Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b c) a + b d) c = λa + µ b a) a + b = (,, ) + (,, 4) = (4,, 7) b) a b = (,, ) + (,, 4) = ( +, 4, + 4) = (5, 5, 0) c) a + b = (,, ) + (,, 4) = ( + 9,, + ) = (8,, 9) d) c λa + µ b λ,, + µ,, 4 = λ + µ, µ, λ + 4µ = = ( ) ( ) ( ) a) A partir de la definición de dependencia lineal de vectores, demuestra que los vectores {(, 0, ), (0,, ), (,, )} son linealmente independientes b) Expresa el vector v = (,, ) en función de los vectores anteriores Debe comprobarse que la relación λ(, 0, ) (0,, ) (,, ) = (0, 0, 0) sólo se cumple cuando λ, λ y λ En efecto: λ (, 0, ) (0,, ) (,, ) = (0, 0, 0) λ (λ, λ λ, λ ) = (0, 0, 0) λ λ (Por Gauss) λ E + E λ E Cuya única solución es λ, λ y λ λ λ, E 4λ b) Como los vectores anteriores son linealmente independientes constituyen una base de R ; en consecuencia, cualquier vector depende linealmente de ellos En este caso, hay que encontrar los valores de λ, λ y λ tales que: (,, ) = λ(, 0, ) (0,, ) (,, ) λ = λ = Esto es: λ = λ = = E + E λ = λ = λ = λ = 5/, λ = / y λ = / E E 4λ 5 Luego, (,, ) =, ( 0, ) + ( 0,, ) +, (,)
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones Dados los puntos A(, 0, ), B(,, 0), C(0, 0, ) y D(,, ), halla los vectores AB, BC y CD Comprueba si son linealmente dependientes o no Da una interpretación geométrica del hecho Los vectores AB, BC y CD son: AB = (,, 0) (, 0, ) = (,, ) BC = (0, 0, ) (,, 0) = (,, ) CD = (,, ) (0, 0, ) = (,, ) Para ver si son linealmente independientes se hace el determinante, = + 5 0 Al ser distinto de 0, los vectores son linealmente independientes Eso significa que no hay ningún plano que contenga a los cuatro puntos, que los vectores no son coplanarios 4 Para los vectores AB, BC y CD, del ejercicio anterior, halla: a) El módulo de cada uno de ellos b) El producto escalar AB BC c) El ángulo que forman AB y BC a) AB = (,, ) AB = + + = BC = (,, ) BC = ( ) + ( ) + ( ) = CD = (,, ) CD = ( ) + + = b) AB BC = (,, ) (,, ) = = 4 AB BC 4 4 AB = = = AB BC c) cos(, BC) ángulo(ab BC) = 5,5º se toma 5,5º; o mejor, 80º 5,5º = 8,5º 5 Calcula los valores de a y b para que los puntos A(,, ), B(a,, b) y C(, 0, 0) estén alineados Los puntos A, B y C están alineados cuando los vectores AB y AC son proporcionales Esto es, cuando AB = k AC Como AB = (a,, b) (,, ) = (a,, b ), y AC = (, 0, 0) (,, ) = (0,, ), debe cumplirse que: a (a,, b ) = k (0,, ) = (0, k, k) = k k = ; a = ; b = b = k
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones Estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores u = (, 0, 9), v = (,, ), w = (5,, 4) Los vectores serán linealmente independientes si su determinante asociado es distinto de cero; en caso contrario serán linealmente dependientes 0 9 Como = 4 0, los vectores dados son linealmente independientes 5 4 7 a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la dependencia e independencia lineal de los vectores v = (a, a, ), v = (a,, ) y v = (,, ) b) Cuando sean linealmente dependientes, escribe v como combinación lineal de v y v a a a) Como a = a a a = o a = / Por tanto: Si a = o a = / los vectores son linealmente dependientes El determinante vale 0 Si a y a / los vectores son linealmente independientes b) Para a =, los vectores son: v = (,, ), v = (,, ) y v = (,, ) Luego: v = v + 0 v = v Para a = /, los vectores son: v = ( /, /, ), v = (,, ) y v = (,, ) Luego: v v v = v 8 Halla la relación que debe existir entre a y b para que