedes acercar al uno es decir 0, 9999999... pero nunca 1,incluso te podrías acercar a la función con 1, 000000001... pero nunca 1
veamos la gráfica, si te das cuenta la función se acerca, y se acerca más y más a la asíntota pero nunca la topa, es un amor imposible jaja, la recta x = 1 es la asintota vertical, es el único punto que no tiene una imagen no tiene una pareja no tiene su respectiva coordenada en el eje ye, también se dice que ésta función es discontinua porque tiene un hueco o un bache no es continua no puedes dibujarla sin tener que alzar el lápiz. ahora, lo que te decía es podemos hacer una división de polinomios así, x + 1 x 1 = x + 1 x 1 x + x x + 1 x + 1 x + 1 entonces podemos escribir la nueva presentación de la fracción así, x + 1 x 1 = (x + 1) + x 1 ahora el término x + 1 no hay problema equis puede tomar cualquier valor negativo, decimal, fracción, cero, el que sea, pero el denominador No puede ser cero, es la misma restricción nunca va a cambiar, pero sería genial que nunca olvides éste procedimiento. hay profesores que no les gusta que lo hagan así como lo hice al comienzo sin hacer la división...caprichosos sigamos, f(x) = x + 1 x + 1 nuevamente, podemos considerar la restricción del denominador directo, pero hagamos la división te parece, x + 1 x + 1 x 1 1 }{{} Cociente 1 3
recuerda que, cuando hacemos ésta división, cambia de signo al pasar al otro lado por eso es que 1 (x) = x pero pasa al otro lado con signo opuesto es decir x, además para formar la nueva fracción equivalente x + 1 x + 1 seguimos la estructura f(x) = Cociente + Residuo divisor entonces nos queda que, x + 1 x + 1 = 1 1 + x + 1 = 1 + 1 (x + 1) = 1 ( 1 + 1 ) x + 1 le saqué factor común para que no moleste ese un medio por todo lado, ahora sí, lo que nos interesa es la restricción del denominador que decimos, x + 1 0 es decir que x 1 x 1 entonces existe una asintota vertical en el punto x = 1, es decir que el dominio será, { x/x R 1 } el signo menos entre la ere y el intervalo significa excepto. si hacemos la gráfica nos queda, entonces tenemos un asintota vetical en x = 1 es decir ese punto no pertenece al dominio de la función. f(x) = x 4 x + x 3 podemos hacer, la división nuevamente, pero mmm...no tiene mucho caso, el numerador no nos importa, solo la restricción del denominador, x + x 3 0 factorizamos (x + 3)(x 1) 0 4
del teorema del factor nulo, decimos que Si (a)(b) = 0 entonces, a = 0 o b = 0, de igual manera también funciona así, Si (a)(b) 0 entonces a 0 0 b 0 y ya, entonces, Si (x + 3)(x 1) 0 entonces x + 3 0 o x 1 0 listo, tenemos las dos condiciones, es decir tenemos dos restricciones es decir tenemos dos asintotas verticales, es decir tenemos dos puntos que no pertenecen al dominio, la gráfica sería, D f = x/x R {1, 3} vamos la siguiente, f(x) = x + x 4 antes de nada, el denominador si nos va a dar una restricción verdad?, crees que la gráfica de ésta función tenga asíntotas?... veamos que pasa, factoricemos el denominador, x + (x + )(x ) es una diferencia de cuadrados, ahora, antes de darnos el hermoso placer de tachar con todo el gusto los términos que se simplifican, debemos escribir la restricción para que el profe vea que no los tache sin percatarnos que ese factor no puede ser cero, verás, el factor x + 0 entonces x porqué es importante gastar la tinta del esfero en escribir ésto?... Por que, si haces f( ) es decir reemplazas en la función f( ) = ( ) + ( + )( ) = 0 (0)( 4) ahora te pregunto, puedo simplificar así 0 0( 4) = 1 lo digo porque hubo un payaso que ya me hice ese chistesito 4 y NO, NO SE PUEDE HACER ESO es decir que para que podemos simplificar debemos considerar que x escrito esto ahí abajito escrito en un corazoncito ésto puedo simplificar porque x no hay problema, bien, entonces ya consideramos la restricción, entonces podemos simplificar, f(x) = 1 x 5
ahora debemos considerar la siguiente restricción, x 0 entonces x y ya, graficando, aquí solo verás que existe una sola asíntota no dos como se pensaría. la siguiente intenta hacerla, y me avisas si tuviste algún problema, si tienes que simplificar algo primero consideras que valor de equis no puede ser para poder simplificar, recuerda que el dominio de una constante es todos los reales f(x) = k su domino son todos los reales. para el siguiente, está fácil no, x 3 + 3 0 x 3 3 sacamos raíz cúbica a ambos lados, x 3 3 mira que, únicamente cuando tenemos potencias pares y sacamos la raíz correspondiente asoma el valor absoluto cuando son potencias impares y sacamos su respectiva raíz impar, no aparece, además, la raíz impar de un número negativo SI EXISTE, es es negativo pero existe, aproximadamente por supuesto, entonces, x 1, 44 D f = x/x R { 3 3 } entonces existe una asintota vertical en x = 1, 44 la gráfica es parecida a la anterior así que ya nada. finalmente para la última f(x) = x 1 x 3 ahora, aquí tenemos que considerar dos cosas, la raíz y el denominador, como dijimos lo que está dentro de la raíz siempre es, x 1 0 6
es decir que x 1 es decir que el dominio hasta aquí son todos las equis mayores o iguales que 1, claro, si ponemos algún valor inferior a 1 nos va quedar la raíz de algo negativo y eso pertenece al mundo Imaginario y nosotros somos reales. Bien, ya consideramos arriba ahora abajo, x 3 0 x 3 sacamos raíz cuadrada a ambos lados y el valor absoluto pasa al otro lado como ± x 3 3 x 3 x 3 x ± hasta aquí todos los ejercicios que hemos hecho se han tratado de ubicar puntos que no pertenecen al dominio, aquí también tenemos dos puntos que no pertenecen al dominio x 3 1, y x + 3 1, pero tenemos un intervalo de la restricción anterior x 1 lo que hacemos ahora, es INTERSECAR LAS RESTRICCIONES OBTENIDAS veamos, de aquí qué se interseca? el punto x = 1, queda descartado lo eliminamos de nuestras restricciónes, lo que nos queda es el intervalos completo [1, + ) ésto es lo mismo que poner x 1 solo que usamos una notación diferente, mira que si podemos incluirle al 1 en el intervalo porque si nos permite la raíz incluirlo. Entonces cómo quedaría el dominio, entonces? es como que pertenecen al dominio el 1 el 1,0004, el 1,189, el 1,100 y así hasta que aparece un hueco en x = 1, y sigo, equis si puede ser el 1,33 el 1,34 el 3 el 5 el 8 hasta el infinito, entonces el dominio será, D f = x/x [1, 1, ) (1,, + ) entonces el punto x = 1, no lo podemos incluir en el dominio. y ya, ese sería el dominio de la función, veamos 7
la última gráfica, jaja, lo siento quería rayas algo, pero si te das cuenta en la zona rayada no hay gráfica no existe nada, solo llega hasta x = 1 luego viene la asintota en x = 1, y luego existe función hasta el infinito sin problemas. La raíz cuadrada fue quien nos quitó esos elementos negativos porque ella no admite cosas negativas dentro de ella. Y eso sería todo espero te haya podido ayudar y si tienes alguna duda me avisas y con gusto te ayudo. Att. Santiago Seeker 8