los puntos de coordenadas A(, 0, 0), B(a, b, 0), C(a, 0, b) y D(0, a, b) estén en un plano Cuatro puntos pertenecen a un mismo plano cuando tres de los vectores que determinan son linealmente dependientes Si A(, 0, 0), B(a, b, 0), C(a, 0, b) y D(0, a, b), los vectores AB, AC y AD son: AB = (a, b, 0) (, 0, 0) = (a, b, 0) AC = (a, 0, b) (, 0, 0) = (a, 0, b) AD = (0, a, b) (, 0, 0) = (, a, b) a b 0 Serán linealmente dependientes si a 0 b ( a ) ab b[( a ) b + b] a b a b + ab b a ab ( a + b ) Las soluciones de esta ecuación son: a, b o a + b = Por tanto, los cuatro puntos dados estarán en un plano cuando a, b o a + b = Si a los puntos son: (, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, b) y (0, 0, b); los dos últimos coinciden Si b los puntos son: (, 0, 0), (a, 0, 0), (a, 0, 0) y (0, a, 0); coinciden otros dos Luego, para que los cuatro puntos sean distintos y estén en el mismo plano es necesario que a + b =, con a y b distintos de 0
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones 4 Aplicaciones del producto escalar, vectorial y mixto 9 a) Calcula el ángulo que forman los vectores u = (,, ) y v = (,, ) b) Cuánto debe valer a para que los vectores u = (, a, ) y v = (, a, ) sean perpendiculares a) El coseno del ángulo que forman los vectores u y v viene dado por: u v (,, )(,, ) 0 cos( u, v) = = = u v + + ( ) + + Los vectores son perpendiculares b) Su producto escalar deber ser 0: u v Luego, (, a, ) (, a, ) + a + a = a = ± 0 Dados los puntos A(, 0, ), B(,, 0) y C(0, 0, ), determina otro punto D de manera que ABCD sean vértices consecutivos de un paralelogramo Determina el punto de corte de sus diagonales y el área de ese paralelogramo Si ABCD son vértices consecutivos de un paralelogramo, debe cumplirse que los vectores libres AB y DC sean iguales Si D = (a, b, c), DC (0, 0, ) (a, b, c) = ( a, b, c) Como AB = (,, ), entonces: (,, ) = ( a, b, c) D = (,, ) El punto de corte de sus diagonales coincide con el punto medio de una de ellas, por ejemplo la diagonal AC Sus coordenadas son: + 0 0 M =,, =, 0, El área del paralelogramo es igual al módulo del producto vectorial de dos de los vectores de determinan sus lados: S = AB AD u u u Por tanto: AB AD = = ( 0,, ) S = ( ) + = u Dados los vectores v = (, 0, ) y w = (,, 0), calcula los vectores unitarios de R que son ortogonales a ambos Un vector ortogonal a dos dados se obtiene multiplicándolos vectorialmente v w u u u = 0 = (,,) 0 Este vector es perpendicular a v y w, pues los productos escalares: (, 0, ) (,, ) = + 0 (,, 0) (,, ) = + 0
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones 5 Un vector unitario en la dirección de uno dado, a, es ± = ± v w = ± a En este caso, los vectores a v w unitarios pedidos serán: ( ),,), a) Demuestra que los puntos A(λ,, λ), B(, λ, 0) y C(λ, 0, λ + ) son vértices de un triángulo isósceles b) Para λ = determina su área c) Para λ, si los puntos A, B y C se trasladan según el vector v = (,, ) se obtiene un prisma triangular Halla los nuevos vértices y el volumen del prisma a) Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales Por tanto, en este caso, habrá que ver que el módulo de dos de los vectores AB = (, λ, λ), AC = (0,, ) y BC = (λ, λ, λ + ) es el mismo AB = ( ) + ( λ ) + ( λ) = λ + 8, AC = 0 + ( ) + = 8 BC = ( λ ) + ( λ + ) = λ + 8 Como resulta evidente, los lados AB y BC miden lo mismo Por tanto, el triángulo será isósceles; y para λ, equilátero b) Si λ = : AB = (0, 4, ), AC = (0,, ) y BC = (0,, 4) El área del triángulo viene dada por S = AB AC u u u AB AC 4 = ( 4, 0, 0) AB AC = 4 S = u 0 b) Si λ, los puntos son: A(0,, 0), B(, 0, 0) y C(0, 0, ); y los trasladados serán: A (0,, 0) + (,, ) = (,, ); Β (, 0, 0) + (,, ) = (,, ); C (0, 0, ) + (,, ) = (,, 5) Además: AB = (,, 0), AC = (0,, ) y AA = v = (,, ) El volumen del prisma triangular vale la mitad que el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores AB, AC y AA Será: 0 V = AB, AC, AA 0 ( ) ( ) = = + + = u
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones Determina el valor de a para que los puntos A(, 0, ), B(,, ) y C(,, a) sean los vértices de un triángulo de área / El área del triángulo que determinan los puntos A, B y C viene dada por S = AB AC En este caso: AB = (,, ) (, 0, ) = (0,, 0); AC = (,, a) (, 0, ) = (0,, a ) Luego u u u AB AC 0 = ( a, 0, 0) 0 a AB AC = ( a ) = ± ( a ) y S = a Como se desea que S = /, y teniendo en cuenta que el valor absoluto presenta dos posibilidades, se tendrá: ( a ) = a = 4; ( a ) = a = Por tanto, el triángulo tiene área / si a = 4 o a = 4 (Propuesto en Selectividad, Madrid 0) Dados los puntos P (,, ), P (a,, 0), P (, 5, 4) y P 4 (, 0, ), se pide: a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P, P, P, P 4 tenga volumen igual a 7 a) Los puntos P, P, P,P 4 están en el mismo plano si los vectores P P, P P y P P 4 son linealmente dependientes Esos vectores son: P P = (a,, 0) (,, ) = (a,, ); PP = (, 5, 4) (,, ) = (0,, 5) PP 4 = (, 0, ) (,, ) = (,, ) a 4 Serán linealmente dependientes cuando 0 5 a 8 a = b) El volumen del tetraedro es un sexto del producto mixto de los vectores P P, P P y P P 4 Su valor es: a V = [ P P, P P, P P4 ] 5 = a 7 = a 8 = 7 Dos soluciones: 70 0 ( a 8) = 7 a = = ; o bien, ( ) 4 a + 8 = 7 a = =
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones 7 5 Dados los vectores: a = (,, 4) y b = (0,, λ) con λ R a) Halla el valor de λ para que a y b sean ortogonales b) Para λ calcula el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores a y b a) Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale 0 a b = (,, 4) (0,, λ) = + 4λ λ = 4 b) El área del paralelogramo que determinan los vectores a y b viene dada por el módulo del producto vectorial los vectores a b Para λ, b = (0,, 0), luego: u u u a b = 4 = (, 0, ) 0 0 El área del paralelogramo vale 80 u a b = ( ) + = 80 Dados los puntos A(,, ), B(,, ), C(0, 5, ) y D(, 4, ) a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano b) Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es rectángulo c) Calcula el área de dicho rectángulo a) Los cuatro puntos pertenecerán al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son linealmente dependientes Estos vectores son: AB = (,, ) (,, ) = (,, 0); AC = (,, ) (,, ) = (,, ) AD = (, 4, ) (,, ) = (,, ) 0 Como, los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes c) El cuadrilátero será rectángulo si los vectores AB y BC, y AB y AD son perpendiculares Por tanto, sus productos escalares deben valer 0 Como AB = (,, 0), BC = (,, ) y AD = (,, ), se tiene: AB BC = AB AD = (,, 0) (,, ) Por tanto, se trata de un rectángulo c) Por tratarse de un rectángulo, su superficie se halla multiplicando su base por su altura La base puede ser el módulo de AB; la altura, el módulo de AD AB = + = ; AD = 4 + 4 + 4 = Por tanto, S = AB AD = = 4 u Observación: La superficie también podría hallarse mediante el producto vectorial